数学分析(4) Mathematical Analysis
数学分析（4） Mathematical Analysis Mathematical Analysis Mathematical Analysis Mathematical Analysis
第十七章多元函数微分学 §1偏导数与可微性 §2复合函数微分法 §3方向导数与梯度 §4泰勒公式与极值
第十七章 多元函数微分学 §1 偏导数与可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值
§1偏导数与可微性 设二=f(x,y2B(x,1) F可微: Az=/(x+Ax,y+△1)-/(x,n)=A+B升+√A2+y2) P的全微分: ∠|=6(x,x)=Ar+BAy 设/于可微,则 (x,y)≈f(x,1)+∥x-)+B(y-)
§1 偏导数与可微性 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( ); ( , ) . P z f x y P x y f x x y y f x y A x B y o x y dz df x y A x B y = ∆ + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = = ∆ + ∆ 设 0 0 f于P 可微： z = f于P 的全微分： 0 0 0 0 0 , ( , ) ( , )+ ( ) ( ). f P f x y f x y A x x B y y ≈ − + − 设 于 可微 则
§1偏导数与可微性 例:考察f(x,1)=于(x231)的可微性 间:设/于可微,B与/有何关系?
§1 偏导数与可微性 0 0 例：考察 f x y xy x y ( , ) ( , ) . = 于 的可微性 0 问：设 f P A B f 于 可微, , 与 有何关系？
§1偏导数与可微性 定义 1(x6,) f(x,1)-(x02) 10,1 (x0,)-.f(x0,) 1>1 0,1 1-1
§1 偏导数与可微性 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim ; ( , ) ( , ) ( , ) lim . x x x x y y y y x y f f x y f x y f x y x x x f f x y f x y f x y y y y → → ∂ − = = ∂ − ∂ − = = ∂ − 定义：
§1偏导数与可微性 z=f(x, yo) f(n,y)
§1 偏导数与可微性
§1偏导数与可微性 例:求下列函数在原点的偏导数 x2+y2≠0 r+ 0 +p≠0 2.f(x,y)=x2+y2 r 0
§1 偏导数与可微性 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, 1. ( , ) 0, 0. , 0, 2. ( , ) 0, 0. xy x y f x y x y x y xy x y f x y x y x y ⎧ + ≠ ⎪ = ⎨ + ⎪ ⎩ + = ⎧ ⎪ + ≠ = ⎨ + ⎪ ⎩ + = 例：求下列函数在原点的偏导数
§1偏导数与可微性 定理(可微的必要条件) 设二=(x于R(x,)可微,则/(x,),(x,1 存在,且=f(x2)hx+(x2)h 定理(可微的充分条件) 设二=(x,1)偏导数于(x,)某邻域内存在 且于连续,则/f可微
§1 偏导数与可微性 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) . x y x y z f x y P x y f x y f x y dz f x y dx f x y dy = = + 设 于 可微,则 存在,且 定理（可微的必要条件） 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) . z f x y P x y P f P 设 = 的偏导数于 的某邻域内存在 且于 连续,则 于 可微 定理（可微的充分条件）
§1偏导数与可微性 曲面二=(x,)于(x,n)处的: 切平面: (x6,)(x-x)+f(x,1(y-)(二--)=0 法向量: n=(f(x,)/(x,1),-1 法线: -1 (x621)/(x,1)-1
§1 偏导数与可微性 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) ( ( ) ) 0; ( , ), ( , ), 1 ( , ) ( , ; . ) 1 x y x y x y z f x y P x y f x y x x f x y y y z z f x y f x y x x y y z z f x y f x y n = − + − − − = − − = = = − − − � 曲面 于 处的： 切平面： 法向量： 法线：
§2复合函数微分法 链式法则 设=f(x,1)2x=g(,D,y=从0,则 或 +5y ==x+1
§2 复合函数微分法 ( ) ( ) ( , ), ( , ), ( , ), s t s t x y s t s x s y s t x t y t x z f x y x z z z z y y z z x g s t y h s x z y z z x z y t ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + = = ⎧⎪ ⎨ ⎪ = + ⎩ = 或 设 则 链式法则：