系别 班级 姓名 学号 高等数学作业4 无穷小与无穷大 一、判断题 1.0是无穷小量();无穷小量是0( 2.两个无穷小量之商一定是无穷小量() 3.无穷个无穷小量之和是无穷小量( 4若f(x)为无穷小量,则2为无穷大量() 5.若f(x)为无穷大量,则 f(x)为无穷小量( 6.无穷大量与无穷大量之和是无穷大量( ); 7.无穷大量与有界变量之积是无穷大量( 8若f(x)g(x)为无穷小,Bf(x)是无穷小,则g(x)必为无穷小( 9.无界变量一定是无穷大量( 二、选择题: 1.若limf(x)=a,又∫(x)-a=a,则当x→xo时,a是() A.常量;B.无穷小量;C.变量;D.以上都不对 2.当x→0时,下列变量中为无穷小量的是(). A In I sinr Ii B. cos-; sIn- e 3.变量y= x+1 在过程为 )时,为无穷大量 A 0;B.x→1 n2,n为偶数, 4.设 nn为奇数则数列{x,是( A.无穷小量;B.无穷大量;C.有界变量;D.无界变量。 5.数列{xn}={n·2-}是( A.无穷小量;B.有界变量;C.无界变量;D.以上都不是 6.若数列{x,|={ acount|是无穷大量,则() 13
A.|al=1;B.|a|>1;C.al0,总存在 δ>0,使当00,总存 在Z>0,使当|x 时,即有 f(r)I>M 四、根据定义证明: 1.y=xsin当x→0时为无穷小
2.lmxn=0的充分必要条件是im|xn|=0 五、计算下列极限 1. lin +2 lim 2. 3.lim(2x3-x+1) limr sin 六、选作题: 1.证明函数y=sin在区间(0,1]无界,但当x→+0时,这函数不是无穷大.(提 示:可分别考虑取x4= 及 2kπ k 2kr 15
2试证当x→0时,函数y=1+2是无大,问x应满足什么条件,能使/y1>10 3.已知f(x)=x-3x+:试证:(1)当x→1或2时,f(x)是无穷大量;(2)当x →∞时,f(x)是无穷小量;(3)当x→a时,(其中,a为常数,且a≠1,2),f(x)既不为无 穷大也不为无穷小,而是一个有界变量.(4)说明铅直直线x=1和x=2及水平直线y= 0与曲线∫(x)有怎样的关系?