安柔油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 20052006学年第一学期 课程名称:高等数学考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:全院工科 考试方法:闭卷命题教师:试题库 单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分 1.B2.A3.C4.B5.A 填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) [1,e]2.(2,0)3.04.ln35.-10,2 三.解答下列各题(本题共12小题,每小题5分,共60分) sinx+x cos 1.解:li In(1+x) =lir lim x cos 2分 5分(其中第二个求极限给2分) 2.解:lim(1+++ 2nn+1 =limn(1+++…++).inVn2+1 1分 -5分 3.解:li =lim sec x -2分 (x>0 1-cosx=x tan x-x x→0 分 4.解 dy 5分 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2005 /2006 学年第 一 学期 课程名称：高等数学 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级：全院工科 考试方法：闭卷 命题教师：试题库 一.单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1. B 2. A 3. C 4. B 5. A 二. 填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1. [1,e] 2. (2,0) 3. 0 4. ln3 5. –10,2 . 三.解答下列各题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）. 1. 解: ln(1 ) 1 3sin cos lim 2 0 x x x x x + + = x x x x x x 1 lim cos 3sin lim 0 0 + ( x 0 ln(1+ x ~) x )------2 分 =3-----------------------5 分(其中第二个求极限给 2 分). 2. 解: 1 1 ) 2 1 4 1 2 1 lim(1 2 + + + + + + n n n n = 1 1 ) lim 2 1 4 1 2 1 lim(1 2 + + + + + + n n n n n -----------1 分 = n n n 1 1 1 1 2 lim 2 + + =2----------------------------5 分. 3. 解: x x x x x sin tan lim 0 = x x x 1 cos sec 1 lim 2 0 -----------------------------2 分 = 2 2 0 2 1 lim x x x ( tan ~ ) 2 1 0 1 cos ~ 2 2 2 x x x x x =2 ---------------------------------5 分. 4. 解: dx dy = 2 1 1 + x --------------------5 分
5. A dy='(sin x)cos xsin f(x)+f(sin x)cos f(x)f'(x)ldx-----55 6.解:(32)=2"32xln”3(n=1,2…) -2分 (-)m=(-1) (n=1,2 4分 y/=2"32ln3+(-1) (n=1,2…) 5分 5 7.解 1分 x 令 0,得x1=2(驻点),x2=0(一阶导数不存在的点)—2分 由极值的第一充分条件得x1=2为极大值点,极大值为323;-3分 x2=0为极小值点,极小值为0 5分 8.解 -dx x√l+lnx +Inr(Inx) 1分 nx+ 3分 +In =2(1+nx)2+C 5分 9.解:令√x=t,则x=t2,dx=2t 1分 当x=0时,t=0;当x=1时,t=1 2分 dx=2 'te'dt=2 tde=2t e dt -4分 5分 10.解:令x-1=t,则,dx=d 1分 当x=时, ;当x=2时,t 分 f(x-D)dx=i f(ndt= 1(1+()dt+e-dt- 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 5. 解: dy = [ f (sin x) cos x sin f (x) + f (sin x) cos f (x) f (x)]dx --------5 分 6. 解: (3 ) 2 3 ln 3 2x (n) n 2 nx = ( n = 1,2)-------------2 分 1 ( ) ! ) ( 1) 1 ( + = n n n x n x ( n = 1,2)------------4 分 (n) y = 2 3 ln 3 n 2 nx + 1 ! ( 1) + n n x n ( n = 1,2)---------5 分 7.解: 3 (2 ) 3 5 x x y = ---------------1 分 令 0 (2 ) 3 5 3 = = x x y ,得 x1 = 2 (驻点), x2 = 0 (一阶导数不存在的点)---2 分 由极值的第一充分条件得 x1 = 2 为极大值点,极大值为 3 2 3 2 ;----3 分 x2 = 0 为极小值点,极小值为 0.----------5 分 8.解: dx x x 1+ ln 1 = (ln ) 1 ln 1 d x x + --------------1 分 = (ln 1) 1 ln 1 + + d x x ------------3 分 = + x 2 + C 1 2(1 ln ) ----------------5 分. 9.解: 令 x = t ,则 2 x = t , dx = 2tdt -------------1 分 当 x = 0时,t = 0 ;当 x = 1时,t = 1.-------------2 分 e dx x 1 0 = te dt tde te e dt t t t t = = 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 ------------4 分 =2 -----------------------------------5 分. 10.解: 令 x 1 = t ,则, dx = dt -------------1 分 当 2 1 x = 时, 2 1 t = ;当 x = 2 时,t = 1.-------------2 分 2 2 1 f (x 1)dx = 1 2 1 f (t)dt = + 0 2 1 2 (1 t )dt + 1 0 e dt t -----------3 分
-5分 11.解 1-Inx 3分 In 2 -5分 12解:因为「f(x)ht=Sn+C 所以f(x)= xcosx-sinx 分 Jxf(x)dx=xd((x)=f(x)-/(x)dx -4分 x cos x-2sin x 5分 四.应用题(本大题共5分) 解:y1(2) 1分 切线方程整理得y=x 2分 分 分 五.证明题.(本大题共5分). 证明:令f(x)=x+ 2ln(1+x) f (x)=小 2分 所以f(x)单增 3分 f(x)>f(0)=0所以原命题成立一 5分 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 = 1 24 37 e ---------------5 分. 11.解: + 2 2 1 ln dx x x = + + + 2 2 ) 1 ln ( 1 x xd x -------------3 分 = 2 ln 2 ------------------------5 分. 12.解: 因为 C x x f x dx += sin ( ) 所以 2 cos sin ( ) x x x x f x = --------------2 分 xf x)( dx = xd( (xf )) = xf (x) f x)( dx ------------4 分 = C x x x x + cos 2sin .-------------------5 分 四.应用题(本大题共 5 分). 解: 2 1 y(2) = ----------1 分 切线方程整理得 y x 2 1 = ----------2 分 S x dx = 2 1 2 1 1 2 1 -------------4 分 = 3 1 ---------------------5 分. 五.证明题. (本大题共 5 分). 证明:令 f (x) = 2ln(1 ) 1 x x x x + + + 0 (1 ) ( ) 2 2 > + = x x f x -------------2 分 所以 f (x) 单增----------------3 分 f (x) > f (0) = 0 所以原命题成立---------------5 分.