一花大学 本科课程考试参考答案与评分标准 20052006学年第二学期 课程名称:高等数学(下)考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:全院工科 考试方法:闭卷命题教师:试题库 单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.(B)2.(B)3.(D)4.(A)5.(C) 填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 2 2y-3z+20=03 y 4.3x5.10a 三.解答下列各题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1:解:∫ 2分 4分 13 5分 解:把n,v代入得z=ysin(2x-3y) 分 n(2x-31)+2yco(2x-3y) 3分 ay r2 sin(2x-3y) COMox 3y)- 5分 解:令F(x,y,z) xyz,则 F 2分 分 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2005 /2006 学年第 二 学期 课程名称： 高等数学（下） 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级： 全院工科 考试方法：闭卷 命题教师：试题库 一．单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1．（B） 2．（B） 3．（D） 4．（A） 5．（C） 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1． 2 2 3 + 2． x 2y 3z + 20 = 0 3． 0 1 1 x 1 zy = = 4．3 5．10a 三.解答下列各题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）. 1：解: 13 8 1 (5,12) 2 2 (5,12) = + = x y x f x ----------------2 分 13 1 1 (5,12) (5,12) 2 2 = + = x y y f y ----------------4 分 z dx dy 13 1 13 8 d (5,12) = + ------------------------5 分 2. 解:把u, v代入得 sin(2 3 ) 2 2 x y x y z = --------------1 分 cos(2 3 ) 2 sin(2 3 ) 2 2 2 3 2 x y x y x y x y x z = + ------------3 分 cos(2 3 ) 3 sin(2 3 ) 2 2 2 2 x y x y x y x y y z = ---------------5 分 3. 解:令 F(x, y,z) = x + y + z 22 xyz ,则 xyz yz Fx = 1 ----------------1 分 xyz xz Fy = 2 ------------------2 分 xyz yx Fz = 1 -------------------3 分
会 a- F --4分 F -5分 ay F 4.解:过点A(2-1,3)且垂直于已知平面的直线方程为 y+ 2分 化为参数式得{y=-1-2t 3分 二= 代入平面方程得(2+1)-2(-1-2)-2(3-21)+11=0 解得t=-1 -4分 从而得垂足(15) 分 5.解 -5分 35 解:因为曲线积分于路径无关一 1分 所以(xy)=0d+f(x2+8x2y+1212)d 分 +12 1)+C-- -5分 7.解:dS 1分 oddy 2分 dr 3分 5分 8.解:添加平面Σ1:二=2,取上侧,∑+Σ1构成封闭曲面且取外侧 Q=0,R 1分 ax 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 xyz xy yz xyz F F x z z x = = ---------------------4 分 xyz xy xz xyz F F y z z y = = 2 ---------------------5 分 4. 解:过点 A(2,1,3)且垂直于已知平面的直线方程为 2 3 2 1 1 2 = + = x y z ----------------------2 分 化为参数式得 = = = + z t y t x t 3 2 1 2 2 -----------------3 分 代入平面方程得(2 + t) 2(1 2t) 2(3 2t) +11 = 0 解得t = 1------------------------------4 分 从而得垂足(1,1,5) --------------------------5 分 5. 解: = x x D x y x y x x y y 2 d d d d 2 1 0 2 -----------------3 分 = 35 1 ( )d 2 1 ) d 2 1 ( 6 1 0 4 1 0 2 2 2 = = x y x x x x x x --------5 分 6. 解:因为曲线积分于路径无关-------------------1 分 所以u x y dx x x y ye dy y x y ( , ) 0 ( 8 12 ) 2 0 3 0 = + + + -------------------4 分 = x y x y ye e C y y + 4 +12( + )1 + 3 2 2 -------------------5 分 7. 解: dxdy a x y a dS 2 2 2 = ----------------1 分 dxdy a x y a dS z Dxy = 2 2 2 1 ---------------2 分 = 2 2 0 2 2 2 0 a h dr a r r a d -----------3 分 = h a 2a ln -------------------------5 分 8. 解:添加平面 1 : z = 2 ,取上侧, + 1构成封闭曲面且取外侧. 2 P = x , Q = 0 , R = z , x x P = 2 , = 1 z R -----------------1 分
由高斯公式得 ∫xd+dhy=小j(2x+)dd-xdh+adod 3分 eddy 5分 9.解:lim 2分 lnn→2(n+1) 4分 所以由比值判别法得级数收敛 5分 10.解:收敛域为(-1,1 1分 令∑mx"=S(x),则当x≠0时,∑mr1Sm) 两边求导得Sx)1 2,即S(x) x(-1<x<1,且x≠0) (1-x)2 积分得∑x=1= 3分 又S(0)=0,所以S(x) 4分 即∑mx”=S( (-1<x<1) -5分 11.解:P(x)=--,Q(x)=-x 由公式y=g(+)得—2分 -xe i dx+c) (Cx-x3)-5分 12.解:特征方程为r2-6r+13=0 2分 解得=3+2i,F2=3-2i 3分 通解为y=e(C1cos2x+C2sin2x) 5分 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 由高斯公式得 x dydz + zdxdy 2 = x + dxdydz x dydz + zdxdy 1 2 (2 1) ----------3 分 =2 - Dxy 2dxdy = 2 ------------------5 分 9. 解: n n n n n n n n u u ( 1) 2 lim lim 1 + = + ------------------2 分 1 2 = < e ----------------------4 分 所以由比值判别法得级数收敛---------------------------------5 分 10. 解:收敛域为(1,1) -------------1 分 令 ( ) 1 nx S x n n = = ,则当 x 0 时, x S x nx n n ( ) 1 1 = = 两边求导得 2 (1 ) ( ) 1 x x S x = ，即 2 (1 ) ( ) x x S x = (1 < < 1,且xx 0) 积分得 dt t S t x x x x n n = = = 0 1 ( ) 1 ------------3 分 又 S(0) = 0 ,所以 2 (1 ) ( ) x x S x = ---------------4 分 即 n=1 n nx = 2 (1 ) ( ) x x S x = (1 < x < )1 -------------5 分 11．解: x P x 1 ( ) = , 2 Q( ) = xx 由公式 + = ( ( ) ) ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx 得-------------2 分 + = ( ) 1 2 1 y e x e dx C dx x dx x = ) 2 1 ( 3 Cx x -------------5 分 12．解:特征方程为 6 13 0 2 r r + = -------------2 分 解得r 23 i 1 = + , r 23 i 2 = --------------3 分 通解为 ( cos 2 sin 2 ) 1 2 3 y e C x C x x = + --------------5 分
四.应用题(本大题5分) 解:设长方体得长,宽,高分别为x,y,z,则有 2(xy+x+y=) 1分 令∫(x,y,z)=2(xy+xx+yz)+A(xyz-a) 2分 f=2(y+z)+4yz=0 J,=2(x+2)+Ax==0 4分 ∫2=2(x+y)+xy=0 解之得x=y=z=Va -5分 五.证明题(本大题共5分). 证明()端mdb-mmd=「(m+c-m)一 1分 右端 =丌 2分 所以原式成立 (2)由(1)式知xemd-ye-mdx=(em+em)dhy 分 )dxdy ≥2dxdy -4分 D 2----5分 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 四.应用题（本大题 5 分）. 解:设长方体得长,宽,高分别为 x, y,z ,则有 xyz = a , s = 2(xy + xz + yz) --------1 分 令 f (x, y,z) = 2(xy + xz + yz) + ( yz ax ) ------------------2 分 = + + = = + + = = + + = 2( ) 0 2( ) 0 2( ) 0 f x y xy f x z xz f y z yz z y x --------------------4 分 解之得 3 x = y z == a .---------------------5 分 五.证明题（本大题共 5 分）. 证明(1)左端= e dy e dx e e dx y x x x ( ) 0 sin sin 0 sin 0 sin = + ---------1 分 右端= e dy e dx e e dx y x x x ( ) 0 sin sin 0 sin 0 sin = + ----------2 分 所以原式成立. (2)由(1)式知 xe y ye x e e dxdy D x y x L y d d ( ) sin sin sin sin = + --------3 分 = e e dxdy D x x ( ) sin sin + D 2dxdy --------4 分 = 2 2 ------------5 分