问题1:下列两个函数是否表示同一函数,为什么? (1)y=x+1与y=x2-1 (2)y=x与y= 答:均不同。因为 (1)二者定义域不同,y=x+1为(-∞,+∞),而y 为(-∞,1)(1,+∞) (2)尽管二者的定义域均为(-0,+9),但函数y=√x2=与y=x的对应法则不同。 x,x>0 问题2:设f(x)={1x=0,试求f(-x) x2,x0 问题3:下列数列极限的论述是否正确? (1)当n充分大以后,数列{xn}越来越接近于a,则n→>∞时数列{xn}以a为极限。 (2)当n充分大以后,总有无穷多个xn接近于a,则lmxn=a 答:(1)不正确。因为{xn}以a为极限是指当n充分大以后,xn与a的距离要多小有多 小,即当n无限增大时,丨x-a|趋于0;而x越来越接近于a,只能表明xn-a|越来越 并不能保证|x-a|趋于0。例如:x=1+-,随着n的增大,x越来越接近于0 但x不趋近于0(n→∞
1 问题 1：下列两个函数是否表示同一函数，为什么？ (1) y x = +1 与 2 1 1 x y x − = − (2) y x = 与 2 y x = 答：均不同。因为 (1)二者定义域不同, y x = +1 为 ( , ) − + ,而 2 1 1 x y x − = − 为 ( ,1) (1, ) − + . (2)尽管二者的定义域均为 ( , ) − + ，但函数 2 y x x = = 与 y x = 的对应法则不同。 问题 2：设 2 , 0 ( ) 1, 0 , 0 x x f x x x x = = ，试求 f x ( ) − 。 下列运算是否正确。 解：欲求 f x ( ) − ，只需将 −x 代换 f x( ) 表达式中的 x 位置，即 2 2 , 0 , 0 ( ) 1, 0 1, 0 ( ) , 0 , 0 x x x x f x x x x x x x − − − = = = = − 答：错。该问题属于函数符号运算问题。由于所给函数为分段函数，所以必须考虑自变 量的取值范围。正确做法如下： 2 2 , 0 , 0 ( ) 1, 0 1, 0 ( ) , 0 , 0 x x x x f x x x x x x x − − − − = − = = = − − 问题 3：下列数列极限的论述是否正确？ (1)当 n 充分大以后，数列 xn 越来越接近于 a ，则 n → 时数列 xn 以 a 为极限。 (2)当 n 充分大以后，总有无穷多个 n x 接近于 a ，则 lim n n x a → = 。 答：(1)不正确。因为 xn 以 a 为极限是指当 n 充分大以后， n x 与 a 的距离要多小有多 小，即当 n 无限增大时，| | n x a − 趋于 0；而 n x 越来越接近于 a ，只能表明 | | n x a − 越来越 小，并不能保证 | | n x a − 趋于 0。例如： 1 1 n x n = + ，随着 n 的增大， n x 越来越接近于 0， 但 n x 不趋近于 0 ( ) n →
正确的说法应是,当n→∞时,xn与a无限地接近,要多接近就有多么接近,则{x} 以a为极限 (2)不正确,例、n奇数,由数列极限的几何解释知,imxn=a在几何上 1,n为偶数 表示:①在点a的任何邻域Ua)中都包含了数列{x}的无限多个点:②在Uae)以外 最多只有{x}的有限多个点。 问题4;im|xna|→ limx=a? 答:不正确。例如{(-1)}是收敛的,但(-1y}却是发散的。数列{x}的敛散性与 数列{xn}的敛散性关系如下: ①若imxn=a,则lim|,al ②若{x}恒正或恒负,则{xn}与{xn}同敛散 ③若im|xn}=0,则 lim x=0、(今后会常用该结论) 问题5:如果lmxn=a,则im=2 1,对吗? x limx 答:不对。尽管由极限的定义知,若 lim x=a,则imxn1=a。但在使用商的极限 运算法则时,有一个条件:分母的极限不能为零 由此可知当a≠0时结论正确;当a=0时,im-可能存在(但未必是1),也可能不 存在,例如+2(-1)2),m(=y=0,但到址=m1+( n+11+(-1) 存在 又如{x}={},有lim1=0,Ⅷm=+1=1im0 问题6:mx=m(++…)=、+im +lin won n-n 吗? 2
2 正确的说法应是，当 n → 时， n x 与 a 无限地接近，要多接近就有多么接近，则 xn 以 a 为极限。 (2)不正确。例如 1 , 2 1, n n n x n = 为奇数 为偶数 ，由数列极限的几何解释知， lim n n x a → = 在几何上 表示：①在点 a 的任何邻域 ( , ) a 中都包含了数列 xn 的无限多个点；②在 ( , ) a 以外， 最多只有 xn 的有限多个点。 问题 4： lim | | | | lim ? n n n n x a x a → → = = 答：不正确。例如 | ( 1) | n − 是收敛的，但 ( 1) n − 却是发散的。数列 xn 的敛散性与 数列 | | xn 的敛散性关系如下： ①若 lim n n x a → = ，则 lim | | | | n n x a → = ； ②若 xn 恒正或恒负，则 xn 与 | | xn 同敛散； ③若 lim | | 0 n n x → = ，则 lim 0 n n x → = .(今后会常用该结论) 问题 5：如果 lim n n x a → = ，则 1 1 lim lim 1 lim n n n n n n n x x x x + + → → → = = ，对吗？ 答：不对。尽管由极限的定义知，若 lim n n x a → = ，则 1 lim n n x a + → = 。但在使用商的极限 运算法则时，有一个条件：分母的极限不能为零。 由此可知:当 a 0 时,结论正确；当 a = 0 时, 1 lim n n n x x + → 可能存在(但未必是 1)，也可能不 存在。例如： 1 ( 1) n n x n + − = ， 1 ( 1) lim 0 n n→ n + − = ，但 1 1 1 ( 1) lim lim . 1 1 ( 1) n n n n n n x n x n + + → → + − = + + − 不 存在。 又如 1 n x n = ，有 1 lim 0 n→ n = ， 1 1 lim lim 1 n n n n x n x n + → → + = = 。 问题 6： 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 lim lim( ) lim lim lim 0 n n n n n n n n x → → → → → n n n n n n − − = + + + = + + + = 对 吗？
答:不对。极限的和的运算法则是指有限项,而这题是一个求无限多项和的极限。因此 不能利用和的运算法则。正确的解法为:∵xn=一2+…+ n-11n(n-1) limx,=lim n(n-1)I 实际上,这个无穷和的极限问题是一个无穷多个无穷小之和的极限问题。无穷多个无穷 小之和仍是无穷小吗?不一定 例(1)问题中的xn=2+2+…+一2说明:无穷多个无穷小之和可以是常数 (2)若x=3+3+…+,则1mx=lim n(n-1) =0。说明:无穷多个无 2n3 穷小之和可以是无穷小。 (3)若x=12 +,2,则lix=lmm(n-1) n22n32=1∞。说明:无穷 多个无穷小之和可以是无穷大 问题7:无穷大量与无界函数,有什么区别和联系? 答:区别:无穷大量是指在自变量的某一变化过程中,对应的函数值的一种变化趋势, 即绝对值无限制地增大。也就是说当自变量变化到某一阶段后的一切x都要满足|∫(x)卜>k (k为事先给定的无论多么大的数)。而无界函数是以否定有界函数来定义的,它反映自变 量在某一范围时,对应的函数值的一种状态,其定义中的不等式f(x)>M,只要求自变 量在此范围内有一个x满足即可(尽管M与k一样,都是任意大的正数)。 联系:如果∫(x)是当x→x0时的无穷大量,则f(x)在点x0附近一定无界;反之不 定成立。例如:f(x)=-sin在(0门上无界,但当x→0时,f(x)不是无穷大量。 证明:取xn= ,有∫(xn)=2nr+,limf(xn)=∞,所以∫(x)无界。 取 ,当n→>∞时,yn→0,而lmf(yn)= lim ntsinnz=0,故 limf(x)≠∞
3 答：不对。极限的和的运算法则是指有限项，而这题是一个求无限多项和的极限。因此， 不能利用和的运算法则。正确的解法为： 2 2 2 1 1 1 ( 1) 2 n n n n x n n n − − = + + = 2 ( 1) 1 lim lim 2 2 n n n n n x → → n − = = 实际上，这个无穷和的极限问题是一个无穷多个无穷小之和的极限问题。无穷多个无穷 小之和仍是无穷小吗？不一定。 例 (1) 问题中的 2 2 2 1 2 1 n n x n n n − = + + + 说明：无穷多个无穷小之和可以是常数； (2) 若 3 3 3 1 2 1 n n x n n n − = + + + ，则 3 ( 1) lim lim 0 2 n n n n n x → → n − = = 。说明：无穷多个无 穷小之和可以是无穷小。 (3) 若 3/ 2 3/ 2 3/ 2 1 2 1 n n x n n n − = + + + ，则 3/ 2 ( 1) lim lim 2 n n n n n x → → n − = = + 。说明：无穷 多个无穷小之和可以是无穷大。 问题 7：无穷大量与无界函数，有什么区别和联系？ 答：区别：无穷大量是指在自变量的某一变化过程中，对应的函数值的一种变化趋势， 即绝对值无限制地增大。也就是说当自变量变化到某一阶段后的一切 x 都要满足 | ( ) | f x k （ k 为事先给定的无论多么大的数）。而无界函数是以否定有界函数来定义的，它反映自变 量在某一范围时，对应的函数值的一种状态，其定义中的不等式 | ( ) | f x M ，只要求自变 量在此范围内有一个 x 满足即可(尽管 M 与 k 一样，都是任意大的正数)。 联系：如果 f x( ) 是当 0 x x → 时的无穷大量，则 f x( ) 在点 0 x 附近一定无界；反之不一 定成立。例如： 1 1 f x( ) sin x x = 在 (0,1] 上无界，但当 x 0 → + 时， f x( ) 不是无穷大量。 证明：取 1 2 2 n x n = + ，有 ( ) 2 2 n f x n = + ，lim ( ) n n f x → = ，所以 f x( ) 无界。 取 1 n y n = ，当 n → 时， 0 n y → ，而 lim ( ) lim sin 0 n n n f y n n → → = = ，故 0 lim ( ) x f x →