第十二章习题课 微分方程
微分方程 第十二章习题课
基本要求 1了解微分方程的基本概念 微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、 特解、初始条件、初值问题; 2会判断变量可分离方程、齐次方程、一阶线性 方程、伯努利方程; 3掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法, 会解齐次方程和伯努利方程;
一 基本要求： 1 了解微分方程的基本概念: 微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、 特解、初始条件、初值问题； 2 会判断变量可分离方程、齐次方程、一阶线性 方程、 伯努利方程； 3 掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法， 会解齐次方程和伯努利方程；
4了解特殊高阶微分方程的附法: y=f(r), y=f(x,y), y=f(,y 5理解二阶线性微分方程解的结构; 6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法; 7掌握自由项为 f(r)=pn (x)e\ f(r)=e[p(x)cos Bix+P(x)sin Bx 的两类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 形式
4 了解 ( ) ( , ) ( , ) ( ) y f x y f x y y f y y n = ， = ， = 特殊高阶微分方程的降阶法： 5 理解二阶线性微分方程解的结构； 6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 7 掌握自由项为 的两类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 形式． f (x) P (x)e f (x) e [P (x)cos x P (x)sin x] n l x x m = 、 = +
二内容提要 阶方程 基本概念 高阶方程 可降阶方程 类型 二阶常系数线性 1.直接积分法 方程解的结构 2.可分离变量 3.齐次方程 特征方程法 线性方程 解的结构 4.线性方程 待特征方程及其根 5.伯努利方程 定对应的通解形式 系 定理1;定理2 数 定理3;定理4 法f(x)的形式及共 变量代换 特解形式
一阶方程 基本概念 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程 5.伯努利方程 变量代换 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程及其根 对应的通解形式 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待 定 系 数 法 特征方程法 二 内容提要
1基本概念 微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解
1 基本概念 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解如果微分方程的解中含有任意常数,并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的 解叫做微分方程的通解. 特解确定了通解中的任意常数以后得到的解, 叫做微分方程的特解. 初始条件用来确定任意常数的条件 初值问题求徼分方程满足初始条件的解的问题, 叫初值问题
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2一阶微分方程的解法 (1)可分离变量的微分方程 形如g(y)小y=f(x)d 分离变量法 解法∫()p=f(x)dk (2)齐次方程形如中=f(") dx 解法作变量代换l yx
形如 g( y)dy = f (x)dx (1) 可分离变量的微分方程 解法 g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 2 一阶微分方程的解法 ( ) x y f dx dy (2) 齐次方程 形如 = 解法 x y 作变量代换 u =
(3)一阶线性微分方程 形如 +P(x)=Q(x) 当Q(x)≡0,方程称为齐次的 当Q(x)主0,方程称为非齐次的 解法齐次方程的通解为y= Cep(ry (使用分离变量法)
P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = (3) 一阶线性微分方程 当Q(x) 0, 方程称为齐次的． 当Q(x) 0, 方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 解法
非齐次微分方程的通解为 P(xdx P(xdx y Q(xe! d+c (常数变易法)
非齐次微分方程的通解为 ( ) ( ) [ ( ) ] P x dx P x dx y e Q x e dx C − = + （常数变易法）
(5)伯努利( Bernoulli方程 形如+P(x)y=Q(x)y(m≠0,1) dx 当n=0,时,方程为线性微分方程 当n≠0,时,方程为非线性微分方程. 解法需经过变量代换化为线性微分方程 n Z=y (1-n)P(x)dx (l-n)P(x)de e ∫a(xa-n dx +c)
(5) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n 0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程. 解法 需经过变量代换化为线性微分方程． , 1 n z y − 令 = ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 + − = = − − − − e Q x n e dx c y z n P x d x n P x d x n