多元函数积分学
多元函数积分学
多元函数积分可看作定积分推广为多 元函数在不同几何形体上的积分 1.n重积分(多元函数在n维空间中的有界 闭区域上的积分) 2曲线积分(多元函数在有限曲线段上 的积分) 3曲面积分(多元函数在有限曲面片上 的积分)
多元函数积分可看作定积分推广为多 元函数在不同几何形体上的积分。 1. n重积分 (多元函数在n维空间中的有界 闭区域上的积分) 2.曲线积分 （多元函数在有限曲线段上 的积分） 3.曲面积分 （多元函数在有限曲面片上 的积分）
回顾定积分的定义设函数f(x)在[a6上有界, 【分割】将{b]任意分成n个部分,记为x(=12…n) 近似】在每个x上任取一点5,作乘积(5)Ax (Ax也代表该区间的长度) 【求和】作出和∑f(x 取极限】如果当=max{△x}→>O时,和式的极限 im∑f(Ax 存在,则称此极限为(x)在[ab]上的定积分, 记对(x即/(xkx=1∑(5A
回顾 定积分的定义 设函数 在 上有界, f x a b ( ) , 将a b n x i n , 1,2, 任意分成 个部分，记为 = i ( ) ( ) 1 , n i i f x = 作出和 i 如果当 = → max 0 xi 时，和式的极限 ( ) 0 1 lim n i i i f x → = 存在，则称此极限为f x a b ( )在 , 上的定积分， ( ) , b a f x dx 记为 即 ( ) ( ) 0 1 = lim n b i i a i f x dx f x → = 【分割】 【近似】 【求和】 【取极限】 在每个 x f x i i i i 上任取一点 , , 作乘积 ( ) i （x也代表该区间的长度）
第一节几何形体积分的概念 将定积分推广到一般几何形体上: 定义设函数(P)在G上有界, 【分割】将G任意分成n个部分,记为Ag(=12,…m) (4g也代表该部分的几何度量) 近似】V∈Ag1,作乘积(p)4x 【求和】作出和∑f()Ng 【取极限】如果当各部分的最大值→时,Iim∑f()g 存在,则称此板限为()在G上的定积分, 记为f(m)kg,即(p)kg=m∑/(p)g
第一节 几何形体积分的概念 设函数f P G ( )在 上有界， 将定积分推广到一般几何形体上： 存在，则称此极限为f p G ( )在 上的定积分， ( ) , G f p dg 记为 ( ) ( ) 0 1 = lim n i i G i f p dg f p g → = 即 将G n g i n 任意分成 个部分，记为 = i ( 1,2, ) i （g 也代表该部分的几何度量） 【分割】 【近似】 p g f p x i i i i , , 作乘积 ( ) ( ) 1 , n i i i f p g = 【求和】 作出和 ( ) 0 1 lim n i i i f p g → = 【取极限】 如果当各部分的最大值 → 0时， 定义
函数f()在几何形体G上的积分 积分号 被积函数 /(D)您一 积分区域 被积表达式
函数f p G ( )在几何形体 上的积分 ( ) G f p dg 被积函数 元素 积分区域 被积表达式 积分号
本课程中G表示的几种几何形体 D)(平面有界→ (空间有界 闭区域 Q 闭区域 闭区间 二重积分 三重积分 (平面有限曲线积分 曲线段 r(空间有限 曲线段) (有限曲 曲面积分 面片)
本课程中G表示的几种几何形体： D 闭区间 [a,b] L (平面有界 闭区域) （平面有限 曲线段） （有限曲 面片） (空间有界 闭区域) (空间有限 曲线段) 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
当G为不同的几何形体时,对应的积 分都给出了固定的名称和符号 当G为平面有界闭区域(常记为D) 时,称为二重积分,记为 f(x,y)do 当G为空间有界闭区域(常记为Ω2) 时,称为三重积分,记为 f(x,v, z)dv
当G为不同的几何形体时，对应的积 分都给出了固定的名称和符号： ▪当G为平面有界闭区域（常记为D） 时，称为二重积分，记为 ( , ) D f x y d ▪当G为空间有界闭区域（常记为 ） 时，称为三重积分，记为 f x y z dv ( , , )
当G为平面有限曲线段(常记为L) 或空间有限曲线段(常记为)时, 称为第一型曲线积分(也称为对弧 长的曲线积分),记为 f(x,y)ds或「f(x,y,z)d
当G为平面有限曲线段（常记为L） 或空间有限曲线段（常记为 ）时， 称为第一型曲线积分（也称为对弧 长的曲线积分），记为 ( , ) ( , , ) L f x y ds f x y z ds 或
当G为空间有限曲面片(常记为∑)时, 称为第一型曲面积分(也称为 对面积的曲面积分),记为 f(x,y, z)ds
▪ 当G为空间有限曲面片（常记为∑）时， 称为第一型曲面积分（也称为 对面积的曲面积分），记为 f x y z dS ( , , )
与定积分类似,当八(D)在G上连续时, 积分」f(D)d必定存在。 f(p)dg具有与定积分类似的性质
与定积分类似，当 在G上连续时， 积分 必定存在。 f p( ) ( ) G f p dg ( ) 具有与定积分类似的性质。 G f p dg