深圳大学：《高等数学（理工类）》各章释疑解难_第十章 曲线积分与曲面积分

释疑解难曲线积分与曲面积分 问题1.如何认识多元函数的几种积分的定义? 答:多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出,统称为几何形体上的积分: ∫/(PdP=m∑/(P)AP,其中△P是将积分区域G任意分割为n块后的任一块 (=12…,n),P为△P内的任一点,花=max{AP},它是定积分的推广。 若G为平面域D,则是二重积分f(x,y)do 若G为空间区域Ω,则是三重积分f(x,y,=)hv 若G为曲线弧L,则是对弧长的曲线积分(xy) 若G为曲面∑,则是对面积的曲面积分f(xy,=)S 另外还有对坐标的曲线积分∫Pd+Qh=j(Posa+?osp 其中a,B为有向曲线弧L的切向量的方向角 对坐标的曲面积分 J Pdyd-s+@d=dx+Rdxdy=J(P cosa+@cos B+Cosy)ds 其中a,B,y为有向曲面∑的法向量的方向角。 问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念? 答:由于实际需要,曲线积分与曲面积分为两种类型,有关质量、重心、转动惯量等 数量积分问题导出第一类线面积分;有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第 二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分,无需考虑方向性,而后者被积函 数是向量函数,必须考虑方向。因此,一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两 种类型的积分,在所学过的积分中 区域无向的积分有:重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分; 区域有向的积分有:定积分、第二类曲线积分和第二类曲面积分。 曲线的方向是由起点到终点(定积分)或切向量的方向来确定,曲面的方向则由曲面 上点的法向量所指向的侧来确定, 我们常会把两类积分相互转换,转换时必须注意符号,它体现了有向积分的方向。将 无向域的积分化为有向域的积分,如重积分化为累次积分(定积分),方向性体现为定积分 的上、下限的确定,而将有向域的积分化为无向域的积分,如第二型曲面积分化为二重积分 或三重积分,第二型曲线积分化为二重积分等,必须注意符号的确定问题。 问题3.应用格林公式时应注意什么问题? 答:应用格林公式应注意以下几点: 1.必须注意格林公式的条件是否满足,否则,就会出现错误 例如,设=④x-yatr ,其中L为x2+y2=1取正向,若按如下解法:

释疑解难 曲线积分与曲面积分 问题 1．如何认识多元函数的几种积分的定义？ 答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分： 0 1 ( ) lim ( ) n i i G i f P dP f P P → =  =   ，其中 Pi 是将积分区域 G 任意分割为 n 块后的任一块 ( 1, 2 , ) i n = ， Pi 为 Pi 内的任一点， max i i  = P ，它是定积分的推广。 若 G 为平面域 D ，则是二重积分 ( , ) D f x y d  。 若 G 为空间区域  ，则是三重积分 f x y z dv ( , , )   。 若 G 为曲线弧 L ，则是对弧长的曲线积分 ( , ) L f x y ds  。 若 G 为曲面  ，则是对面积的曲面积分 f x y z dS ( , , )   。 另外还有对坐标的曲线积分 ( cos cos ) L L Pdx Qdy P Q ds + = +     其中  , 为有向曲线弧 L 的切向量的方向角。 对坐标的曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS ( cos cos cos )      + + = + +   ， 其中    , , 为有向曲面  的法向量的方向角。 问题 2．如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？ 答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型，有关质量﹑重心﹑转动惯量等 数量积分问题导出第一类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第 二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑方向性，而后者被积函 数是向量函数，必须考虑方向。因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两 种类型的积分，在所学过的积分中： 区域无向的积分有：重积分﹑第一类曲线积分和第一类曲面积分； 区域有向的积分有：定积分﹑第二类曲线积分和第二类曲面积分。 曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定，曲面的方向则由曲面 上点的法向量所指向的侧来确定， 我们常会把两类积分相互转换，转换时必须注意符号，它体现了有向积分的方向。将 无向域的积分化为有向域的积分，如重积分化为累次积分（定积分），方向性体现为定积分 的上﹑下限的确定，而将有向域的积分化为无向域的积分，如第二型曲面积分化为二重积分 或三重积分，第二型曲线积分化为二重积分等，必须注意符号的确定问题。 问题 3．应用格林公式时应注意什么问题？ 答：应用格林公式应注意以下几点： 1．必须注意格林公式的条件是否满足，否则，就会出现错误。 例如，设 2 2 L xdy ydx I x y − = +  ，其中 L 为 2 2 x y + =1 取正向，若按如下解法：

P 由格林公式,得 ao aP dxdy=0 ax ay 而事实上I x2+x-y=(1+1)dh=2z 上述前一种解法是错误的,因为 在(0,0)不连续,而(0,0)∈D,故不满足格林 公式的条件,不能直接应用格林公式。 2.格林公式对复连通区域D,结论也成立,但L必须是D的所有边界曲线取正向 曲线正向的规定:沿D的边界曲线正向前进,区域D总在其左侧 例如,I=6xd-yahr 其中L是D:1≤x2+y2≤4的 正向边界曲线,如图10-1,L的正向为x2+y2=4的逆时针和 x2+y2=1的顺时针方向。 因为 (x,y)∈D, 图10-1 故由格林公式,得I= dy=o 问题4.设L为椭圆x2+=1,1为圆周x2+y2=均为逆时针方向,问下列积分 的计算是否正确? xdy-4ydx f xdy-4ydx )xdy-4ydx=2 5 dadu=5丌。 y 答:不正确。因为当x2+y2≠0时,Q aP 4(y 故在L与l围成的区域D中,些≠,因此 *5 xdy-4ydx 正确的解法是利用L的参数方程:x=cost,y=2sint,t从0变到2r

2 2 2 2 , y x P Q x y x y − = = + + , 2 2 2 2 2 ( ) Q y x P x x y y  −  = =  +  ,  由格林公式，得 0 D Q P I dxdy x y     = − =        而事实上 ( ) 2 2 1 1 2 L L D xdy ydx I xdy ydx dxdy x y  − = = − = + = +    。 上述前一种解法是错误的，因为 , Q P x y     在 (0,0) 不连续，而 (0,0)  D ，故不满足格林 公式的条件，不能直接应用格林公式。 2．格林公式对复连通区域 D ，结论也成立，但 L 必须是 D 的所有边界曲线取正向。 曲线正向的规定：沿 D 的边界曲线正向前进，区域 D 总在其左侧。 例如， 2 2 L xdy ydx I x y − = +  ，其中 L 是 D ： 2 2 1 4  +  x y 的 正向边界曲线，如图 10-1，L 的正向为 2 2 x y + = 4 的逆时针和 2 2 x y + =1 的顺时针方向。 因为 Q P x y   =   ， ( , ) x y D  ， 故由格林公式，得 0 D Q P I dxdy x y     = − =        。 问题 4．设 L 为椭圆 2 2 1 4 y x + = ，l 为圆周 2 2 1 2 x y + = 均为逆时针方向，问下列积分 的计算是否正确？ 2 2 2 2 2 2 1 2 4 4 2 4 2 5 5 L l l x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx dxdy x y x y  +  − − = = − = = + +     。 答：不正确。因为当 2 2 x y +  0 时， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) , ( ) ( ) Q y x P y x x x y y x y  −  − = =  +  + 故在 L 与 l 围成的区域 D 中， Q P x y      ，因此 2 2 2 2 4 4 L l xdy ydx xdy ydx x y x y − −  + +   。 正确的解法是利用 L 的参数方程： x t y t = = cos , 2sin , t 从 0 变到 2

dt 2dt=4丌 oS- t+4sin-t 注:将曲线积分中Pax+gh改变为另一路径l上的积分中Px+Qh,一定要检查条件 =是否在L与l所围成的区域内成立,且L与l方向要一致 问题5.计算积分∮x+yd+=ddy,为球面:x+y2+=2=R2的外侧 下面作法是否正确 x'dydz +y'dedx +=dxdy 22+22)dv=3R2T[ dv=4RS 答:这个作法不正确,错在三重积分的计算,像这样的错误,一不注意就会发生。因为 给出的是Σ上的曲面积分,在Σ上x、y、z应满足方程x2+y2+2=R2,这是对的。但 在用了高斯公式以后,曲面积分已转换成了三重积分,积分域为g:x2+y2+2≤R2, 即x、y、z在闭域上变动而对于内部的点(xy),已不满足x2+y2+2了。正确的 结果应是 3e2+y2+2)dv= der dpl psin pdp=<TRS 问题6.设∑为平面x+2=a在柱面x2+y2=a2内那一部分的上侧,下面两个积分的 解法是否正确? (1)j(x+=可4=ax(x的面积)=vd (2)j(x+p=doh=ax(C的面积)=y2rd3 答:第一个积分的解法是对的,第二个的解法不对。因为第二个积分是对坐标的曲面积 分,其中的微分元dxdy是dS在xOy面上的投影,故正确的作法是: ∫(x+)d=q」jb=dh,D是Σ在xOy上的投影:x2+y2≤a, (x+)d=jddh=a×(的面积)=rd 如果∑是下侧,那末(x+=-qdd=-d 曲面积分‖Pah+Qhx+Rhd之所以称为对坐标的曲面积分,就是上式中 dd、dax和dxd分别是Σ的面积元素dS在坐标面y0z、zOx和xoy上的投影。因此 计算时应分别把Σ投影于y0、z0x和xoy面上,化为二重积分,这时,需要注意∑的侧

2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 2cos 8sin 2 4 cos 4sin L xdy ydx t t dt dt x y t t    − + = = = + +    。 注：将曲线积分 L Pdx Qdy +  改变为另一路径 l 上的积分 l Pdx Qdy +  ，一定要检查条件 Q P x y   =   是否在 L 与 l 所围成的区域内成立，且 L 与 l 方向要一致。 问题 5．计算积分 3 3 3 x dydz y dzdx z dxdy  + +  ， 为球面： 2 2 2 2 x y z R + + = 的外侧。 下面作法是否正确： 3 3 3 x dydz y dzdx z dxdy  + +  = 2 2 2 2 5 3 ( ) 3 4 x y z dv R dv R   + + = =   。 答：这个作法不正确，错在三重积分的计算，像这样的错误，一不注意就会发生。因为 给出的是  上的曲面积分，在  上 x ﹑ y ﹑ z 应满足方程 2 2 2 2 x y z R + + = ，这是对的。但 在用了高斯公式以后，曲面积分已转换成了三重积分，积分域为  ： 2 2 2 2 x y z R + +  ， 即 x﹑ y ﹑ z 在闭域上变动,而对于  内部的点 ( x y z , , ) ，已不满足 2 2 2 x y z + + 了。正确的 结果应是 2 2 2 2 4 5 0 0 0 12 3 ( ) 3 sin 5 R x y z dv d d d R          + + = =     。 问题 6．设  为平面 x z a + = 在柱面 2 2 2 x y a + = 内那一部分的上侧，下面两个积分的 解法是否正确？ （1） ( ) 3 ( ) 2 x z dS a dS a a    + = =   =   的面积 。 （2） ( ) 3 ( ) 2 x z dxdy a dxdy a a    + = =   =   的面积 。 答：第一个积分的解法是对的，第二个的解法不对。因为第二个积分是对坐标的曲面积 分，其中的微分元 dxdy 是 dS 在 xOy 面上的投影，故正确的作法是： ( ) D x z dxdy a dxdy a dxdy   + = =    ， D 是  在 xOy 上的投影： 2 2 2 x y a +  ，故 ( ) 3 ( ) D x z dxdy a dxdy a D a   + = =  =   的面积 如果  是下侧，那末 3 ( ) D x z dxdy a dxdy a   + = − = −   。 曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy  + +  之所以称为对坐标的曲面积分，就是上式中 dydz ﹑dzdx 和 dxdy 分别是  的面积元素 dS 在坐标面 yoz ﹑ zox 和 xoy 上的投影。因此 计算时应分别把  投影于 yoz ﹑ zox 和 xoy 面上，化为二重积分，这时，需要注意  的侧

据此以定投影dvd、ddx、 dxdy的正负,亦即二重积分的正负。 问题7.设∑是半球面x2+y2+z2=R2(y20)的外侧。有人说:“由对称性知 24s=0,故同样也有』ab=0.”这样说对不对 答:这样说不对。我们知道,对面积的曲面积分与曲面(积分域)的侧(方向)无关。 故考虑对称性时比较容易。但对坐标的曲面积分与曲面的侧有关,所以在考虑它的对称性时, 还要考虑曲面的侧。也即要顾及被积函数与曲面,情形就比较复杂。因此,在计算对坐标的 曲面积分时,不如先把它转化为二重积分,再化为定积分,在转化过程中可考虑利用二重积 分或定积分的对称性,这是基本方法。利用对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解 题技巧,并非每个曲面积分都具有这种特殊性质。 问题中的积分=0是对的。因为曲面∑对称于xy平面,而被积函数=在关于 xOy平面的对称点上,它的值差一个符号(奇函数)。所以zdS=0,但dy=0是 不对的。因为曲面虽关于xOy平面对称,但在对称点上,∑的方向不同,因而投影d不 等。故对称性不能用。计算=dd可用两种方法 (1)设将∑分为xOy平面上、下两部分,分别记为∑1与Σ2,它们的方程是 =√R2-x2-y2与:=√R2-x2-y2。∑的外侧相当于∑1的上侧和∑2的下侧,所以 zd=d+』zdb=J√R2-x2-y2ddy(上侧取正) ∫(-√R-x- y dxdy(下侧取负) 2 R2-x2-y dxdy=2(2 de[ VR2-Prdr=EZR x2+y2≤R2 (2)补一个圆面D:y=0,x2+z2≤R2,并取左侧,使Σ+D围成一半球体g。 由高斯公式,由于dh=0,故有』zdb=手ad=J

据此以定投影 dydz ﹑ dzdx﹑ dxdy 的正负，亦即二重积分的正负。 问题 7．设  是半球面 2 2 2 2 x y z R y + + =  ( 0) 的外侧。有人说：“由对称性知 zdS 0  =  ，故同样也有 zdxdy 0  =  。”这样说对不对？ 答：这样说不对。我们知道，对面积的曲面积分与曲面（积分域）的侧（方向）无关。 故考虑对称性时比较容易。但对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，所以在考虑它的对称性时， 还要考虑曲面的侧。也即要顾及被积函数与曲面，情形就比较复杂。因此，在计算对坐标的 曲面积分时，不如先把它转化为二重积分，再化为定积分，在转化过程中可考虑利用二重积 分或定积分的对称性，这是基本方法。利用对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解 题技巧，并非每个曲面积分都具有这种特殊性质。 问题中的积分 zdS 0  =  是对的。因为曲面  对称于 xoy 平面，而被积函数 z 在关于 xoy 平面的对称点上，它的值差一个符号（奇函数）。所以 zdS 0  =  ，但 zdxdy 0  =  是 不对的。因为曲面虽关于 xoy 平面对称，但在对称点上，  的方向不同，因而投影 dxdy 不 等。故对称性不能用。计算 zdxdy   可用两种方法： （1）设将  分为 xOy 平面上﹑下两部分，分别记为 1 与 2 ，它们的方程是 2 2 2 z R x y = − − 与 2 2 2 z R x y = − − − 。 的外侧相当于 1 的上侧和 2 的下侧，所以 2 2 2 1 2 2 2 2 x y R zdxdy zdxdy zdxdy R x y dxdy    +  = + = − −     （上侧取正） 2 2 2 2 2 2 ( x y R R x y dxdy +  − − − −  （下侧取负） 2 2 2 2 2 2 2 x y R R x y dxdy +  = − −  2 2 2 3 0 2 2 2 3 R d R r rdr R     − = − =   。 （2）补一个圆面 D ： 2 2 2 y x z R = +  0, ，并取左侧，使 + D 围成一半球体  。 由高斯公式，由于 0 D zdxdy =  ，故有 2 3 3 D zdxdy zdxdy dv R  +  = = =   