曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题 在有向曲面∑上取一小块曲面△Ss △S在xoy面上的投影(△S)为 (△a) 当c0sy>0时 xy (△S)x={-(△a)当cosy<0时 当cosy=0时 其中(△a)表示投影区域的面积 5
决定了侧的曲面称为有向曲面. 5 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 曲面的投影问题: S xoy 在 面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) = − = 当 时 当 时 当 时 x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积. xy 上的投影(S) xy为 曲面 S
、对坐标的曲面积分概念 实例:流向曲面一侧的流量 1.流速场为常向量v,有向平面区域A, 求单位时间流过A的流体的质量Φ (假定密度为1) ′斜柱体的体积 流量 n ①= Av cos A4v·n=p.A 6
6 一、对坐标的曲面积分概念 实例: 流向曲面一侧的流量. 1.流速场为常向量 v ,有向平面区域 A, 求单位时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v 0 n A Av n v A Av = = = 0 cos 流量 斜柱体的体积
2.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,y,3)=P(x,y,)+Q(x,y,z)j+R(x,y,x)k 给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 都在∑上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量Φ 7
7 2.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 ) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给 出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量. x y z o
在曲面∑上取一小块dS,其上任一点 (x,y,z)处,∑指向指定一侧的单位法向量: 0 cosa. cos B,cosy),a,B,y是方向角 (x,y,)看作不变, ds n (x, y, 2) dS看作小块平面 则过S流向指定 侧的流量: 西=(节·n)dS
x y z o • dS v ( , , ) x y z n dS看作小块平面 在曲面Σ上取一小块 dS, ( x y z , , )处,指向指定一侧的单位法向量: 其上任一点 ( ) 0 0 n n = cos ,cos ,cos , , , 是 的方向角 v x y z ( , , )看作不变, 则过dS流向指定 一侧的流量: ( ) 0 d v n dS =