安柔油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 20052006学年第二学期 课程名称:高等数学(下)考试性质:考试试卷类型:B 考试班级:全院工科 考试方法:闭卷命题教师:试题库 单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.(B)2.(A)3.(D)4.(C)5.(A) 填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 22.{xy)0<x2+y2≤1}3.x+2y+2--4=0 三.解答下列各题(本题共12小题,每小题6分,共60分) 1.解:因为f,(12=-2x 2 1分 2 ∫,(1,2,1)= y 2分 ∫(1,2,1) 3分 (1,2,1) 所以Ja2=2(-2dx-4dy+5d) 5分 2.解 2分 3分 f(ucy'-(u)-yf 分 -5分 3.解:方程两边对x求偏导2x+2-2-49=0-2分 方程两边对y求偏导2y+2=-+2-4=0 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2005 /2006 学年第 二 学期 课程名称： 高等数学（下） 考试性质：考试 试卷类型：B 考试班级： 全院工科 考试方法：闭卷 命题教师：试题库 一．单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1．（B） 2．（A） 3．（D） 4．（C ） 5．（A） 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1． 2 2 2．{( , ) 0 1 } 2 2 x y < + yx 3． x + 2y + 2z 4 = 0 4． 2 3 5．0 三.解答下列各题（本题共 12 小题，每小题 6 分，共 60 分）. 1.解:因为 25 2 ( ) 2 (1,2,1) (1,2,1) 2 2 2 = + = x y xz f x ----------------1 分 25 4 ( ) 2 (1,2,1) (1,2,1) 2 2 2 = + = x y yz f y -----------------2 分 5 1 1 (1,2,1) (1,2,1) 2 2 = + = x y f z -----------------------3 分 所以 (1,2,1) df = ( 2d 4d 5d ) 25 1 x y + z ---------------------5 分 2.解: f x y f x z = ------------------2 分 y f x y f x y z ( ) 2 = --------------3 分 = f x y f u x x y f u 2 ( ) 1 ( )( ) ------------------4 分 = f x y 2 -----------------------5 分 3. 解:方程两边对 x 求偏导 2 2 2 4 = 0 + x z x z x z -----------2 分 方程两边对 y 求偏导 2 2 2 4 = 0 + + y z y z y z -----------4 分
令=0=0得x=1,y=-1既为驻点 分 4.解:设M(x,y,z)是所求平面上任一点,则向量{x,y,},6,-3,2}以及向量(4-1,2) y 共面,故6-32=0 分 x+ 5分 2 5.解:由 ly=1+x2得交点(12), 分 则I=dx2 3分 4分 +arctan 2 5分 6.解:I dxd 3分 2r(ed(r2) 4分 丌(1-e) -5分 7.解:原式= cdxdvdz 2分 4分 4d 8 5分 8解:因为x2-2-y)=x+20-y)=2(x-y) 分 ax 所以(xy)=[(x2+2xy-y2)dx+(x2-2x-y2)+C—3分 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 令 0 = 0 = y z x z 得 x = 1, y = 1既为驻点------------5 分 4. 解:设 M (x, ,zy ) 是所求平面上任一点,则向量{x, ,zy },{6,-3,2}以及向量(4,1,2) 共面,故 0 4 1 2 6 3 2 = x y z -----------4 分 即2x + 2y 3z = 0 --------------5 分 5. 解:由 = + = 2 1 2 y x xy 得交点(1,2) ,----------1 分 则 + = 2 1 2 2 2 2 1 d d x x y y x I x ---------------3 分 = x y x x x [ ( ) ]d 2 1 2 2 1 2 + = x x x x )d 2 1 ( 2 2 2 1 3 + ---------------4 分 = 4 arctan 2 8 7 + -----------------5 分 6. 解: = = a r D x y I e x y e r r 0 2 0 d d d d 2 2 2 -----------------3 分 = a r e r 0 2 ) d( ) 2 1 2 ( 2 -------------4 分 = (1 ) 2 a e ----------------------5 分 7. 解:原式= zdx ydd z -----------2 分 = + 4 2 0 2 2 d d x y zdz x y ---------4 分 = 2 0 4zdz =8 -------------------5 分 8.解: 因为 x x xy y ( 2 ) 2 2 = 2( ) ( 2 ) 2 2 x y y x xy y = + ---------------1 分 所以 u x y x xy y x x xy y y C x y = + + + ( , ) (0,0) 2 2 2 2 ( , ) ( 2 )d ( 2 )d ----------3 分
[xd+∫(x2-2y-y2)+C -4分 -5分 9.解: s(n+1y"(n)2(1+-) 2分 (n+1)]2n (1 00.y>0,z>0)的最大 值,作拉格朗日函数 L(x, y, ==xyz+2(2xy+2yz+2x2-a) 求其对xyz的偏导数,并使之为零得 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 = x x x xy y y C x y + + d ( 2 )d 0 2 2 0 2 -------------------4 分 = x + x y xy y + C 3 2 2 3 3 1 3 1 ------------5 分 9.解: 1 ) 1 (1 ( !) [( 1)!] ( 1) 2 2 1 1 + + = + + = + + n n n n n n a a n n n n n ---------2 分 0 1 1 ) 1 (1 lim 0. y > 0, z > 0) 的最大 值,作拉格朗日函数 ( , , ) (2 2 2 ) 2 L x y z = xyz + xy + yz + xz a --------------3 分 求其对 x, y, z 的偏导数,并使之为零得
=yz+(2y+2-)=0 =x+(2x+2=)=0 02-2+2 4分 maxv= 5 五.证明题(本大题共5分) 证明:设Sn=∑,On=∑(2x-1+2)=l1+l2+…+l2n=S2 1分 因为∑(2-1+2x)收敛,所以lman存在,设为S, 则limS2n= lim g=S 3分 又lIm2n+1n =im (S +u2n+ 1)=S-一 4分 故级数∑n收敛 分 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 = + + = = + + = = + + = 2 2 2 0 (2 2 ) 0 (2 2 ) 0 2 xy yz xz a L xz x z y L yz y z x L x y z a 6 6 = = = ---------4 分 3 36 6 max = aV ----------5 五.证明题(本大题共 5 分). 证明:设 = = n k Sn uk 1 , k n n n k n u k u2 u1 u2 u2 S2 1 2 1 = ( + ) = + + =+ = -----------1 分 因为 ( ) 2 1 2 1 k n k u k + u = 收敛,所以 n n lim 存在,设为 S , 则 S S n n n n = = lim 2 lim ---------3 分 又 S S u S n n n n n = + + = + lim lim( ) 2 1 2 2 1 --------------------------4 分 故级数 n=1 un 收敛--------------------------------5 分