系别 班级 姓名 学号 高等数学作业16 中值定理(I 一、对函数∫(x)= actant在区间[0,1上验证拉格朗日中值定理的正确性 二、设f(x)=1+x"(1-x)",其中,m,n为正整数利用罗尔定理证明方程f(x)=0在(0, 1)内至少有一实根 E若方程f(x)=a0x+a1x”1+…+an1x=0有一正根x=x0,利用罗尔定理.证明:f(x) =0必有一小于x的正根 61·
四利用拉格朗日中值定理证明:|any- arctan I≤y-x1.(其中,x,y∈(0,2) 五、用反证法证明方程x3+x-1=0仅有一个正根 六若f(x)在(a,b)内二阶可导,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中,a<x1<x2<x<b,证 明:在(x1,x3)内至少存在一点,使f()=0 七,x≈0,证明:f(x)=a0+a1x+…+ax在(0,1)内至少有一零点(提 示造一在[0,1]上满足罗尔定理条件的函数F(x),使F(x)=f(x))
八设0<b<a,证明:-b< 九、证明:对于x≥1恒有2 actant+ain12=x.(提示:若令上式左边为f(x),证明:f(x =0,且f(1)=π) 十选作题: 1.设f(x)在[1,2]上二阶可导,且f(1)=f(2)=0,F(x)=(x-1)2f(x),证明在区间 (1,2)内至少存在一点使F()=0(提示:注意:F(1)=0,再证存在x∈(1,2),使F(x0) =0即可) 2.设f(x)和g(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导,且f(a)=∫(b)=0,证明:方程 f(x)g(x)+f(x)g(x)=0在(a,b)内有解 63
3.证明:当x>1时有e>m.(提示:对于e在[1,x]上应用拉格朗日中值定理) 4.设函数∫(x)在[0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1)的直线 与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c),其中0<c<1,证明:在(0,1)至少存在一点,使f() =0、(提示:存在与∈(0,c),2∈(c,1)使f(1)=f(1)-f(0)=f(2) 64