第十一章习题课 无穷级数
无穷级数 第十一章 习题课
基本要求 1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基本性 质,熟悉级数收敛的必要条件 2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌握正 项级数收敛的比值判别法 3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理解绝 对收敛和条件收敛的概念 4.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间的求法.了解 幂级数的主要性质 5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数
一 基本要求 1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基本性 质,熟悉级数收敛的必要条件. 2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌握正 项级数收敛的比值判别法. 3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理解绝 对收敛和条件收敛的概念. 4.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间的求法.了解 幂级数的主要性质. 5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数
二要点提示 ()常数项级数 1.级数收敛的必要条件若∑收敛,则imun=0 由此可得:若mvn≠0,则级数∑2必发散 常用来判定级数是发散的.切不可用来判定级数 是收敛的,例如调和级数∑就是发散的
(一)常数项级数 1.级数收敛的必要条件:若 收敛,则 由此可得:若 则级数 必发散. 常用来判定级数是发散的.切不可用来判定级数 是收敛的,例如调和级数 就是发散的. lim 0. 1 = → = n n n un u = → 1 lim 0, n n n n u u =1 1 n n 二 要点提示
正项级数的判敛法 使用比较和比值判别法时,级数必须是正项的 ■使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性已知的正 项级数作为“参照”级数,如 调和级数∑1,等比级数∑m",级数∑ n
2.正项级数的判敛法 ◼ 使用比较和比值判别法时,级数必须是正项的. ◼ 使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性已知的正 项级数作为“参照”级数,如 调和级数 ,等比级数 ,p-级数 n=1 n aq =1 1 n p n =1 1 n n
判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序: (1) lim u≠0,则发散 (2)用比值或根值判别法若失效, (3)用比较判别法 (4)级数收敛的定义:部分和数列极限是否存在 同时考虑到级数的基本性质
判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序: (1) 则发散. (2)用比值或根值判别法,若失效, (3)用比较判别法. (4)级数收敛的定义:部分和数列极限是否存在. 同时考虑到级数的基本性质. lim 0, → n n u
3任意项级数 莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分 条件而不是必要条件 当不满足条件时,不能判定级数必发散
3.任意项级数 莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分 条件而不是必要条件. 当不满足条件时,不能判定级数必发散
对于任意项级数∑u,若∑n收敛,则称∑u n=1 n=1 绝对收敛,绝对收敛的级数必收敛; 若∑μn发散而∑u收敛,则称∑u条件收敛 n=1 注意,若用正项级数的比值判别法判定∑n发 散,则级数∑u也发散 n
◼ 对于任意项级数 若 收敛,则称 绝对收敛,绝对收敛的级数必收敛; 若 发散而 收敛,则称 条件收敛. 注意,若用正项级数的比值判别法判定 发 散,则级数 也发散. n n n 1 n 1 u u 1 , n n u = = = n=1 n u n=1 n u n=1 n u n=1 n u n=1 n u
(二)幂级数 1收敛半径和收敛区间 对于∑ax"或∑a,(x-x0),an≠0,n=0,2,…) =0 H=0 0<l<+0o 若lm=b,则收敛半径为R={+∞,=0 n→0 l=+ 收敛区间为(一R+R)或(x-R,x0+R)
( 0 ) 0 0 ,( 0, 0,1, 2, ) n n n n n n n a x a x x a n = = 对于 或 − = 1 lim n n n a l a + → 若 = ，则收敛半径为 1 , 0 , 0 0, l l R l l + = + = = + (− + R R , ) 或( x R x R 0 0 − + , ) 1.收敛半径和收敛区间 收敛区间为 (二)幂级数
对于缺项的幂级数∑un(x)可按下式 lim un +lr <1求出x的范围(x,x2 n=0 从而得收敛区间为(x,x2)
对于缺项的幂级数 可按下式 求出 的范围 从而得收敛区间为 ( ), 0 n= n u x ( ) ( ) lim 1, ( , ), 1 2 1 0 x x x u x u x n n n + = ( x x 1 2 , )
2幂级数的重要性质 (1)在收敛区间一R,R)内和函数S(x)连续 (2)可逐项求导 (3)可逐项积分 逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数有 相同的收敛半径但在收敛区间的端点处可能改变
2.幂级数的重要性质 (1)在收敛区间 内和函数 连续. (2)可逐项求导. (3)可逐项积分. 逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数有 相同的收敛半径,但在收敛区间的端点处可能改变. (− R, R) S(x)