第八章 多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用
引言 上册中讨论的函数是一元函数问题但在许多 实际问题中往往涉及到多方面的因素,反应在 数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积 分问题。多元函数微积分的基本概念、理论和 方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方 法的推广与发展,它们既有许多相似之处,又 有很多本质上的不同学习时注意比较和区分
引 言 上册中讨论的函数是一元函数问题.但在许多 实际问题中往往涉及到多方面的因素，反应在 数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积 分问题. 多元函数微积分的基本概念、理论和 方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方 法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又 有很多本质上的不同. 学习时注意比较和区分
本章将在一元微分学的基础上,以二元函数 为主,讨论多元函数的微分法及其应用
为主，讨论多元函数的微分法及其应用. 本章将在一元微分学的基础上，以二元函数
第一节多元函数的基本概念 准备知识 二、多元函数的概念 多元函数的极限 四、多元函数的连续性
一、准备知识 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 第一节 多元函数的基本概念
、准备知识 1.平面点集n维空间 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为 平面点集记作E={(x,y)(x,y具有的性质P 例圆x2+y2=r2内所有点的集合: Kx, D)x2+y2<r c=ploP <rg 二元有序数组(xy)或点的全体,即 R2=R×R={(x,y)x,∈R表示坐标平面 定义了线性运算和距离的集合R2称为二维空间
1. 平面点集 n 维空间 二元有序数组（x,y）或点的全体，即 2 R R R ( , ) , = = x y x y R 表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为 平面点集,记作 E x y x y P = ( , ) ( , )具有的性质 2 2 2 C = (x, y) x + y r 例 圆 内所有点的集合： 2 2 2 x y r + = 或 C = P OP r 一、准备知识 定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间. 2 R
定义了线性运算和距离的集合R2称为二维空间 推广:m元有序数组(xx2…,xn) 的全体称为维空间,记作R",即 R=R×R×…×R {(x1,x2…,xn)xk∈R,k=1,2,…,n} n维空间中的每一个元素(x1,x2,,xn) 称为空间中的一个点,数x称为该点的第k个 坐标.(0,0,,0)成为零元,记为0
n 元有序数组 n 维空间中的每一个元素 称为该点的第k个 的全体称为n维空间,记作 R , n 即 R R R R n = 称为空间中的一个点, 坐标 . 定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间. 2 R 推广：
2.邻域 U(o, 6)= xlkx-xok< f 在平面上, U(2,0={(xyNx)+0-p<(圆邻域 在空间中,(球邻地) U(P S)=(x,y,)V(x-xo)2+(y-yo)2+(z v0人< R"中点P的δ邻域为U(P,8)={P|P2|<8}
2. 邻域 在平面上, δ δ 2 2 0 0 0 U P x y x x y y ( , ) ( , ) ( ) ( ) = − + − (圆邻域) 在空间中, , δ 2 2 2 0 0 0 0 U P x y z x x y y z z ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − (球邻域) δ PP0 000 P x y ( , ) R 中点 的 邻域为 n U x x x x ( , ) 0 0 = − 0 x x P0
说明: 1.若不需要强调邻域半径8,也可写成U(P) 2.点P0的去心邻域记为 U(P)={P0<P<8 在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻 域与圆邻域可以互相包含 平面上的方邻域为 U(P, 8)=(x,Dlx-xo<,y-yokk8
δ 0 0 PP 1.若不需要强调邻域半径 ,也可写成 0 U P( ). 2.点P0 的去心邻域记为 说明： P0 在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻 域与圆邻域可以互相包含. 平面上的方邻域为 U( , P x y 0 δ) ( , ) = 。 P0
3.区域 (1)内点、外点、边界点 E 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U(P)<E 则称P为E的内点 ·若存在点P的某邻域U(P∩E= 则称P为E的外点
3. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点；
若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点 也含E的外点,则称P为E的边界点 显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E, E的边界点可能属于E,也可能不属于E. E
• 若对点P的任一邻域 U(P) 既含E中的内点 显然, E的内点必属于E , E 的外点必不属于E , E 的边界点可能属于E, 也可能不属于E . E 也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点