第五章习题课 定积分
1 定积分 第五章 习题课
基本要求 1.理解定积分概念、几何意义及其基本性质 理解积分上限函数及其基本性质会求简单的积分上 限函数的导数 3.熟练地运用牛顿莱布尼兹公式计算定积分 4.熟读掌握定积分换元法和分部积分法 5.会求简单的有理函数和无理函数的定积分 6.了解广义积分的定义根据定义会求简单的广义积分
2 一 基本要求 1. 理解定积分概念、几何意义及其基本性质. 2. 理解积分上限函数及其基本性质,会求简单的积分上 限函数的导数. 3. 熟练地运用牛顿莱布尼兹公式计算定积分. 4. 熟读掌握定积分换元法和分部积分法. 5. 会求简单的有理函数和无理函数的定积分。 6. 了解广义积分的定义,根据定义会求简单的广义积分
二.要点提示 1.定积分的概念定积分是特殊和式的极限,即 ∫/(xk=m∑( 当积分限给定时,它是一个数值 可利用理解定积分的定义求一些无穷和的极限
3 二.要点提示 1. 定积分的概念:定积分是特殊和式的极限,即 当积分限给定时,它是一个数值. 可利用理解定积分的定义求一些无穷和的极限. ( ) ( ) i n i i b a f x dx = f x = → 1 0 lim
2积分上限函数 d(x)=f()nx∈[b 其中积分区间[的右端点它在[ab上变化 而t是积分变量,它在[a,x变化
4 2.积分上限函数: 其中 x 是积分区间 a, x 的右端点,它在 a,b 上变化, 而 t a x 是积分变量,它在 , 上变化. (x) f (t)dt x a b x a = ,
果f(x)在[6上连续则(x)在[a上具有 导数 a'()=f(dt=f(x) 上式表明Φ(x是连续函数f(x)的一个原函数于是 ∫/(x=丁f()+c
5 如果 在 上连续,则 在 上具有 导数 上式表明 是连续函数 的一个原函数,于是 f (x) a,b (x) a,b ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = ( x f x ) ( ) f (x)dx f (t)dt c x a = +
3牛顿-莱布尼兹公式 「f(xktx=F(b)-F(a) 注意公式使用的条件是f(x)在区b上连续, 当f(x)在[6]上有有限个第一类间断点时不妨 设为c则在[a,c]E,b]上分别利用牛莱公式再 利用可加性便可得结果 ∫/(x=∫(+」f(x
6 3.牛顿--莱布尼兹公式: 注意,公式使用的条件是 在 上连续, 当 在 上有有限个第一类间断点时,不妨 设为 则在 上分别利用牛莱公式,再 利用可加性便可得结果: f (x)dx F(b) F(a) b a = − f (x) a,b f (x) a,b c, a, c,c,b f (x)dx f (x)dx f (x)dx b c c a b a = +
4换元法 使用时要注意“换元则换限,不换元则不换限” 5定积分的被积函数为分段函数应按函数不同的表 达式将积分区间分为若干子区间分段积分再相加
7 4.换元法: 使用时要注意“换元则换限,不换元则不换限”. 5.定积分的被积函数为分段函数,应按函数不同的表 达式将积分区间分为若干子区间,分段积分再相加
6收敛的广义积分具有与定积分类似的性质,当发散时 不可用这些性质 ∫/(xk=∫(x)+/(x ∫/(x=/(x+(x,c为瑕点 注意只有当上边两式右端的两个广义积分都收敛时 左端的广义积分才收敛
8 6.收敛的广义积分具有与定积分类似的性质,当发散时 不可用这些性质. 7. 为瑕点. 注意:只有当上边两式右端的两个广义积分都收敛时, 左端的广义积分才收敛. ( ) ( ) ( ) f (x)dx f (x)dx f (x)dx c f x dx f x dx f x dx b c c a b a , ; 0 0 = + = + − −
三.思考与分析 ()概念与性质 下列命题是否正确? 1)定积分∫/()的几何意义是介于曲线y=/(x)x轴 与x=a,x=b之间的曲边梯形面积 2若[ab][c,d且f(x)在[ab]上可积则必有 ∫/(x≥八( 3)若()为a上的连续函数则∫f(必为 f(x)在(a,b)内的一个原函数
9 三.思考与分析 1. 下列命题是否正确? 1)定积分 的几何意义是:介于曲线 轴 与 之间的曲边梯形面积. 2若 且 在 上可积,则必有 3)若 为 上的连续函数,则 必为 在 内的一个原函数. f (x)dx b a y = f (x), x a,b c,d, f (x) a,b f (x)dx f (x)dx d c b a f (x) a b f (t)dt x a , f (x) (a,b) x = a, x = b (一)概念与性质
分析 1)错误,应为所围曲边梯形面积的代数和 2)错误考察反例 f(x)=x3[a,b]=[-11[c,d]=[0, 3)正确,表明连续函数必定可积
10 分析 1)错误,应为所围曲边梯形面积的代数和. 2)错误,考察反例: 3)正确,表明连续函数必定可积 ( ) , , 1,1, , 0,1. 3 f x = x a b = − c d =
