第 实数集与函数 内容提要 实数 1.实数包括有理数和无理数有理数可用分数(p、q为互质整数,q≠0)表示,也可用有限十 进小数或无限十进循环小数表示,√是首先遇到的无理数,它与古希腊时期所发现的不可公 度线段理论有直接联系,且可以表示为无限十进不循环小数 实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用,我们是由无限十进小数表示出发 来阐述实数理论的 2.若x=a·a1a2…an…为非负实数,称有理数 xn=a0·a1a2“”a 为实数x的n位不足近似,而有理数 称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,… 3.在数学分析课程中不等式占有重要的地位,在后继课程中,某些不等式可以成为某个研究方 向的基础,数学归纳法是证明某些不等式的重要工具 、数集·确界原理 1.邻域是数学分析中重要的基本概念,某点的邻域是与该点靠近的数的集合,它是描述极限概 念的基本工具 在无限区间记号(-∞,a],(-∞,a),[a,+∞),(a,+∞),(-∞,+∞)中出现的一∞与+ ∞仅是常用的记号,它们并不表示具体的数,在数学分析课程范围内,不要把+∞,-∞,∞ 当作数来运算
书 第一章 实数集与函数 内容提要 一!实数 !" 实数包括有理数和无理数!有理数可用分数 " # !""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十 进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公 度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数! 实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发 来阐述实数理论的! $" 若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数 $&%%#%%!%$&%& 为实数$的& 位不足近似#而有理数 $&%$&& ! !#& 称为$的& 位过剩近似#&%##!#$#&! ’" 在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方 向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具! 二!数集"确界原理 !" 邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概 念的基本工具! 在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与& )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#) 当作数来运算! %!%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 2.有界集和无界集是本章中关键的橛念,要熟练掌握验证某个数集S是有界集或无界集的方 法,其中重要的是证明数M不是数集S的上界(或下界)的方法 3.确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念,上(下)确界是最大(小)数在无限数集情况 下的推广, 确界概念有两种等价的叙述方法,以上确界为例 设S是R中一个数集,若数n满足 (1)(1)对一切x∈S,有x≤,则y是S的上界 (ⅱ)对任意aa,则η又是S的最小上界 或 (2)(1)对一切x∈S,有x≤则n是S的上界; ()对任意e>0,存在xo∈S,使得xo>-e,则n又是S的最小上界 这两种定义是等价的.(2)中的-∈相当于(1)中的a.在上述定义中可以限定0. (2)U(a;0)=(a-8,a)U(a,a+8)={x|00. (3)U;(a)=(a,a+f和U(a)=(a-f,a)分别称为a的右邻域和左邻域,其中f>0 2.确界 设给定数集S (1)上确界若存在数满足1)x≤yx∈S;2)Hxx,则称n 为S的上确界,记为=8gx (2)下确界若存在数,满足1)x≥,Wx∈S;2)P>,都存在y∈S,使y<B,则称为 S的下确界,记为v=inf (3)确界原理①非空有上(下)界的数集,必有上(下)确界.②若数集有上(下)确界,则上 (下)确界一定是惟一的 3.函数 (1)函数定义 给定两个非空实数集D和M,若有一个对应法则f,使D内每一个数x,都有惟一的一 个数y∈M与它对应,则称∫是定义在D上的一个函数,记为y=f(x),x∈D,并称D 为函数的定义域,称f(D)={yy=f(x),x∈D}(cM)为函数的值域 (2)几个重要的函数 ①分段函数 函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数,常称为分段函数 ②符号函数
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ $" 有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’ 是有界集或无界集的方 法#其中重要的是证明数 ( 不是数集’ 的上界!或下界$的方法! ’" 确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况 下的推广! 确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例) 设’是) 中一个数集#若数!满足 !!$ !!$对一切$#’#有$$!#则!是’ 的上界* ’!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’ 的最小上界 ( ) ! 或 !$$ !!$对一切$#’#有$$!#则!是’ 的上界* ’!"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’ 的最小上界 ( ) ! 这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中 ## 为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些! *" 确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界! 确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个! 三!函数及其性质 !" 邻域 !!$*!%#$$%!%($#%&$$称为%的$邻域#其中$&#! !$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#! !’$*+ & !%$%!%#%&,$和*+ ( !%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#! $" 确界 设给定数集’! !!$上确界 若存在数!#满足!$ $$!#,$# ’*$$,$%!#都存在$##’#使$#&$#则称! 为’的上确界#记为!%+,-$#’ $! !$$下确界 若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#则称%为 ’ 的下确界#记为!%./0$$#’ ! !’$确界原理 #非空有上!下$界的数集#必有上!下$确界!$若数集有上!下$确界#则上 !下$确界一定是惟一的! ’" 函数 !!$函数定义 给定两个非空实数集 . 和 (#若有一个对应法则,#使 . 内每一个数$#都有惟一的一 个数-#( 与它对应#则称,是定义在. 上的一个函数#记为-%,!$$#$#.#并称 . 为函数的定义域#称,!.$%+-+-%,!$$#$#.,!.($为函数的值域! !$$几个重要的函数 #分段函数 函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数! $符号函数 %"%
第一章实数集与函数 .:r gn(x)=」0, ③狄利克雷函数 1,当x为有理数 0,当x为无理数 ④黎曼函数 R(x)-(7当x=,9∈N分为既约分数 0,当x=0,1和(0,1)中的无理数 ⑤复合函数 y=f(g(x)),x∈E 其中y=f(a),a∈D,n=g(x),x∈E,E={xlg(x)∈D}nE,E≠O (3)反函数 已知函数u=f(x),x∈D.若对vy∈f(D),在D中有且只有一个值x0,使得f(xo)= yo,则按此对应法则得到一个函数x=f1(y),y∈f(D),称这个函数厂1:f(D)→D为 f的反函数 4)初等函数 ①基本初等函数常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类 函数称为基本初等函数 ②初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数,统称为初 等函数 ③凡不是初等函数的函数,都称为非初等函数 4.有界性 设y=f(x),x∈D (1)若存在数M,使f(x)≤M,x∈D,则称∫是D上的有上界的函数 2)若存在数L,使f(x)≥L,Hx∈D,则称f是D上的有下界的函数. (3)若存在正数C,使|f(x)|≤C,则称f是D上的有界函数 (4)若对任意数M,都存在x0∈D,使f(xo)>M,则称∫是D上的无上界函数,类似可定义 无下界及无界函数 5.单调性 设y=f(x),x∈D,若对x1,x2∈D,x1<x2,有 (1)f(x1)≤f(x2),则称∫在D上是递增函数 2)f(x1)<f(x2),则称∫在D上是严格递增函数 类似可定义递减函数与严格递减函数 6.奇偶性 设D是对称于原点的数集,y=f(x),x∈D. (1)若Vx∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数 (2)若x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数
第一章 实数集与函数 +1/!$$% !# $&# ## $%# (!# $% ’ ( ) # %狄利克雷函数 .!$$% !#当$为有理数 +##当$为无理数 &黎曼函数 )!/$% ! ##当$%" # #"###0& " # 为既约分数 ##当$%##!和!##!$ ’ ( ) 中的无理数 ’复合函数 -%,!1!$$$#$#2/ 其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/ %+$+1!$$#.,&2#2"4 !’$反函数 已知函数3%,!$$#$#.!若对,-##,!.$#在 . 中有且只有一个值$##使得,!$#$% -##则按此对应法则得到一个函数$%,(!!-$#-#,!.$#称这个函数,(!2,!.$0. 为 , 的反函数! !*$初等函数 #基本初等函数 常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类 函数称为基本初等函数! $初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#统称为初 等函数! %凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数! *" 有界性 设-%,!$$#$#. !!$若存在数 (#使,!$$$(#,$#.#则称,是. 上的有上界的函数! !$$若存在数5#使,!$$-5#,$#.#则称,是. 上的有下界的函数! !’$若存在正数6#使+,!$$+$6#则称,是. 上的有界函数! !*$若对任意数 (#都存在$##.#使,!$#$&(#则称,是. 上的无上界函数#类似可定义 无下界及无界函数! 3" 单调性 设-%,!$$#$#.#若对,$!#$$#.#$!%$$#有 !!$,!$!$$,!$$$#则称,在. 上是递增函数! !$$,!$!$%,!$$$#则称,在. 上是严格递增函数! 类似可定义递减函数与严格递减函数! 4" 奇偶性 设 . 是对称于原点的数集#-%,!$$#$#.! !!$若,$#.#都有,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数! !$$若,$#.#都有,!($$%(,!$$#则称,!$$是奇函数! %#%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) (3)奇函数图象关于原点对称,偶函数图像关于纵轴对称 7.周期性 (1)设y=f(x),x∈D,若存在正数k,使f(x±k)=f(x),x∈D.则称f(x)为周期函数,k 称为∫的一个周期 (2)若f的所有周期中,存在一个最小周期,则为∫的基本周期 身典型例题与解题技巧 【例1】设f(x)在[-a,a]上有定义,证明f(x)在[-a,a]上可表示为奇函数与偶函数的和 分析本题主要考察奇函数、偶函数的定义,采用枃造法解题, 证明设f(x)=G(x)+H(x),其中G(x),H(x)分别为奇、偶函数,于是 f(-x)=G(-x)+H(-x)=-G(x)+H(x f(x)=G(x)+H(x) 由之可得G(x)=(x)=(=x),H(x)=f(x)+(=x2 这里G(x),H(x)分别是奇函数和偶函数 【例21求数集S-{1+2=|n∈N+}的上、下确界 解题分析当n=2k时,√1+2x=2 容易看出k=1时,2 是偶数项中的最大数 当=24+1时,“y+2my+>1,当k充分大时,奇数项与数1充分影 近因为2√1+5是S中最大数,于是pS-5由上面分析可以看出i(S 解题过程因为5是S中最大数,于是supS=√5,再证infS=1,这是因为 (i)￥n,√1+2m-1≥1 1等式 于是vc>,3∈N+(只要h>(e-1)使得 1≤ 【例3】设函数f(x)定义在区间I上,如果对于任何x1,x2∈I,及A∈(0,1),恒有fAx1+(1-A) 证明:在区间I的任何闭子区间上f(x)有界 分析本题主要考察函数的有界性,要充分利用已知条件给出的不等式,积极构造出类似的不等
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ !’$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称! 5" 周期性 !!$设-%,!$$#$#.#若存在正数7#使,!$67$%,!$$#,$#.!则称,!$$为周期函数#7 称为, 的一个周期! !$$若,的所有周期中#存在一个最小周期#则为,的基本周期! 典型例题与解题技巧 %例!& 设,!$$在((%#%’上有定义#证明,!$$在((%#%’上可表示为奇函数与偶函数的和! 分析 本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题! 证明 设,!$$%8!$$&9!$$#其中8!$$#9!$$分别为奇"偶函数#于是 ,!($$%8!($$&9!($$%(8!$$&9!$$ 而 ,!$$%8!$$&9!$$ 由之可得 8!$$%,!$$(,!($$ $ #9!$$%,!$$&,!($$ $ 这里8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数! %例"& 求数集’% & !!&$&!(!$& + �& ,的上"下确界! 解题分析 当&%$7时# $7 !!&$$7 %$ $7 !& ! ! $$7 #容易看出7%!时#$ !& ! ! $$ 是偶数项中的最大数! 当&%$7&!时# $7&! !!&$(!$7&!$ % $7&! !& ! ! $$7&! &!#当7充分大时#奇数项与数!充分靠 近!因为$ !& ! ! $$ %!3是’中最大数#于是+,-’%!3#由上面分析可以看出./0’%!! 解题过程 因为!3是’中最大数#于是+,-’%!3!再证./0’%!#这是因为 !!$,&# & !!&$&!(!$& -!* !"$设%% $7&! !& ! ! $$7&! #由等式%&(!%!%(!$!%&(!&%&($&&&!$可知 $7&! !& ! ! $$7&! (!% ! $$7&! %$7 &%$7(!&&&!$ ! $$7&! 于是,#&##17##0& 只要7#& ! $ 781$ ! # ! ! (!$$$#使得 $7#&! !& ! ! $$7#&! (!$ ! $$7#&! %# 即 $7#&! !& ! ! $$7#&! %!&# %例#& 设函数,!$$定义在区间:上#如果对于任何$!#$$ #:#及’#!##!$#恒有,(’$!&!!(’$ $$’$’,!$!$&!!(’$,!$$$! 证明)在区间:的任何闭子区间上,!$$有界! 分析 本题主要考察函数的有界性#要充分利用已知条件给出的不等式#积极构造出类似的不等 %$%
第一章实数集与函数 .:r 式,以证出结论 证明￥[a,bcI,x∈(a,b),则存在A∈(0,1),使x=a+a(b-a) 有 由已知不等式有 f(x)=Lab+(1-x)a]saf(b)+(1-A)f(a)0,f(x)在(e-E,c +e)∩[a,b上无界 分析本题采用闭区间套定理证明 证明取a,b中点十,则[a,4+],[g+b,b中至少有一个区间使f(x)无界(如果两个都是可任 取一个),记为[a1,b1]. 再取中点当么,又可得区间[a2]使f(x)在其上无界,这样继续下去有 [a,b]2[a1,b1]2[a2,b]=…[an,b]2… 使f(x)在每个区间上无界 由区间套原理,存在C= lim a= lim b,则C∈[a,b],而对Ⅴc>0,当n充分大时,有 故f(x)在(c-E,c+e)n[a,b上无界 【题2】(甘肃工业大学,2006年)有下列几个命题 (1)任何周期函数一定存在最小正周期 (2)[x]是周期函数 (3)sin√x不是周期函数 (4) rcosT不是周期函数 其中正确的命题有() A.1个 B.2个 D.4个
第一章 实数集与函数 式#以证出结论! 证明 ,(%#;’.:#,$#!%#;$#则存在’#!##!$#使$%%&’!;(%$ 有 $%’;&!!(’$% 由已知不等式有 ,!$$%,(’;&!!(’$%’$’,!;$&!!(’$,!%$$’(&!!(’$(%( # 其中 (%9:;+,!$$#,!;$, ,$#(%#;’#令-%!%&;$($#那么 %&; $ %$&- $ ,!%&; $ $%,!$ $ &- $$$ ! $,!$$& ! $,!-$$ ! $,!$$& ! $( "!个 ?"$个 @"’个 A"*个 %%%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 解题分析本题主要考察周期函数的定义 题过程 其中 (1)错.比如f(x)=0.那么任何正实数都是它的周期,而无最小正实数 (2)错.设f(x)=[x]的周期为T>0,并设[T]=m≥0 当m=0时,则T=1-a,其中00时,[T+1]=m+1,[1] [1+T]≠[1].也矛盾 [x]不是周期函数 3)对,∵若∫(x)是定义域D上周期函数,那么存在函数T,使x∈D都有f(x±T)= f(x).这必须有x±T∈D.而本题定义域D=[0,+∞),若是周期函数,则0∈D,必 须-T∈D,但一T∈D,故不是周期函数 (4)对,用反证法,设f(x)= rcos T的周期为T>0,则 f(0)=0=f(T)=Tcos T cosT=0,T=nx+,m∈Z,且m≥0 f(o+T)=f(+nox)=(no+1)rcos [(no +1)x] f(2 0,由f(y+T)=f(y) cos(no+1)x=0,矛盾,即 rcos T不是周期函数 课后习题全解 §1实数 ◎1.设a为有理数,x为无理数,证明 (1)a+x是无理数; 2)当a≠0时,ax是无理数. 分析根据有理数集对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算的封闭性,用反证法证 证明(1)假设a+x是有理数,则(a+x)-a=x是有理数,这与题设x是无理数相矛盾,故a x是无理数 (2)假设ax是有理数,则当a≠0时,=x是有理数,这与题设x为无理数相矛盾.故 ax是无理数 ●2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0;(2)|x-1|1},后一个不等式组的解集是B={x|-1 x<0}.故(1)的解集是AUB.如图1-1 6
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 解题分析 本题主要考察周期函数的定义B 解题过程 选 ? 其中) !!$错B比如,!$$%#B那么任何正实数都是它的周期#而无最小正实数B !$$错B设,!$$%($’的周期为 C&##并设(C’%9-# 当 9%#时#则 C%!(%#其中#%%%!#那么 (%&C’%!#(%’%# #使,$#. 都有,!$6>$% ,!$$!这必须有$6>#.!而本题定义域 .%(##&)$#若是周期函数#则##.#必 须(>#.#但(>4.#故不是周期函数! !*$对B用反证法#设,!$$%$=8+$的周期为>&##则 ,!#$%#%,!>$%>=8+> %##>%&#(& ( $ #&##E#且&#-# ,!( $ &>$%,!(&&#($%!&#&!$(=8+(!&#&!$(’ ,!( $$% ( $=8+ ( $ %##由,!( $ &>$%,!( $$ <=8+!&#&!$(%##矛盾B即$=8+$不是周期函数! 课后习题全解 F! 实数 5!!设%为有理数#$为无理数!证明) !!$%?$是无理数* !$$当%"#时#%$ 是无理数! 分析 根据有理数集对加"减"乘"除!除数不为#$四则运算的封闭性#用反证法证! 证明 !!$假设%?$是有理数#则!%?$$@%A$是有理数#这与题设$是无理数相矛盾#故% ?$是无理数! !$$假设%$ 是有理数#则当%"#时#%$ % A$是有理数#这与题设$为无理数相矛盾!故 %$ 是无理数! 6$!试在数轴上表示出下列不等式的解) !!$$!$$ @!$&#* !$$B$@!B%B$@’B* !’$!$@!@ !$$@!- !’$@$! 解 !!$由原不等式有 $ &# $$ + @!&# 或 $ %# $$ + @!%# 前一个不等式组的解集是 C A +$B$ &!,#后一个不等式组的解集是D A +$B@!% $ %#,!故!!$的解集是 C *D!如图!E!! %&%
第一章实数集与函数 .:r 图1-1 (2)由原不等式 -37/1,于是1+251,xb或ab,令E=a-b>0 则|a-b|=a-b=g,但这与|a-b|=a-b<ε矛盾,从而必有a=b ◎4.设x≠0,证明x+-≥2,并说明其中等号何时成立 分析由(a-b)2=a2-2ab+b2≥0,有a2+b2≥2ab 证明因x≠0,则x与一同号,从而有 x+|-1x1+12≥2√1x·=2 等号当且仅当|x|=Tx即x=士1时成立 O5.证明:对任何x∈R有 (1)|x-1|+|x-2|≥1;(2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2. 证明直接由绝对值不等式的性质,对任意的x∈R有 (1)|x-1|+|x-2|≥1(x-1)-(x-2)|=|1|=1 2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2 6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合)证明
第一章 实数集与函数 图!E! !$$由原不等式有 $@! $@’ %!#于是 !? $ $@’ %!!所以 @!%!? $ $@’%!#即#% ! ’@$%!#则’@$ &!#$ %$!故!$$的解集为!@ )#$$!如图!E$! 图!E$ !’$由原不等式应有 !’$@$-##!$@!@ !$$@!-##从而对原不等式两端平方有 $@!?$$@!@$ !!$@!$!$$@!$-’$@$ 因此有$ !!$@!$!$$@!$$##所以 !!$@!$!$$@!$A##由此得$ A!#或$ A ! $ !但检验知$ A!和$ A ! $ 均不符合原不等式!所以原不等式的解集为 7! 小结 在!$$中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解!若直接利用绝对值的几何 意义#其解集就是数轴上到点!的距离小于到点’的距离的点集#即数轴上点$左侧的点 集! 若直接考虑!’$的解$应使不等式中三个二次根式有意义#则必有$ -!#但这时不等式 左端为负而右端为正#显然不成立#故其解集为 7! 5’" 设%";# $!证明)若对任何正数#有B%@;B%##则%A;! 分析 用反证法#注意到题设中#的任意性#只要设法找到某一正数#使条件不成立即可! 证明 假设%";#则根据实数集的有序性#必有%&;或% %;!不妨设%&;#令#A%@;&## 则B%@;BA%@;A##但这与B%@;BA%@;%#矛盾#从而必有%A;! 5*" 设$ "##证明 $? ! $ -$#并说明其中等号何时成立! 分析 由!%@;$$ A%$ @$%;?;$ -##有%$ ?;$ -$%;! 证明 因$ "##则$与 ! $ 同号#从而有 $? ! $ AB$B? ! B$B-$ B$B% ! ! B$B A$ 等号当且仅当B$BA ! B$B#即$ AF!时成立! 83" 证明)对任何$ # $有 !!$B$@!B?B$@$B-!* !$$B$@!B?B$@$B?B$@’B-$! 证明 直接由绝对值不等式的性质#对任意的$ # $有 !!$B$@!B?B$@$B-B!$@!$@ !$@$$BAB!BA! !$$B$@!B?B$@$B?B$@’B-B$@!B?B$@’B-B!$@!$@ !$@’$BA$ 64" 设%";"=# $? !$? 表示全体正实数的集合$!证明 B %$ ! ?;$ @ %$ ! ?=$ B$B;@=B! %’%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 你能说明此不等式的几何意义吗? 分析用分析法证明 欲证 1√a2+b2-√a2+c2|≤|b-c 只需证 (√a+b-√a+x)2≤(b-c)2 即证 2a2-2√(a2+b2)(a2+c2)≤-2b 只需证 只需证 )2≤(a2+b2)(b2 即证 2a2kx≤a2(b2+c2) 由于a、b、c∈R+,所以2≤b2+c2,a2>0,所以有2a2b≤a2(b2+c2)成立, 所以原不等式成立 其几何意义为:当b≠c时,平面上以点A(a,b)、B(ac)、O(0,0)为顶点的三角形中,l AO|-|BO|0,b>0,a≠b,证明十x介于1与之间 分析本题实质是要比较两数的大小,且该数符号不定,可用作差法 证明因x>0,b>0,a≠b,则由1-ax=b-a b+r b(b 当a>b时,10,b>0,a≠b,则有 bCb+ 所以红十必介于1与之间 ●8.设p为正整数.证明:若p不是完全平方数,则√p是无理数 分析本题采用反证法,联想到互质、最大公约数以及辗转相除法的有关知识点,可得结论 证明用反证法.假设为有理数,则存在正整数m、n使√p 且m与n互质.于是m2 8
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 你能说明此不等式的几何意义吗- 分析 用分析法证明! 证明 欲证 B %$ ! ?;$ @ %$ ! ?=$ B$B;@=B 只需证 ! %$ ! ?;$ @ %$ ! ?=$$$ $ !;@=$$ 即证 $%$ @$ !%$ ?;$$!%$ ! ?=$$$@$;= 只需证 %$ ?;= $ !%$ ?;$$!%$ ! ?=$$ 只需证 !%$ ?;=$$ $ !%$ ?;$$!;$ ?=$$ 即证 $%$ ;= $%$!;$ ?=$$ 由于%";"=# $? #所以$;= $;$ ?=$#%$ &##所以有$%$ ;= $%$!;$ ?=$$成立! 所以原不等式成立! 其几何意义为)当;"=时#平面上以点 C!%#;$"D!%#=$"G!###$为顶点的三角形中#BB CGB@BDGBB%BCDB*当;A=时#此三角形变成以点G!###$#C!%#;$为端点的线段! 如图!@’! 图!E’ 小结 利用分析法找到证题思路#再用综合法证明#过程更为简捷! 65" 设$ &##;&##%";#证明%?$ ;?$介于!与% ; 之间! 分析 本题实质是要比较两数的大小#且该数符号不定#可用作差法! 证明 因$ &##;&##%";#则由!@%?$ ;?$A;@% ;?$ #% ; @%?$ ;?$A$!%@;$ ;!;?$$得 当%&;时#!%%?$ ;?$% % ; *当%%;时#% ; %%?$ ;?$ %!! 故总有%?$ ;?$介于!与% ; 之间! 小结 通常要证某数%介于另两数;与=之间#可转化为证!=@%$!;@%$%##这种方法在;与 =大小关系不完全确定时#也不必分情况讨论#较为简捷!例如本题中) 因为$ &##;&##%";#则有 !@%?$ ! ;?$$ % ; @%?$ ! ;?$$A @$!;@%$$ ;!;?$$$ %# 所以%?$ ;?$必介于!与% ; 之间! 6G" 设"为正整数!证明)若"不是完全平方数#则!" 是无理数! 分析 本题采用反证法#联想到互质"最大公约数以及辗转相除法的有关知识点#可得结论! 证明 用反证法!假设!" 为有理数#则存在正整数 <"&使!" A < & #且 < 与& 互质!于是 <$ A %(%
第一章实数集与函数 m2,m2=n·(m),可见n能整除m2,由于m与n互质,从而它们的最大公约数为1,由辗 转相除法知:存在整数u、υ使mu+m=1,则m2u+m=m.因n既能整除m2u又能整 除m,故能整除其和,于是n能整除m,这样n=1,所以p=m2.这与p不是完全平方 数相矛盾 小结本题证明过程比较独特,先假设有理数为互质的两个数的商,利用这两个数与p之间的关 系,运用辗转相除法得出结论,注意知识点之间的内在联系 §2数集·确界原理 ○1.用区间表示下列不等式的解 (1)11-x|-x≥0;(2)x+≤6; (3)(x-a)(x-b)(x-c)>0(a,b,c为常数,且a0,当x∈(a,b)∪(c,+∞) 因此f(x)>0,当且仅当 x∈(a,b)U(c 故原不等式的解集为 (a,b)U(c,+∞) (4)若0≤x≤2x,则当且仅当x 3x时,sinx≥y2,再由正弦函数的周期性知: 如mx≥2的解集是[2+,2kx+可其中k为整数 ○2.设S为非空数集.试对下列概念给出定义: (1)S无上界; (2)S无界
第一章 实数集与函数 "&$#<$ A&%!"&$#可见&能整除<$!由于<与&互质#从而它们的最大公约数为!#由辗 转相除法知)存在整数3"H使<3?&HA!#则<$ 3?<&HA<!因&既能整除<$ 3又能整 除 <&H#故能整除其和#于是&能整除<#这样&A!#所以"A <$!这与"不是完全平方 数相矛盾! 小结 本题证明过程比较独特#先假设有理数为互质的两个数的商#利用这两个数与"之间的关 系#运用辗转相除法得出结论#注意知识点之间的内在联系! F$ 数集"确界原理 8!" 用区间表示下列不等式的解) !!$B!@$B@$ -#* !$$$? ! $ $4* !’$!$@%$!$@;$!$@=$&#!%#;#=为常数#且%%;%=$* !*$+./$ - !$ $ ! 解 !!$原不等式等价于下列不等式组 $ %! +!!@$$@$ -# 或 $ -! +!$@!$@$ -# 前一个不等式组的解为$ $ ! $ *后一个不等式组的解集为空集#所以原不等式的解集 为 !@ )# ’! $ ! !$$绝对值不等式 $? ! $ $4等价于 @4$$? ! $ $4!这又等价于不等式组 $ &# @4$ $$$ + ?!$4$ 或 $ %# 4$ $$$ + ?!$@4$ 而前一个不等式组的解集为(’@$!$#’?$!$’#后者的解集为(@’@$!$#@’?$!$’! 因此原不等式的解集为 (@’@$!$#@’?$!$’* (’@$!$#’?$!$’ !’$作函数,!$$A !$@%$!$@;$!$@=$#$ # $!则由%%;%=知 ,!$$ %##当$ # !@ )#%$* !;#=$ A##当$ A%#;#= &##当$ # !%#;$* !=#? ) ’ ( ) $ 因此,!$$&##当且仅当 $ # !%#;$* !=#? )$ 故原不等式的解集为 !%#;$* !=#? )$ !*$若#$$ $$(#则当且仅当$ # ( * #’ ( *(’时#+./$ - !$ $ !再由正弦函数的周期性知) +./$ - !$ $ 的解集是 $7(? ( * #$7(? ’ ( *(’#其中7为整数! 8$" 设’为非空数集!试对下列概念给出定义) !!$’无上界* !$$’无界! %)%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 解(1)设S是一非空数集,若对任意的M>0,总存在x。∈S,使x0>M,则称数集S无上界 (2)设S是一非空数集.若对任意的M>0,总存在x0∈S,使|xo|>M,则称数集S无界 ○3.试证明由(3)式所确定的数集S有上界而无下界 证明由(3)式所确定的数集S={y|y=2-x2,x∈R},对任意的x∈R,y=2-x2≤2 所以数集S有上界2.而对任意的M>0,取x0=√3+M∈R,存在y=2-x=2 3-M=-1-M∈S,而y-√2,即2、 √2分别是S的上、下界又对任意的正数c,不妨设c2-e,x0,令n=[M] +1,则n!>M,故S无上界,所以supS=+∞;对任意的c>0,存在x1=1!=1∈ S,使x10,不妨设 E1-e;有无理数x1=n∈S,使x1=0,必有 正整数m∈N使六1-所以spS 又存在-1-=∈5.使x1,只需取x=∈S,则x0<B.从而满足=infS的定义
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ 解 !!$设’是一非空数集!若对任意的 ( &##总存在$# #’#使$# & (#则称数集’无上界! !$$设’是一非空数集!若对任意的 ( &##总存在$# #’#使B$#B& (#则称数集’无界! 8’" 试证明由!’$式所确定的数集’有上界而无下界! 证明 由!’$式所确定的数集’ A +-B-A$@$$#$ # $,#对任意的$ # $#-A$@$$ $$# 所以数集’有上界$!而对任意的 ( &##取$# A !’?( # $#存在-# A$@$$ # A$@ ’@( A@!@( #’#而-# %@(#因此数集’无下界! 8*" 求下列数集的上"下确界#并依定义加以验证) !!$’ A +$B$$ %$,* !$$’ A +$B$ A&.#&# %? ,* !’$’ A +$B$为!##!$内的无理数,* !*$’ A +$B$ A!@ ! $&#&# %? ,! 解 !!$+,-’ A !$#./0’ A@!$#下面依定义加以验证! 因$$ %$#等价于 @!$%$% !$#所以对任意的$#’#有$% !$且$ &@!$#即!$" @!$分别是’的上"下界!又对任意的正数##不妨设#%$!$#于是存在$# A !$@ # $ " $! A@!$? # $ #使$#"$! #’#使$# & !$@##$! %@!$?##所以由上"下确界的定义 +,-’ A !$#./0’ A@!$! !$$+,-’ A? )#./0’ A!#下面依定义验证! 对任意的$ #’#!$$ %? )#所以!是’的下界!因为对任意的 ( &##令&A ((’ ?!#则&. & (#故’无上界#所以+,-’ A? )*对任意的#&##存在$! A!. A!# ’#使$! %!?##所以./0’ A!! !’$+,-’ A!#./0’ A##下面依定义验证! 对任意的$#’#有#%$%!#所以!"#分别是’的上"下界!又对任意的#&##不妨设 #%!#由无理数的稠密性#总存在无理数!# !###$#则有无理数$# A!@!#’#使$# A!@!&!@#*有无理数$! A!#’#使$! A!%#?##所以+,-’ A!#./0’A#! !*$+,-’ A!#./0’ A ! $ #下面依定义验证! 对任意的$ #’#有 ! $ $$ %!#所以!"! $ 分别是’的上"下界!对任意的#&##必有 正整数&# # 0/ 使 ! $&# %##则存在$# A!@ ! $&# #’#使$# &!@##所以+,-’ A!! 又存在$! A!@ ! $ A ! $ #’#使$! % ! $ ?##所以./0’ A ! $ ! 83" 设’为非空有下界数集#证明) ./0’ A%#’9%A 9./’! 证明 :$ 设./0’A%#’#则对一切$#’有$ -%#而%#’#故%是数集’ 中最小的数#即 %A 9./’! ;$ 设%A 9./’#则%#’*下面验证%A./0’) !!$对一切$ #’#有$ -%#即%是’ 的下界* !"$对任何&&%#只需取$# A%#’#则$# %&!从而满足%A./0’的定义! %!*%