第三章中值定狸与导数的应用 §31微分中值定理 §32洛必达法则 §33泰勒公式 §34函数的单调性与曲线的凹凸性 §35函数的极限与最大值最小值 §36函数图形的描绘
1 第三章 中值定理与导数的应用 §3.1 微分中值定理 §3.2 洛必达法则 §3.3 泰勒公式 §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 §3.5 函数的极限与最大值最小值 §3.6 函数图形的描绘
§3.1微分中值定理 罗尔(Roll定理 费马引理 设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内有定义, 并且在x处可导,如果对任意的∈U(x0)有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0) 那么f"(x0)=0
2 §3.1 微分中值定理 一 罗尔(Rolle)定理 费马引理 ( ) 0. ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 = f x f x f x f x f x x x U x f x x U x 那 么 或 并且在 处可导，如果对任意的 ， 有 设函数 在 点 的某邻域 内有定义
罗尔(Roll定理 设函数∫(x)满足下列条件: (1)在闭区间{a,b上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; (3)f(a)=∫(b); 则在(a,b)内至少存在一点,使得f(4)=0
3 罗尔(Rolle)定理 设函数 ƒ(x) 满足下列条件: (1) 在闭区间 [a , b]上连续； (2) 在开区间 (a, b)内可导； (3) ƒ(a) = ƒ(b)； 则在 (a,b)内至少存在一点 ，使得 f ( ) = 0
几何解释: C y=∫(x 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切线是 水平的 s2 bx 4
4 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
因f(x)在闭区间[a,b上连续,由最大值与最小值 定理知,f(x)在[ab]上必有最大值M和最小值m 下面分两种情形讨论: (1)若M=m,则f(x)在[,b上恒为常数.从而 对于x∈(a,b),恒有f(x)=0 故在(a,b)内的每一点都可取作S定理显然成立
5 因 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续，由最大值与最小值 定理知， f(x) 在 [a,b]上必有最大值 M和最小值 m. 下面分两种情形讨论: (1) 若 M = m, 则 ƒ(x)在 [a , b]上恒为常数. 从而 对于x(a,b)，恒有 f (x) = 0. 故在 (a , b)内的每一点都可取作 ξ. 定理显然成立. 0 y x y=M a b 证明：
(2)若M≠m,而(a)=f(b) 则数M与m中至少有一个不等于端的数值,不妨 设M≠f(a),从而在区间(a,b内至少存在一点, 使得f(5)=M 下面证明f(2)=0 因为vx∈[a,bf(x)≤f(4)从而由费马引理可知 f(4)=0. 定理证毕
6 (2) 若M m，而f (a) = f (b) ( ) . ( ) ( , ) f M M f a a b M m = 使 得 设 ，从而在区间 内至少存在一点 ， 则 数 与 中至少有一个不等于端点的数值，不妨 下面证明 f ( ) = 0. 因为x[a,b]，f (x) f ( )，从而由费马引理可知， f ( ) = 0. 定理证毕
注罗尔定理研究的是导函数方程f(x)=0的根 的存在性问题.罗尔定理是定性的结果,它只肯定 了至少存在一个s,而不能确定S的个数,也没有 指出实际计算S的值的方法.但对某些简单情形, 可从方程中解出
7 注. 罗尔定理研究的是导函数方程 的根 的存在性问题. 罗尔定理是定性的结果, 它只肯定 了至少存在一个 ξ , 而不能确定ξ 的个数, 也没有 指出实际计算 ξ 的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中解出 ξ . f (x) = 0
例1证明方程x5-5+1=0有且仅有一个小于 1的正实根 证:(1)存在性 设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在闭区间0,1上连续, 且f(0)=1,f(1)=-3 由介值定理,彐x0∈(0,1),使得(x0)=0 即为方程的小的正实根
8 例 1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证： ( 1 ) 存在性 (0) 1 (1) 3. ( ) 5 1 ( ) [0,1] 5 = = − = − + f f f x x x f x 且 ， 设 ， 则 在闭区间 上连续， (0,1) ( ) 0. 由介值定理，x0 ，使得f x0 = 即为方程的小于1的正实根
(2)唯一性反证法 假设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使f(x1)=0 不妨设x<x1,则f(x)在闭区间x,x1c[0,1 上连续,在开区间xn,x1)c(0,1)内可导,且 ∫(x0)=f(x1)=0,根据罗尔定理,至在 点ξ∈(x0,x1)使得f()=0 但∫'(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾 所以x0为唯一实根
9 (2) 唯一性(反证法) (0,1) ( ) 0. 假设另有x1 ，x1 x0 ，使 f x1 = ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) 0 ( , ) (0,1) ( ) [ , ] [0,1] 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 = = = x x f f x f x x x x x f x x x 一 点 ，使得 ，根据罗尔定理，至少存 在 上连续，在开区间 内可导，且 不妨设 ， 则 在闭区间 . ( ) 5( 1) 0 ( (0,1)) . 0 4 所 以 为唯一实根 但 ， 矛 盾 x f x = x − x
例2求证4ax3+3bx2+2cx-a-b-c=0在(O,1)内 至少有一个根。 证明:设F'(x)=4ax3+3bx2+2cx-a-b-c F(x)=ax+bx+cx--(a+b+c)x F(x)∈C|0,1,F(x)在(,1)内可导,F(0)=F(1)=0, 据Roll定理,∈(0,1),使F()=0, 即:4n23+3b2+2c2-a-b-c=0
10 3 2 例2 求证4 3 2 0 (0 1) ax bx cx a b c + + − − − = 在 ，内 至少有一个根。 F(x) = 4ax + 3bx + 2cx − a − b − c 证明：设 3 2 F(x) ax bx cx (a b c)x 4 3 2 = + + − + + F(x)C[0,1],F(x)在 （0，1）内可导，F(0) = F(1) = 0, 据Rolle定理， (0，1),使F( ) = 0, : 4 3 2 0. 3 2 即 a + b + c − a − b − c =