5安石大浮200105学年第二学期考试题 课程名称高等数学(下) 考试性质考试试卷类型A 使用班级全校工科考试方法闭卷人数 浴巡出州 四五六七八九十总成绩 成绩 单项选择题(在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括 号中)(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.如果(x0,y)为f(x,y)的极值点,且f(x,y)在(x2y)处的两个偏导数存在,则 (x0,y)必为f(x,y)的() (A)最大值点; (B)驻点; (C)连续点; (D)最小值点 2.下列级数中条件收敛的是() (A)∑(-1)” (B)∑(-1)” n+1 (C) (D)∑(-1)"cos (A)分2=-73,与平面兀:4x-2y-2=3的位置关系是() 3.直线L -2y+2-3 与x,但不在z上;(B)平行与丌,且在丌上 (C)垂直与丌 (D)与丌斜交 4.用待定系数法求微分方程y+3y+2y=x2的一个特解时,应设特解的形式为 (A)ax:(B) ax+bx+c (c) x(ax+bx +c)i(D) x(ax+ bx+c) 5.在曲线x=1,y=-1,z=13的所有切线中,与平面x+2y+z=4平行的切线 () (A)只有1条;(B)至少有3条;(C)不存在;(D)只有2条 填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分 1.函数u=x2+y2在点(1,2)处沿点(1,2)到点(2,2+3)的方向导数为 2设函数u=:+,则dhl 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 课程名称 高 等 数 学 （下） 考试性质 考试 试卷类型 A 使用班级 全 校 工 科 考试方法 闭卷 人 数 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 成 绩 成 绩 一.单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括 号中）（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1.如果 ( , ) 0 0 x y 为 f ( , yx ) 的极值点，且 f ( , yx ) 在 ( , ) 0 0 x y 处的两个偏导数存在，则 ( , ) 0 0 x y 必为 f ( , yx ) 的( ) （A）最大值点 ； （B）驻点； （C）连续点； （D）最小值点 ． 2．下列级数中条件收敛的是( ) （A） = + 1 2 3 1 ( 1) n n n n ； （B） = 1 1 ( 1) n n n ； （C） = 1 2 1 ( 1) n n n ； （D） = 1 1 ( 1) cos n n n ． 3．直线 L ： 3 3 7 2 2 2 = + = x y z ，与平面 ：4x 2y 2z = 3的位置关系是( ) （A） 平行与 ，但不在 上； （B） 平行与 ，且在 上； （C） 垂直与 ； （D） 与 斜交. 4.用待定系数法求微分方程 " ' 2 y + 3y 2 =+ xy 的一个特解时，应设特解的形式为 =* y ( ) （A） 2 ax ；（B） ax + bx + c 2 ； （C） ( ) 2 x ax bx ++ c ；（D） ( ) 2 2 x ax bx ++ c . 5. 在曲线 x = t, y = t ， 3 z = t 的所有切线中，与平面 x + 2y + z = 4 平行的切线 ( ) （A）只有 1 条 ； （B）至少有 3 条； （C） 不存在 ； （D）只有 2 条. 二.填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1.函数 2 2 u x += y 在点（1，2）处沿点（1，2）到点（2，2+ 3 ）的方向导数为__________. 2.设函数 z y x u = ,则 (1,1,1) du =___________. 班级 学号 姓名 命题教师 教研室（系）主任审核(签字) --------------------------------------------- 装 ----------------------------------------- 订 2004 /2005 学年第 二 学期考试题
3级数∑ln(1+)是 (敛散性) 4设平面曲线L为下半圆周y=√a-x2,则j(x2+y)= 5.设f(x)是以2为周期的周期函数,在(-x,)上的表达式为 0,-r<x≤0 f(x) 则其傅里叶级数在点x=0处收敛于 0<x<丌 三.解答下列各题(本题共10小题,每小题5分,共50分) 1.设z=ln(x+2),求 2.设z=x(x,2),求C,a 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 3.级数 ) 1 ln(1 1 2 = + n n 是___________（敛散性）. 4.设平面曲线 L 为下半圆周 2 2 y = a x ，则 + L (x y )ds 2 2 =___________. 5.设 f (x) 是以2 为周期的周期函数，在( , ) 上的表达式为 < < < = 1 , 0 . 0 , 0 ; ( ) x x f x 则其傅里叶级数在点 x = 0处收敛于___________. 三.解答下列各题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）. 1.设 ) 2 ln( x y z x += ，求 (1,1) x z ， (1,1) y z . 2. 设 ( , ) x y z = xf x ，求 x z ， y z .
课程名称 使用班级 3.计算I=ddy,其中D是由y=x,x=1,x=2围成的闭区域 计算Ⅰ=lm+x2+y2dxdy,其中D是x2+y2≤1 5.计算==24,其中Σ是:=√x2+y介于15=≤2的侧面 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 3. 计算 = D dxdy y x I 2 2 ,其中 D 是由 y = x , xy = 1, x = 2 围成的闭区域. 4 . 计算 = + + D I ln( x y )1 dxdy 2 2 ,其中 D 是 1 2 2 x + y . 5. 计算 I = z dS 2 ,其中 是 2 2 z x += y 介于1 z 2的侧面. 课程名称: 使用班级 班级 学号 姓名 --------------------------------------------- 装 ----------------------------------------- 订
6.计算=5 +y2,其中L为x2+y2=1的正向 dx- xdu 7.计算曲面积分/=(x2+az2)hd+(y3+ax2)a+(=2+a2)dh,其中Σ为上半球 y2的外侧 求幂级数∑(n+1)x的和函数 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 6.计算 + = L x y ydx xdy I 2 2 ，其中 L 为 1 2 2 x + y = 的正向. 7.计算曲面积分 I = (x + az )dydz + ( y + ax )dzdx + z + ay )( dxdy 3 2 3 2 3 2 ，其中 为上半球 面 2 2 2 z = a x y 的外侧. 8. 求幂级数 = + 1 ( 1) n n n x 的和函数.
课程名称 使用班级 9.判别级数∑(,)的敛散性 n=l zn+ 10.求微分方程y-2y+y=e的通解 四.应用题(本题8分) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群总数为 N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任一时刻t已掌握新技术的人数为 x()(将x()视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技 术的人数之积成正比。比例系数k>0,求x() 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 9.判别级数 n n n n ) 2 1 ( 1 = + 的敛散性. 10.求微分方程 x y y y =+ e " ' 2 的通解. 四.应用题（本题 8 分）. 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群总数为 N ，在t = 0 时刻已掌握新技术的人数为 0 x ，在任一时刻t 已掌握新技术的人数为 x(t)（将 x(t) 视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技 术的人数之积成正比。比例系数k > 0 ，求 x(t) . 课程名称: 使用班级 班级 学号 姓名 --------------------------------------------- 装 ----------------------------------------- 订
五.证明题(本题共2小题,每小题6分,共12分) 1.设z=x(x,y)由方程x-m=0(y-nx)所确定,(其中m,n为常数,q为可微函数)证明 m二+n==1 2.设f(x)在(-∞,+∞)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线, 其起点为(a),终点为(c4)证明曲线积分-知+y)+/)-与 路径L无关 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 五.证明题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）. 1. 设 z = z( , yx ) 由方程 x mz = ( y nz) 所确定，（其中m, n 为常数， 为可微函数）证明 = 1 + y z n x z m . 2. 设 f (x) 在(,+) 内具有一阶连续导数，L 是上半平面( y > 0)内的有向分段光滑曲线， 其起点为( ,ba )，终点为( , dc ) .证明曲线积分 y f xy dy y x y f xy dx y I L [1 ( )] [ ( ) 1] 1 2 2 2 = + + 与 路径 L 无关.