深圳大学：《高等数学（理工类）》课程电子教案（PPT）第九、十章 多元函数积分学及其应用 第一节 多元函数积分的概念与性质

多元函数积分学 及其应用 第九章重积分 第十章曲线积分与曲面积分

多元函数积分学 及其应用 第九章 重积分 第十章 曲线积分与曲面积分

引言 在一元函数积分学中,我们知道定积 分是某种确定形式的和的极限.这种和的 极限的概念推广到定义在区域、曲线及 曲面上多元函数的情形,便得到重积分 曲线积分及曲面积分的概念 将函数在这些区域、曲线及曲面上 的积分统称为函数在几何形体上的积分

引 言 在一元函数积分学中,我们知道定积 分是某种确定形式的和的极限. 极限的概念推广到定义在区域、曲线及 曲面上多元函数的情形，便得到重积分、 曲线积分及曲面积分的概念. 这种和的 将函数在这些区域、曲线及曲面上 的积分统称为函数在几何形体上的积分

第一节多元函数积分的概念与性质 1物体质量的计算 设有一质量非均匀分布的物体,其密度 是点M的函数p=f(M) 如果函数f已知,怎样求物体的质量呢?

第一节 多元函数积分的概念与性质 1. 物体质量的计算 设有一质量非均匀分布的物体，其密度 是点M的函数 如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？  = f (M)

在定积分中,一根线密度为 u=f()=f() 的细棒AB,它的质量可通过“分割”、“近仁 “求和”、“取极限”四个步骤化为定积分 mm∑/(4A=Jmf(x)yx B ==-----|-+-- b=x i-1

在定积分中，一根线密度为  = = f M f x ( ) ( ) 的细棒AB，它的质量可通过“分割”、“近似”、 “求和”、“取极限”四个步骤化为定积分 ( ) 0 1 = lim n i i i m f x   → =   ( ) b a = f x dx  i−1 x i x i  0 a = x n b = x A B o x

平面薄板的质量 设它所占的平面区域为D,其密度为 =f(M)=f(x.y)在D上连续, 类似于对直棒的处理 ■■■■匚 “化整为零” 可按如下步骤计算它的质量

平面薄板的质量 设它所占的平面区域为D，其密度为  = = f M f x y ( ) ( . ) 在D上连续， D 类似于对直棒的处理 ------ “化整为零” 可按如下步骤计算它的质量

【分割】把D任意划分为n个子域△G1(也表 示面积)i=1,2,…n,x1M △ 【近似】VM;∈△σ △m;≈f(M1)△o 求和】 m=∑△m1≈∑∫(M)△a1 n 【取极限】m=lim∑f(M1)△a →>0 λ=max{△的直径

【分割】 【近似】 把D任意划分为n个子域  i 示面积） i n = 1,2, , , Mi   i i Mi i m  f ( ) 【求和】 【取极限】   = = =    n i i i n i m mi f M 1 1 ( )  0 1 lim ( ) n i i i m f M   → = =     =  max i 的直径 x y o D  i Mi （也表

细棒的质量m=lim∑f(Ax 薄板的质量m=im∑f(M)△a → 0 均可由相同形式的和式极限来确定 般地,设有一质量非均匀分布在某 几何形体G上的物体(G可以是直线段 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线) 其质量可以按照以上四个步骤来计算:

薄板的质量 细棒的质量 ( ) 0 1 = lim n i i i m f x   → =   0 1 lim ( ) n i i i m f M   → = =   均可由相同形式的和式极限来确定. 一般地，设有一质量非均匀分布在某一 几何形体G上的物体（ G可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线）， 其质量可以按照以上四个步骤来计算：

【分割】把G任意划分为n个子域△g(也表 示度量)i=1,2 近似】Ag1上质量分布近似看作均匀 yM,∈△g,△m2≈f(M1)g n 【求和】m=∑△m1≈∑f(M1Ag 取极限】元=max{△g的直径 m=Iim∑f(M)A 丸→>0i

把G任意划分为n个子域 示度量） i n = 1,2, , ,    M g i i ( )    m f M g i i i 1 1 ( ) n n i i i i i m m f M g = = =      0 1 lim ( ) n i i i m f M g → = =    =  max gi 的直径 【分割】 （也表 【近似】 【求和】 【取极限】 i g i g 上质量分布近似看作均匀

2.多元函数积分的概念 定义 设G表示一个有界的可度量几何形体, 函数f(P)在G上有界将G任意划分为n个 小部分△g;,i=1,2,…n.Ag也表示其度量 任取点P∈Ag,作乘积f(P)△g,i=12,…n 作和式∑f(P)△g

2. 多元函数积分的概念 定义 函数f P G ( )在 上有界. 设G表示一个有界的可度量几何形体， g ,i 1,2, n. 小部分 i =  也表示其度量. gi 将G任意划分为n个 , ( ) , 任取点P g f P g i i i i    作乘积 1 ( ) n i i i f P g = 作和式   i n = 1,2,

不论G怎样划分,点在△g中怎样选取, 当所有Ag的直径的最大值2→时,和式 ∑f(P)g都趋于同一常数 那么,称函数f在G上可积,且此常数 为多元函数f在G上的积分记作 f(Pk=lm∑f(P

不 论G怎样划分，点Pi 在gi 中怎样选取， 0 i 当所有 → g的直径的最大值 时，和式 都趋于同一常数， 那么，称函数f 在G上可积，且此常数 为多元函数 f 在G上的积分.记作 ( ) ( ) 0 1 = lim n i i G i f P dg f P g → =    1 ( ) n i i i f P g =  