安柔油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 2004/2005学年第二学期 课程名称:高等数学(下)考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:全院工科 考试方法:闭卷命题教师:试题库 单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.(B)2.(B)3.(A)4.(B)5.(D) 填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.1+2√32.ax-dhy3.收敛4.m35 解答下列各题(本题共10小题,每小题5分,共50分) 解:因为 02 (1-2) 3分 所以 1 az 2 -5分 3 Oy 2.解:2=f+X(-/) 分 f2 5分 3分 4分 9 -5分 4.解:1=dO「hm(1+r2)mb-3分 丌(2ln2-1) -5分 5.解:因为z= 分 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2004 /2005 学年第 二 学期 课程名称： 高等数学（下） 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级： 全院工科 考试方法：闭卷 命题教师：试题库 一．单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1．（B） 2．（B） 3．（A） 4．（B） 5．（D） 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1．1+ 2 3 2．dx dy 3．收敛 4． 3 a 5． 2 1 三.解答下列各题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）. 1．解： 因为 ) 2 (1 2 1 2 x y x y x x z + = ， x x y x y z 2 2 1 + = ；------3 分 所以 (1,1) 1 3 z x = ， 3 2 (1,1) = y z . -------5 分 2. 解： ( ) ' 2 2 ' 1 f x y f x f x z = + ； -------3 分 ' 2 f y z = . -------5 分 3. 解： = 2 1 2 I x dx x x dy y 1 2 1 -------3 分 = dx x x x ) 1 ( 2 1 2 ------4 分 = 4 9 ( 2 ) 4 1 2 1 4 2 x x = . -------5 分 4. 解： = 2 0 I d + 1 0 2 ln(1 r )rdr -------3 分 = (2ln 2 1) . -------5 分 5. 解： 因为 2 2 ' x y x z x + = ， 2 2 ' x y y z y + = ， dS = 2dxdy -----2 分
所以=「(x2+y2)2dd-3分 d 分 15√2 --5分 0≤t≤2丌-2分 y=sInt 所以I= 2 sin td(cos t)-cos td (sin t) --4分 cos 2t +sin 2t dt=-2丌 分 7.解:补平面∑1:z=0,取下侧.由Gass得 1分 =∫-∫-3分 j3x2+3y2+3:2)h+p0thy =3 r dof sin gdo fdr+∫ah-4分 -5分 8.解:R=lman 在(-1.1)收敛 分 n→ 令S(x)=∑(n+1)x” 则∫S(xk=∑n+Dx2h=∑(m+x=∑x= 2分 即S(x)=1 -4分 求导得S(x)= -5分 9.解:因为lim 4分 n→∞ 所以原级数收敛 5分 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 所以 = + Dxy I (x y 2) dxdy 2 2 ------3 分 = 2 0 2 d 2 1 2 r rdr ------4 分 = 2 15 2 . -------5 分 6. 解： L ： = = y t x t sin cos 0 t 2 ------2 分 所以 + = 2 0 2 2 cos sin sin (cos ) cos (sin ) t t td t td t I ------4 分 2 2 0 = = dt . -------5 分 7. 解： 补平面 1： z = 0，取下侧.由Gauss 得 -----1 分 + = 1 1 I ------3 分 = + + + D x y z dv ay dxdy 2 2 2 2 (3 3 3 ) = d d r dr ay dxdy D a + 2 0 4 2 0 2 0 3 sin -----4 分 = 5 20 29 a .------5 分 8. 解： lim 1 1 = = + n n n a a R ，在(1.1) 收敛. ------1 分 令 = = + 0 ( ) ( 1) n n S x n x 则 x x S x dx n x dx n x dx x n n n x n x n n x = + = + = = = + = = 1 ( ) ( 1) ( 1) 0 1 0 0 0 0 0 ------2 分 即 x x S x dx x = 1 ( ) 0 ----4 分 求导得 2 (1 ) 1 ( ) x S x = .------5 分 9. 解： 因为 1 2 1 ) 2 1 lim ( <= + n n n n n ----- 4 分 所以原级数收敛 .------5 分
10.解:特征方程为r2-2r+1=0,即r1=z2=1 1分 所以y=(C1+C2x)e 3分 而=1为二重根, 所以令y=bx2ex,代入原方程得b 所以 -4分 所以y=(C1+C2x)e2+x2er 5分 四.应用题(本题8分) Kx(N 解:由题可知{d 4分 由此可得d=kdt 5分 x(N-x) 积分得x≈NCe2AW 6分 代入初始条件得x= 8分 五.证明题(本题共2小题,每小题6分,共12分) (1)证明:对方程的两边分别求关于x的导数得 2分 n-ngp 对方程的两边分别求关于y的导数得 m2=9(1-n2)→2=-4分 m-+n --6分 (2)证明:因为P(x,y)=-[+y2f(xy),Q(x,y)=[y2f(xy)-1]--1分 =f(x,y)-一2+xyf(xy), f(xy)-4分 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 10. 解：特征方程为 2 1 0 2 r r + = ，即 r1 = r2 = 1 -----1 分 所以 x Y C C x)( e = 1 + 2 ------3 分 而 = 1为二重根， 所以令 x y bx e * 2 = ，代入原方程得 2 1 b = 所以 x y x e * 2 2 1 = -----4 分 所以 y = x (C C x)e 1 + 2 + x x e 2 2 1 .------5 分 四.应用题（本题 8 分）. 解： 由题可知 = = = 0 0 ( ) x x kx N x dt dx t -------4 分 由此可得 kdt x N x dx = ( ) --------5 分 积分得 kNt kNt Ce NCe x + = 1 --------6 分 代入初始条件得 kNt kNt N x x e Nx e x 0 0 0 + = --------8 分 五.证明题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）. （1） 证明：对方程的两边分别求关于 x 的导数得 1 ( ) ' x z n x z m = ' 1 x m n z = ------2 分 对方程的两边分别求关于 y 的导数得 (1 ) ' y z n y z m = y n m z = ' ' ------4 分 = + y z n x z m ' m n m + 1 ' ' = n m n ------6 分 （2） 证明： 因为 [1 ( )] 1 ( , ) 2 y f xy y P x y = + ， ( , ) [ ( ) 1] 2 2 = y f xy y x Q x y ----1 分 ( ) 1 ( , ) ' 2 xyf xy y f x y y P = + ， ( ) 1 ( , ) ' 2 xyf xy y f x y x Q = + ------4 分
分 所以曲线积分与路径无关---6分 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 x Q y P = --------5 分 所以曲线积分与路径无关------6 分
