第三版前言 华东师范大学数学系编写的《数学分析》上、下册经过国家教委组织的专家 评审,列入“九五”教委级重点教材;并承高等学校数学和力学指导委员会基础数 学教学指导组对教材修订提出具体指导意见,我系数学分析编写组对本书在第 二版使用基础上进行修订 此次修订前我们广泛征求了各使月院校的意见,召开了使用教材情况的座 谈会,许多具有丰富教学经验的教师对本教材修改提供了许多积极、中肯的意 见.在此基础上,我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调 整和增删;同时考虑到近代数学分析教材发展潮流,适度地反映这方面的进展情 况,以适应对21世纪新教材的需求 关于实数理论,不少同类教材由小数出发叙述实数理论,这种方式比较容易 理解,并且与中学数学教学衔接得比较紧密.我们在第一章中采用由小数引进实 数的方法,并由此证明确界原理,希望这样处理有利于读者掌握这一实数基本原 理 在单变量微分学中,除按传统方式由速度和曲线的切线引入导数概念外,同 时也由极值问题引入稳定点概念,并使微分中值定理与其应用结合得更为紧密 积分理论方面,在引入定积分基本概念后,提前出现牛顿一莱布尼茨公式 这样能较早接触定积分计算.对于可积分条件先作直观描述,并用来证明某些函 数类的可积性,难度较大的可积性三个充要条件放到该章最后一节,可根据需要 选用,根据使用院校意见,反营积分和含参量积分各自独立成章 二重积分的变量变换公式在较强的条件下,利用格林公式进行证明;一般条 件下的重积分变换公式釆用连续模一致逼近的方法导出,对希望了解一般条件 下严格证明的读者可能有益,这个证明放在重积分最后一节 在欧美、俄罗斯数学分析教中对向量值函数微分学和外微分形式相当重 视,在应用数学中也日见其重要性.在前二版有关内容的基础上,我们使用迭代 法证明反函数定理,并由此证明隐函数定理及求导法,使得相应内容比较容易接 受;外积运用了浅近的解释,使其与重积分变量变换公式相联系.上述两部分内 容以“流形上微积分学初阶”为题构成第二十三章内容,供选学用 对于加“*”的章节,教学中可灵活选用,也可作为读者进一步阅读的内容或 作为选修课的内容,以使本书适合多种层次的需求
2 第三版前言 附录I微积分学简史.由张莫宙教授作了修订,读者可从此附录了解微积 分学发展的线索 附录Ⅱ实数理论.采用戴德金分划由有理数集的分划叙述实数完备性比 较直观、优美,仍是附录的重要组成部分.但用小数讲述实数理论与实用更靠近, 在附录最后添加“无限小数四则运算的定义”与正文相呼应 附录Ⅲ积分表 在这次修订中,我们审查了全部习题,适当进行了调整和补充,希望能更好 符合教学的需要 这次修订由吴良森任主编. 上册第一、二、三、四、七章由宋国栋编写;第五、六章由庞学诚编写;第八、 九、十、十一章由毛羽辉编写,上册由毛羽辉负责编写组织及修改 下册第十二、十三、十四、十五章由胡善文编写;第十六、十七、十八、二十三 章由吴良森编写;第十九、二十、二十一、二十二章由魏国强编写,下册由魏国强 负责编写组织 最后由吴良森统一整理庞学诚、魏国强分别审阅了上、下册的稿件 程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿, 并提出了宝贵的意见,对他们的鼓励和支持深表感谢 郑英元教授对修订提了许多积极的建议 高等学校数学和力学指导委员会成员,吉林大学孙善利教投对本书修改提 供了宝贵的意见 陕西师范大学、华南师范大学、南京师范大学、江西师范大学、广西师范大 学、常熟高等专科学校等院校数学系对教材修改也都提出过仔细的意见,在此致 以深切的谢意 华东理工大学谢国瑞教授和交通大学孙薇荣教授仔细审阅了本书上册的稿 件,高等教育出版社高尚华编审审阅了下册的稿件,提出许多宝贵意见,在此表 示感谢 第三版中还会有许多不足之处,恳切希望读者批评指正 编者 1999年9月
再版的话 本书自1980年出版发行以来,由于它在取材、体系、可读性诸方面较为切合 我国教学实际,而被许多兄弟院校所采用,并于1987年国家教育委员会举办的 全国优秀教材评选中获全国优秀奖.近几年,许多学校在数学教学改革中,更新 了一些课程,对数学分析提出了许多新的要求.基于这些情况,我们在这次再版 中,除订正初版中的某些疏漏外,在不影响本书原有体系、格局的前提下,对某些 内容作了适当的增删和调整,使全书内容更充实,结构更合理,且有更大的选择 性,以期适应各类学校师生的需要 修改的主要内容有 在第一章精简某些与中学数学相重复的函数概念,增加实数集有关的一些 内容,如有界集,确界和确界原理等 在极限理论方面,把出发点改为“确界原理”(原来是“单调有界原理”),并在 第二章用它证明单调有界定理,第四章用它证明实指数幂的性质,最后在第八章 完成对实数完备性的几个等价命题的证明,相应地,在附录Ⅱ实数理论中,也改 用戴德金分划说定义实数,并证明了确界原理(原来釆用柯西列定义实数,虽有 不少优点,但不够直观,不易理解).此外,子列概念提前到第二章,第八章“极限 与连续性(续)”(原为第七章)在内容和次序上也稍作调整. 对于微分学,在单元部分,把原来的第六章中值定理与导数应用分为两章 在新的第六章“微分学基本定理与不定式极限”增加了导数极限定理与达布定理 (小字排印),用以揭示导函数的性质;在新的第七章“运用导数研究函数性态”加 强了日益显得重要的凸函数概念.在多元部分,除对原有内容作不同程度精简 外,主要增加了第十九章“向量函数微分学”,以便在更一般形式上讨论多元函数 理论,使读者对经典导数概念的认识得以深化.这一章目前暂作选学材料,期望 今后能逐步用向量函数的方式取代传统内容成为多元函数微分学的主体 在积分学方面,于定积分中补充了第二积分中值定理(小字排印)压缩了反 常积分与含参量积分的内容,并把它分别并入定积分与重积分各章中,为便于重 积分部分的教学,在内容与结构上也稍作调整,其中第二十章主要讲述二、三重 积分的概念、计算与应用,在第二十一章除对二重积分中某些问题作进一步讨论 外,还介绍了n重积分(小字排印)和含参量非正常积分.此外,我们删去了“反 常重积分”与“外微分与一般斯托克斯公式”两节
2 再版的话 关于级数部分,在新版中删去了对傅里叶级数一致收敛性的进一步讨论 张奠宙教授为本书写了“微积分学简史”(附录I)我们认为,知道一点微积 分的来龙去脉,对每一位数学教育工作者来说是必要和有益的 在这次修订中,我们重新审查了本书的全部习题,并进行了调整与补充,以 便更加符合教学的需要.各节横线以上的习题仍然是必做题,每册书末都附有计 算题答案. 在新版中,用记号口表示命题证明或例题求解的结束.上册增加了附录Ⅲ “积分表”,每册末尾增设了名词和人名索引,以供读者检索 这次修订工作由程其襄、郑英元、毛羽辉和宋国栋等四人完成,程其襄教授 任主编,郑英元负责全书的统一整理工作.高等教育出版社郑洪深同志为本书的 初版和再版做了许多深入细致的工作.我系数学分析教学组成员对本书的修订 工作提出过许多积极的建议.本书自出版以来深得广大读者的关心与支持在 此,我们一并致以深切的谢意,并希望读者对本书给予批评与指正 编者 上册:1987年12月完成初稿,1990年2月完成修改稿 下册:1988年6月完成初稿,1990年6月完成修改稿
编者的话(初版 本书是根据1977年高等学校理科数学教材大纲讨论会所制定的《数学分 析)大纲编写的.全书分上、下两册,可作为高等师范院校数学系教学用书,以及 其他高等院校有关专业的教学参考书 关于本书的使用兹作以下一些说明:在极限问题的处理上,虽一开始就采用 E-8定义,但若干较难的理论证明则放到微分学之后.实数理论作为附录放在 上册的末尾.有关集合的基本概念,目前尚未在中学里全面普及,仍在附录Ⅰ中 作了简要的介绍.本书有部分内容用小号字排印,在实际教学中可视情况选用 本书各节都附有适量的习题,并把它们分为基本题与选作题两类,中间用一道横 线分开,横线之后的习题和各章的总练习题,读者可在教师指导下挑选一部分进 行练习.书末并附有计算题的答案 本书由程其襄教授主编,编写组写出初稿后,经程其襄、周彭年、郑英元修改 定稿(郑英元执笔整理).先后参加本书编写工作的有;陈昌平、陈美廉、徐钧涛、 曹伟杰、杨庆中、黄丽萍、张奠宙、宋国栋等同志.此外,林克伦、华煜铣、顾鹤荣等 同志也参加过一些工作 北京师范大学、武汉大学担任本书主审,先后参加审稿的单位有:上海师范 学院、安徽师范大学、吉林师范大学、曲阜师范学院、西藏师范学院、陕西师范大 学、贵阳师范学院徐州师范学院新乡师范学院以及四川师范学院、华中师范学 院、华南师范学院、江西师范学院、昆明师范学院、南京师范学院等,廿肃师范大 学的同志也对本书上册提出过仔细的修改意见在审查过程中,大家对原稿提出 了许多宝贵的意见和建议,我们曾根据这些意见作过许多重大的修改,特此表示 衷心的感谢 由于我们水平有限,恳切希望读者对本书的缺点错误给予批评指正 编者 1979.ll 又及,本书最后定稿时,曾照一九八O年五月在上海举行的高等学校理科数 学教材编审委员会审订的《数学分析)大纲作了修订 编者 1980.9
目录 第一章实数集与函数 §1实数 实数及其性质 绝对值与不等式………………… §2数集·确界原理 区间与邻域 13455 二有界集·确界原理…… §3函数概念 函数的定义……… .·, 二函数的表示法………… 三函数的四则运算 …………11 四复合函数…… 五反函数 ·、· 六初等函数…… §4具有某些特性的函数… 有界函数… 6 单调函数…… 三奇函数和偶函数………… 四周期函数… 第二章数列极限 1数列极限概念 S2收敛数列的性质 §3数列极限存在的条件 第三章函数极限 81函数极限概念
目录 x趋于∞时函数的极限…………… 趋于x0时函数的极限 §2函数极限的性质 48 §3函数极限存在的条件… 84两个重要的极限 证明im …56 T 二证明im(1+ §5无穷小量与无穷大量…9 无穷小量… 无穷小量阶的比较…… 三无穷大量…… ………………62 四曲线的渐近线 第四章函数的连续性 S1连续性概念 函数在一点的连续性… 间断点及其分类… 三区间上的连续函数… §2连续函数的性质 连续函数的局部性质… 74 闭区间上连续函数的基本性质…………… 三反函数的连续性… 四一致连续性… §3初等函数的连续性………… 指数函数的连续性 初等函数的连续性 ………83 第五章导数和微分 §1导数的概念 导数的定义……………… 二导函数… 导数的几何意义………… §2求导法则 导数的四则运算
目录 反函数的导数 复合函数的导数……… 四基本求导法则与公式 ··中,,,,。·垂··非,,··.非 ………………101 §3参变量函数的导数 103 §4高阶导数 106 §5微分 微分的概念…… 110 二微分的运算法则… 12 三高阶微分… 113 四微分在近似计算中的应用 …………114 第六章微分中值定理及其应用 §1拉格朗日定理和函数的单调性… ∴………………119 罗尔定理与拉格朗日定理 119 二单调函数… ···:·····“····· 123 §2柯西中值定理和不定式极限…… ………………………125 柯西中值定理………… n中 125 二不定式极限 127 §3泰勒公式 134 带有佩亚诺型余项的泰勒公式…………… 134 二带有拉格朗日型余项的泰勒公式……………………………………138 三在近似计算上的应用…………… §4函数的极值与最大(小)值… 142 极值判别 142 二最大值与最小值… ;aa;a·a“章·“.a.············“ …144 §5函数的凸性与拐点 非.,非··,., §6函数图象的讨论………… §7方程的近似解 ……155 第七章实数的完备性 S1关于实数集完备性的基本定理 区间套定理与柯西收敛准则 二聚点定理与有限覆盖定理 163 实数完备性基本定理的等价性 §2闭区间上连续函数性质的证明… 168
目录 83上极限和下极限 172 第八章不定积分 §1不定积分概念与基本积分公式 …176 原函数与不定积分 …176 二基本积分表 179 §2换元积分法与分部积分法 换元积分法… …………182 分部积分法 §3有理函数和可化为有理函数的不定积分………………………190 有理函数的不定积分…… 三角函数有理式的不定积分 …………………194 三某些无理根式的不定积分 ……………195 第九章定积分 s1定积分概念……… …………………200 问题提出 二定积分的定义… §2牛顿一莱布尼茨公式 ………………………204 §3可积条件… 可积的必要条件 207 可积的充要条件… 208 可积函数类 ………………………209 §4定积分的性质…… 13 定积分的基本性质… …………213 积分中值定理 217 §5微积分学基本定理定积分计算(续) 变限积分与原函数的存在性… ……220 换元积分法与分部积分法 224 三泰勒公式的积分型余项…………… §6可积性理论补叙… …………231 上和与下和的性质 ‘,·.、++.,,丰「· 231 可积的充要条件
目录 第十章定积分的应用 §1平面图形的面积 §2由平行截面面积求体积……… ………………………243 §3平面曲线的弧长与曲率 247 平面曲线的弧长 …247 二曲率 250 §4旋转曲面的面积 53 微元法 53 旋转曲面的面积 …………………254 §5定积分在物理中的某些应用………………… …………255 液体静压力 255 引力………………… 256 三功与平均功率 …257 §6定积分的近似计算…… …259 梯形法… …260 抛物线法 260 第十一章反常积分 §1反常积分概念………………………………264 问题提出 鲁 ……264 两类反常积分的定义 265 §2无穷积分的性质与收敛判别 270 无穷积分的性质……………………………………………………………270 比较判别法 271 三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法… 273 §3瑕积分的性质与收敛判别……… 276 附录I微积分学简史 附录Ⅱ实数理论 非,非 建立实数的原则 分析 90 三分划全体所成的有序集… 292 四R中的加法… ∴29 五R中的乘法 295 六R作为Q的扩充……… …297
