深圳大学：《高等数学（理工类）》补充教材（多元积分）第五节 对面积曲面积分的计算法

第五节对面积曲面积分的计算法 几何形体上的积分∫f(P)g 重积分 ∫(x,ylo;∫(x,y,ay 对弧长的曲线积分 ds 9J9

第五节 对面积曲面积分的计算法 几何形体上的积分 ( ) G f P dg  ( , ; ) D f x y d  f x y z dv ( , , )   ( , ; ) L f x y ds  f x y z ds ( , , )  重积分 对弧长的曲线积分

当G为一光滑曲面∑,被积函数 f(x,y,z)在∑上连续, 有「f(x,y,z)S 曲面面积元素 积分曲面 称为函数f(x,y,z)在曲面∑上的 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)

f x y z ( , , )在上连续， 当G为一光滑曲面  ， 被积函数 有 f x y z dS ( , , )   曲面面积元素 积分曲面 称为函数f x y z ( , , )在曲面上的 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)

计算对面积的曲面积分 化为二重积分 f(, y, z)ds (x,,)在∑上变化

f x y z dS ( , , )   计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分 ( x y z , , )在上变化 ？

f(,v, z)ds ∑ 用切平面小块dA来代替dS,而 do da da cosr 曲面积分元素为 +2(x,2)+z (x, y)de cosr 第一型曲面积分化为二重积分的公式为 f(x,y=)dS=‖f(x,y,=(x,y)h+22(x,y)+z,2(x,y)la

曲面积分元素为 2 2 1 ( , ) ( , ) cos x y d ds z x y z x y d    = = + + 第一型曲面积分化为二重积分的公式为 2 2 ( , , ) ( , , ( , )) 1 ( , ) ( , ) x y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y d  = + +   用切平面小块 dA 来代替 dS ，而 dA d  cos d dA   = f x y z dS ( , , )  

如果曲面Σ的方程由x=x(yz)或yy(xz)给出, 也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz 面上的二重积分。 x=x(yz ∫(xy==∫/[x()y=] +x+x do ∑:y=y(x,=) [S5(x, y, yds=s[x, y(x, =),=1+y2 +y: do

如果曲面 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出， 也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz 面上的二重积分。  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : , , , , , , 1 : , , , , , , 1 yz xz y z D x z D x x y z f x y z ds f x y z y z x x d y y x z f x y z ds f x y x z z y y d      = = + +      = = + +        

例1计算』S,其中∑是球面x2+y2+=2=a2 被平面z=h(0<h<a)截出的顶部。 h D

❖例1 计算 ，其中 是球面 被平面 截出的顶部。 1 dS z   2 2 2 2  x y z a + + = z h h a =   (0 )O x y z a a a h D xy 

解Σ的方程为z=√a2-x2-y2,它在Xoy面上的 投影区域D为x2+y2≤a2-h2,∑的曲面面积元素 为 C +z2+z2d0 a --x

解 的方程为 ，它在xoy面上的 投影区域D为 ， 的曲面面积元素 为  2 2 2 z a x y = − − 2 2 2 2 x y a h +  −  2 2 2 2 2 1 x y a dS z z d d a x y = + + =   − −

所以 IS do √a-x2-y2 y do rare 极坐标) de dr=2Ttal--In(a-rly=2ra In

所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 [ ln( )] 2 ln 2 D D D a h a h dS z a d a x y a x y a a d rdrd a x y a r r a a d dr a a r a a r h         − − =  − − − − = = − − − = − − = −       （极坐标） ＝

令例2计算∮xzs,其中Σ是三个坐标面和 平面x+y+z=1围成的四面体的整个边界曲面

❖例2 计算 ，其中 是三个坐标面和 平面 围成的四面体的整个边界曲面。 xyzdS    x y z + + =1 x y z 1 1 1 O D xy

解边界曲面Σ由四块组成:Σ=∑1+∑2+∑3+ 他们的表达式分别是x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 于是z4s=』+∫+∫ 由于在∑1,Σ2,∑3上f(x,y,)=xz均为零, 所以

解 边界曲面  由四块组成：  =  +  +  +  1 2 3 4 他们的表达式分别是 x y z x y z = = = + + = 0, 0, 0, 1 于是 1 2 3 4 xyzdS      = + +      由于在 ， ， 上 均为零， 所以 1 2 3 f x y z xyz ( , , ) = 1 2 3 0    ===   