深圳大学：《高等数学（理工类）》补充教材（多元积分）第九节 高斯（Gauss）公式及其应用

二、高斯( Gauss)公式及其应用 牛顿一莱布尼兹公式 Cf(xdx=F(b)-F(a) 格林公式 0O aP )dxdy=p, Pdx+ody 立体与其表面曲面?

二、高斯（Gauss)公式及其应用 牛顿—莱布尼兹公式 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  ( ) L D Q P dxdy Pdx Qdy x y   − = +     格林公式 立体与其表面曲面？

1.高斯( Gauss)公式 定理3 设空间闭区域2是由光滑或分片光滑曲面Σ 所围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上 具有一阶连续偏导数,则有 OP O0 OR G ax op+o dv=H Pdydz+gdzdx+rdxdy z 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧 2

2 1.高斯（Gauss)公式 具有一阶连续偏导数，则 有 所围成，函数 、 、 在 上 设空间闭区域 是由光滑 或分片光滑曲 面    ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) P x y z Q x y z R x y z     +   +   dv z R y Q x P ( )   = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 这里是的整个边界曲面的外侧. 定理3

由两类曲面积分之间的关系知 OP 00 OR t× H(Pcos a+Ocos B+Rcos r)ds Gauss公式的实质 揭示了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 3

3 Gauss公式的实质 揭示了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( )     = + +   +   +   P Q R dS dv z R y Q x P    由两类曲面积分之间的关系知

2.简单应用 例1计算曲面积分(x-y)d+(y-x)xydt 其中Σ为柱面x2+y2=1及平面=0,z=3所围 成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧

4 2. 简单应用 . 1 0 3 1 ( ) ( ) 2 2 成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧 其 中 为柱面 及平面 ， 所 围 例 计算曲面积分 ，   + = = = − + −   x y z z x y dxdy y z xdydz

解P=(y-z)x,Q=0, R=x J 3 aP 00 OR ax J-3 0 ay 原式= ∫jc y-z)dxdydz (利用柱面坐标得)x 0°92 (rsin 8-z)rdrdedz 5

5 解 , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − = x o z y , 0, = 0,   =   = −   z R y Q y z x P   原式 = ( y − z)dxdydz   = (rsin − z)rdrddz . 2 9 = − (利用柱面坐标得) 3 1 1

使用Guas公式时应注意 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.∑是取闭曲面的外侧

使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧

例2计算曲面积分 (x cos a+y cos B+z cos y)ds, 其中Σ为锥面x2+y2=z2介于平面=0及 z=h(h>0)之间的部分的下侧c0sa,cosf, c0s!是∑在(x,y,z处的法向量的方向余弦

cos ( , , ) . ( 0) cos ,cos , 0 ( cos cos cos ) 2 2 2 2 2 2 2 是 在 处的法向量的方向余弦 之间的部分的下侧， 其 中 为锥面 介于平面 及 ， 例 计算曲面积分 x y z z h h x y z z x y z dS  =   + = = + +         

解由第二类曲面积分的定义 原式=x2z+ydx+x2ad 曲面∑不是封闭曲面,为利用高斯公式 补充∑1:z=h(x2+y2≤h2) ∑1·h ∑取上侧, ∑+∑构成封闭曲面外侧, ∑ ∑+∑围成空间区域Ω2, 在Ω上使用高斯公式

Dxy x y z o 1  h  解 : ( ) 2 2 2 补充 1 z = h x + y  h 曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 1取上侧，  + 1构成封闭曲面外侧，  +   1围成空间区域 ， 在上使用高斯公式, 由第二类曲面积分的定义 2 2 2 x dydz y dzdx z dxdy  = + + 原式 

x dxdy+ y*dzdx dxdy ∑+ 2(x+y+z)dv 其中D={(x,y) x2+y2≤h} ∫4小(x+y)=0,(由对称性) x dxdy+ydzdx +z dxdy ∑+∑ (先二后一) 2 zdx j dxdy=2f.=Th' 2 x+y≤x

1 2 2 2 2 ( ) x dxdy y dzdx z dxdy x y z dv +  + + = + +   {( , )| }. 2 2 2 其中Dx y = x y x + y  h   + + = Dxy h x y dxdy x y dz 2 2  ( ) 0, 3 4 0 0 1 2 2 2 z h h D = = = zdz dxdy z dz h      1 2 2 2 x dxdy y dzdx z dxdy +  + +  (由对称性) (先二后一) ( ) 2 2 2 : D x y z Z + 

x dydz +y dzdx +z dxdy ∫edp=mh D (:2在y0z和O面上投影面积为零) 故所求积分为 原式=乐-∫ πh-h πh ∑+∑;∑ 2 2

1 2 z dS  =   = Dxy h dxdy 2 . 4 = h 故所求积分为 4 2 1 = h 4 − h . 2 1 4 = − h 1 2 2 2 x dydz y dzdx z dxdy  + +  ( 1在yoz zox 和 面上投影面积为零) +  1 1 = − 原式  