第一章习题课 函数与极限
第一章 习 题 课 函数与极限
基本要求 ()函数 1.理解函数的概念明确函数定义中的两个 要素(对应关系和定义域,会求定义域 2.了解函数性质(有界性,单调性,奇偶性,周 期性) 3理解复合函数及分段函数的概念,了解反 函数和隐函数概念,并会将复合函数拆成 基本初等函数
一 基本要求 (一)函数 1.理解函数的概念,明确函数定义中的两个 要素(对应关系和定义域),会求定义域. 2.了解函数性质(有界性,单调性,奇偶性,周 期性). 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反 函数和隐函数概念,并会将复合函数拆成 基本初等函数
4.掌握基本初等函数的性质及图形 (二)极限 1.理解极限的概念明确变量的极限是描述 变量的某种变化趋势的 2.了解极限的性质(唯一性,有界性和保号性) 及极限存在的两个准则(夹逼、单调有界) 3.掌握极限的四则运算法则和两个重要极 限,并会利用它们求极限 4.了解无穷小与无穷大的概念和性质,会用 等价无穷小求极限
4.掌握基本初等函数的性质及图形. (二)极限 1.理解极限的概念,明确变量的极限是描述 变量的某种变化趋势的. 2.了解极限的性质(唯一性,有界性和保号性) 及极限存在的两个准则(夹逼、单调有界). 3.掌握极限的四则运算法则和两个重要极 限,并会利用它们求极限. 4.了解无穷小与无穷大的概念和性质,会用 等价无穷小求极限
(三)连续 1理解函数在一点和在区间上连续的概念 明确连续定义的三个要素 2.了解间断点的概念,会判断间断点的类型 3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续 函数的最大值和最小值定理和介值定理, 并会一些简单的应用
(三)连续 1.理解函数在一点和在区间上连续的概念, 明确连续定义的三个要素. 2.了解间断点的概念,会判断间断点的类型. 3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续 函数的最大值和最小值定理和介值定理, 并会一些简单的应用
二要点提示 (一)求极限的方法 1利用极限的四则运算法则(有时需要先对函数作 变量代换,恒等变形,如通分或有理化等) 2利用两个重要极限 SInx lim (1+-)=e →>0x 3利用极限存在的两个准则(夹逼准则单调有 界准则)
1.利用极限的四则运算法则(有时需要先对函数作 变量代换,恒等变形,如通分或有理化等); 2.利用两个重要极限: 3.利用极限存在的两个准则(夹逼准则,单调有 界准则); e x x x x x x = + = → → ) 1 1, lim(1 sin lim 0 （一）求极限的方法: 二 要点提示
4利用无穷小的性质 (1)无穷小与无穷大的关系; (2)无穷小与有界量的乘积仍是无穷小; (3)等价无穷小代换 常用的等价无穷小:当x→>0时 x sinx tan x arcsinx arctan x xX cos x In(1+x)er-l-x
4.利用无穷小的性质 (1)无穷小与无穷大的关系; (2)无穷小与有界量的乘积仍是无穷小; (3)等价无穷小代换; 常用的等价无穷小: 当 x →0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x 2 1 cos ~ 2 x − x ( x) e x x ln 1+ ~ −1~
5利用函数的连续性 lim/((x))=ff lim o(x x→x x→x 6对于分段函数在分段点利用左右极限来 确定极限是香存在
5.利用函数的连续性: 6.对于分段函数,在分段点利用左右极限来 确定极限是否存在. ( ( )) ( ) = → → f x f x x x x x 0 0 lim lim
(二)连续性的等价定义 函数f(x)在x处连续 l.lim△y=0 △x→0 2. lim f()=fxo 3E-6形式vE>0,38>0,当x-x0<δ时, 恒有 f(x)-fxo<e
（二）连续性的等价定义 函数 在 处连续: 形式: 当 时 恒有 ( ) ( ) ( ) ( ) . 3. 0, 0, , 2. lim ; 1. lim 0; 0 0 0 0 0 − − − = = → → f x f x x x f x f x y x x x ( ) 0 f x x
(三)间断点及其分类 满足以下三条之一x1为f(x)的间断点 (1)在x处没有定义; (2)imf(x)不存在; (3)im∫(x)≠f(x) 按照在间断点处有无左右极限来分类 第一类包括跳跃和可去间断点 第二类包括无穷和振荡间断点等
（三）间断点及其分类 满足以下三条之一 为 的间断点: （1）在 处没有定义; （2） 不存在; 按照在间断点处有无左右极限来分类: 第一类包括跳跃和可去间断点; 第二类包括无穷和振荡间断点等. ( ) ( ) ( ) 0 0 3 lim . x x f x f x → f (x) x x0 lim → x f (x) 0 0 x
三问题与思考 1inxl=l→ lim x=a,是否正确? n→>0 答:不正确例如 ln(1y=1而(-y发散 数列{n}与{xn}的敛散性的关系如下 (1)若mnxn=a则 lim xn|=a (2)若x恒正或恒负则n}与{x同敛散 (3)若imx=则imxn=0(以后常用) n→0
三 问题与思考 1. 是否正确？ 答:不正确.例如 而 发散. 数列 与 的敛散性的关系如下: (1)若 则 (2)若 恒正或恒负,则 与 同敛散. (3)若 则 (以后常用). lim x a lim x a, n n n n = = → → ( ) ( ) n n n lim −1 =1, −1 → xn xn xn xn lim = 0 lim = 0 → → n n n n x x lim x a lim x a. n n n n = = → → xn