释疑解难无穷级数 问题1试判断下列命题是否正确? (1)若lmun=0,则∑n必定收敛 (2)设∑n∑v是正项级数,n≤c,(n=L2,),c为大于零的常数,则∑un, ∑v同敛散 答:均不正确。 (1)limn=0是级数收敛的必要条件,不能判断∑un的收敛,但它的逆否命题成 ,可以用limn≠0来判断∑n的发散,即若limn≠0,则∑un发散。 (2)反例,考虑u.=1 问题2下列运算是否正确 若∑a∑b均收敛,且对一切自然数n有an≤cn≤b,证明:∑cn也收敛。 证明::a≤cn≤b(n=1,2,)且∑a∑b均收敛,由比较判别法知∑cn收敛 答:不正确 因为证明中使用了比较判别法,而比较判别法只适用于正项级数,题目中并未指出级数 是正项级数,正确方法如下 证明:由条件an≤cn≤b,(n=12…)可得b-an2cn-an≥0,故∑(b-an)与 ∑(cn-an)均为正项级数。∑a与∑b收敛,从而∑(b-an)收敛,由正项级数的比 较判别法,∑(n-an)也收敛,而cn=(n-an)+an,所以∑==∑[(n-an)+a]也 收敛 问题3设∑an∑b均为正项级数,满足≌m址1,(m=12,3…),且级数∑
释疑解难 无穷级数 问题 1 试判断下列命题是否正确？ （1）若 lim 0 n n u → = ，则 1 n n u = 必定收敛。 （2）设 1 n n u = ， 1 n n v = 是正项级数， ( 1,2, ) n n u cv n = ，c 为大于零的常数，则 1 n n u = ， 1 n n v = 同敛散。 答：均不正确。 （1） lim 0 n n u → = 是级数收敛的必要条件，不能判断 1 n n u = 的收敛，但它的逆否命题成 立，可以用 lim 0 n n u → 来判断 1 n n u = 的发散，即若 lim 0 n n u → ，则 1 n n u = 发散。 （2）反例，考虑 2 1 1 , n n u v n n = = 。 问题 2 下列运算是否正确？ 若 1 1 , n n n n a b = = 均收敛，且对一切自然数 n 有 nnn a c b ，证明： 1 n n c = 也收敛。 证明： ( 1,2, ) nnn a c b n = 且 1 1 , n n n n a b = = 均收敛，由比较判别法知 1 n n c = 收敛。 答：不正确。 因为证明中使用了比较判别法，而比较判别法只适用于正项级数，题目中并未指出级数 是正项级数，正确方法如下： 证明：由条件 ( 1,2, ) nnn a c b n = 可得 0 n n n n b a c a − − ，故 1 ( ) n n n b a = − 与 1 ( ) n n n c a = − 均为正项级数。 1 n n a = 与 1 n n b = 收敛，从而 1 ( ) n n n b a = − 收敛，由正项级数的比 较判别法， 1 ( ) n n n c a = − 也收敛，而 c c a a n n n n = − + ( ) ，所以 ( ) 1 1 n n n n n n c c a a = = = − + 也 收敛。 问题 3 设 1 1 , n n n n a b = = 均为正项级数，满足 n n 1 1 n n a b a b + + ，( n =1,2,3, )，且级数 1 n n b =
收敛,证明∑an收敛。下面证明过程正确吗? 证明:∑b收敛,、1b<1,又:an≤b,: lim址<1 由比值判别法知,∑an收敛 答:不正确。 因为比值判别法的逆命题不成立,即根据正项级数∑b收敛,不能推出im存在 并且小于1的结论。(例如,∑收敛,但lim=1),同时由im存在,也不能 推出lim存在的结论 正确证明如下: anb推出q<an≤…,≤a,于是an≤b,n=1,2 b,i b 又∑b收敛,根据正项级数的比较判别法知∑an收敛。 问题4幂级数∑an(x-x)的收敛域具有什么特点? 答:1.幂级数的收敛域不是空集,至少x为收敛点。 2.幂级数的收敛域是以x为中心的对称开区间加收敛的端点,区间端点为 x-r,x+F,收敛域可能是闭区间,开区间或半开区间,也可能是实数域R(收敛半径 r=+∞)或孤立点{x}。 3.由阿贝尔定理,有若幂级数在x=c处收敛,则在x一x<c即(x-c,x+)内必 绝对收敛,而若在x=a处发散,则在[x-a,x+小之外必发散 问题5设函数f(x)在x0点的某一邻域内具有任意阶导数,试问f(x)是否总能在x 点展开为泰勒级数?
收敛，证明 1 n n a = 收敛。下面证明过程正确吗？ 证明： 1 n n b = 收敛， 1 lim 1 n n n b b + → ， 又 n n 1 1 n n a b a b + + ， 1 lim 1 n n n a a + → 由比值判别法知， 1 n n a = 收敛。 答：不正确。 因为比值判别法的逆命题不成立，即根据正项级数 1 n n b = 收敛，不能推出 1 lim n n n b b + → 存在 并且小于 1 的结论。（例如， 2 1 1 n n = 收敛，但 1 lim 1 n n n b b + → = ），同时由 1 lim n n n b b + → 存在，也不能 推出 1 lim n n n a a + → 存在的结论。 正确证明如下： 由 n n 1 1 n n a b a b + + ，推出 1 1 1 1 n n n n a a a b b b + + ，于是 1 1 n n a a b b ，n =1, 2, 又 1 n n b = 收敛，根据正项级数的比较判别法知 1 n n a = 收敛。 问题 4 幂级数 ( 0 ) 0 n n n a x x = − 的收敛域具有什么特点？ 答：1．幂级数的收敛域不是空集，至少 0 x 为收敛点。 2．幂级数的收敛域是以 0 x 为中心的对称开区间加收敛的端点，区间端点为 0 0 x r x r − + , ，收敛域可能是闭区间，开区间或半开区间，也可能是实数域 R （收敛半径 r = + ）或孤立点 x0 。 3．由阿贝尔定理，有若幂级数在 x c = 处收敛，则在 0 x x c − 即 ( x c x c 0 0 − + , ) 内必 绝对收敛，而若在 x a = 处发散，则在 x a x a 0 0 − + , 之外必发散。 问题 5 设函数 f x( ) 在 0 x 点的某一邻域内具有任意阶导数，试问 f x( ) 是否总能在 0 x 点展开为泰勒级数？
答:首先必须明确两个概念: (1)f(x)在x点的泰勒级数是指幂级数∑/"(x)(x-x): (2)f(x)在x点能展开为泰勒级数是指存在x的某个邻域U(x) 总有(x)=∑ro(xXx-xy,xeU(x) 即所展开成的级数必须收敛于f(x)。 以上是二个不同的概念,事实上只要f(x)在x点有任意阶导数,就可以写出泰勒级数, 但根据收敛定理知,f(x)在∪(x0)内收敛于f(x)的充分必要条件是:在U(x0)内,f(x) 的泰勒公式的余项R(x)→0(n→∞),若没有lmR(x)=0的条件,f(x)在x点就不 定能展开为泰勒级数。 例如(x)={e2,当x≠时在 x=0时=0点各阶导数都存在,且等于零,事实上 fo)=im1(x)-/0 0,1 令=tlim ±√ →+=2ve ,(x≠0) 0 f"(O)=lim/(x)-f(o lim =lm 令 lim 由归纳法(略),得fm(0)=0(n=3,4,…) 由于f"(O)=0n=12…),因此f(x)在x=0点的泰勒级数Q;其和函数 为S(x)=0,x∈(-∞,+∞)。说明∫(x)在x=0点的泰勒级数在邻域U(0)内不收敛于 f(x),因此,f(x)在x=0点不能展开为幂级数 问题6怎样用间接法将函数展开为幂级数?
答：首先必须明确两个概念： （1） f x( ) 在 0 x 点的泰勒级数是指幂级数 ( ) 0 0 0 1 ( )( ) ! n n n f x x x n = − ； （2） f x( ) 在 0 x 点能展开为泰勒级数是指存在 0 x 的某个邻域 0 U x( ) ， 总有 ( ) 0 0 0 1 ( ) ( )( ) ! n n n f x f x x x n = = − ， 0 x U x ( ) 即所展开成的级数必须收敛于 f x( ) 。 以上是二个不同的概念，事实上只要 f x( ) 在 0 x 点有任意阶导数，就可以写出泰勒级数， 但根据收敛定理知， f x( ) 在 0 ( ) x 内收敛于 f x( ) 的充分必要条件是：在 0 U x( ) 内， f x( ) 的泰勒公式的余项 ( ) 0( ) R x n n → → ，若没有 lim ( ) 0 n n R x → = 的条件， f x( ) 在 0 x 点就不一 定能展开为泰勒级数。 例如 2 1 , 0 ( ) 0, 0 x e x f x x − = = 当 时 当 时 在 x = 0 点各阶导数都存在，且等于零，事实上 2 1 2 0 0 ( ) (0) 0 1 (0) lim lim lim x t x x t f x f e t f t x x x e − → → →+ − − = = = 令 1 lim 0 2 t t→+ te = = 2 1 3 2 ( ) ,( 0) x f x e x x − = 2 2 1 1 3 4 0 0 0 2 0 ( ) (0) 2 (0) lim lim lim x x x x x e f x f e x f x x x − − → → → − − = = = 2 2 1 2 lim 0 t t t t x e →+ 令 = = 由归纳法（略），得 ( ) (0) 0 n f = ( 3,4, ) n = 由于 ( ) (0) 0( 1,2, ) n f n = = ，因此 f x( ) 在 x = 0 点的泰勒级数为 0 0 ! n n x n − ，其和函数 为 S x x ( ) 0, ( , ) = − + 。说明 f x( ) 在 0 x = 0 点的泰勒级数在邻域 U (0) 内不收敛于 f x( ) ，因此， f x( ) 在 0 x = 0 点不能展开为幂级数。 问题 6 怎样用间接法将函数展开为幂级数？
答:将∫(x)展开为x的幂级数指幂级数的形式为∑anx”,因此,展开时常借助于马 克劳林级数∑x",而将f(x)展开为(x-x)的幂级数所指的幂级数形式为 an(x-x),故而常常借助于泰勒级数S∫(xx-) 间接展开法是通过变形将函数化为适当的形式,利用已知的展开式来完成的 1.f(x)是有理分式,可利用展开式展开 1+x+x+…+x 1-x ∑x",x∈(-1) 例1将f(x)1 展开为x的幂级数 解:可利用变量变换,令【=x2,得 =1+1+2+…+1+…=1+x2+x4+…+x2"+…=∑x2n,x∈(-1,1) 或 ∑(x2)=∑xn,x∈(-1) 也可将f(x)s、1 分解为f(x) 2(1-x1+x =1+(-x)+(-x) l+x1-(-x) =1-x+x2+…+(-1)x"+…=∑(-1)x",x∈(-1) f(x)=1∑x+(-)x|=∑x2,x∈(-1) 例2将∫(x)= 分别展开为x的幂级数和x-1的幂级数 解:将∫(x)化为部分分式之和 ∫(x)= 4(1-x3+x
答：将 f x( ) 展开为 x 的幂级数指幂级数的形式为 0 n n n a x = ，因此，展开时常借助于马 克劳林级数 ( ) 0 (0) ! n n n f x n = ，而将 f x( ) 展开为 0 ( ) x x − 的幂级数所指的幂级数形式为 0 0 ( )n n n a x x = − ，故而常常借助于泰勒级数 ( ) 0 0 0 ( )( ) ! n n n f x x x n = − 。 间接展开法是通过变形将函数化为适当的形式，利用已知的展开式来完成的。 1． f x( ) 是有理分式，可利用展开式展开： ( ) 2 0 1 1 , 1,1 1 n n n x x x x x x = = + + + + + = − − 例 1 将 2 1 ( ) 1 f x x = − 展开为 x 的幂级数。 解：可利用变量变换，令 2 t x = ，得 ( ) 2 2 4 2 2 2 0 1 1 1 1 , 1,1 1 1 n n n n t t t x x x x x x t = = = + + + + + = + + + + + = − − − 或 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 1 1 , 1,1 1 1 n n n n x x x x x = = = = = − − − 也可将 2 1 ( ) 1 f x x = − 分解为 1 1 1 ( ) 2 1 1 f x x x = + − + 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) n x x x x x = = + − + − + + − + + − − ( ) 2 0 1 ( 1) ( 1) , 1,1 n n n n n x x x x x = = − + + + − + = − − ( ) 2 0 0 0 1 ( ) ( 1) , 1,1 2 n n n n n n n f x x x x x = = = = + − = − 。 例 2 将 2 1 ( ) 2 3 f x x x = + − 分别展开为 x 的幂级数和 x −1 的幂级数。 解：将 f x( ) 化为部分分式之和： ( )( ) 1 1 1 1 ( ) 1 3 4 1 3 f x x x x x = = − + − + − +
(1)展开为x的幂级数 ∑2nx2,x∈(-3,3) (2)展开为x-1的幂级数 先将∫(x)化为如下形式: 1-x3+x42-(x-1)4+(x-1) 1,得-1<x<3) (-)(x-y f(x)= 2m41(x-1),x∈(-13) cx+d 对于f(x) (x2+px+q为质因式,在实数范围内不能再分解因式),一般应 用直接展开法或待定系数法,但对一些特殊情况,也可用间接法展开,例如 ∫(x)= (1-x) 例3将f(x)= (、展开为x的幂级数 解:由于x∈(-1,1)时,有
（1）展开为 x 的幂级数 ( ) 0 1 , 1,1 1 n n x x x = = − − ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 1 1 1 1 , 3,3 3 3 3 3 3 1 3 n n n n n n n x x x x x + = = − = = − = − + + ( ) ( ) 1 0 1 1 ( ) 1 , 1,1 4 3 n n n n f x x x + = − = − + − （2）展开为 x −1 的幂级数 先将 f x( ) 化为如下形式： ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 1 3 4 2 1 4 1 f x x x x x = − + = − + − + − − + − ( ) ( ) 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 n n n n n x x x x + = = − = = = − − − − − ， x −( 1,3) （由 1 1 1 2 x − − ，得 − 1 3 x ） ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 4 4 4 4 1 1 4 n n n n n n n x x x x + = = − − = = − = − + − − + ， x −( 3,5) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 ( ) 1 4 2 4 n n n n n f x x + + = − = − + − ， x −( 1,3) 。 对于 2 ( ) cx d f x x px q + = + + （ 2 x px q + + 为质因式，在实数范围内不能再分解因式），一般应 用直接展开法或待定系数法，但对一些特殊情况，也可用间接法展开，例如 3 2 3 0 1 1 ( ) (1 ) 1 1 n n x f x x x x x x = − = = = − + + − ( ) 3 3 1 3 3 1 0 0 0 n n n n n n n x x x x + + = = = = − = − x −( 1,1) 例 3 将 ( ) 2 1 ( ) 1 f x x = − 展开为 x 的幂级数。 解：由于 x −( 1,1) 时，有
dt 1=x+x2+…+x”+ 再求导,利用幂级数逐项求导性质,得 1+2x+3x2+…+m1+…=∑nx",x∈(-11) 另解如下方法更为简单 f(x)=(1-x x,x∈(-1) 2.f(x)是无理函数,通常转化为(1+x),再求其展开式 例如f(x)= =x1+ 利用(+x)=1+mx+ m(m-1) m(m-1)…(m-n+1)n x-+· (-10) (2)g(x)=arctan x 解:(1)因为e2=1+x++…+-+…,x∈( 而a=em=e,所以在上面展开式中,以xma代x便得 xna xIna a=l+xIna+ =1+na·x+ (Ina) x+… x∈(-∞,+∞)
( ) 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 x n n n dt x x x x t x x = = − − = − = + + + + = − − − 再求导，利用幂级数逐项求导性质，得 ( ) 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 n n n x x nx nx x − − = = + + + + + = − ， x −( 1,1) 另解 如下方法更为简单： ( ) 1 0 1 1 1 n n n n f x x x x − = = = = = − ， x −( 1,1) 2． f x( ) 是无理函数，通常转化为 (1 x) + ，再求其展开式 例如 ( ) 1 2 2 2 ( ) 1 1 x f x x x x − = = + + 利用 ( ) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 2 ! m m m m m m n n x mx x x n − − − + + = + + + + + （ − 1 1 x ） 展开为 x 的幂级数。 3． f x( ) 是超越函数，除了注意函数变形为已知展开式的形式外，应特别注意，如果 f x( ) 的导数 f x ( ) ﹑积分 0 ( ) x f t dt 的展开式为已知，则通过逐项积分和求导的方法把求 f x( ) 的 展开式转化为求 f x ( ) 或 0 ( ) x f t dt 的展开式。例如 ( ) 1 1 1 In x x + = + ，( ) 2 1 arctan 1 x x = + ， ( ) 3 2 1 1 x 1 x = − − 。 In x (1+ ) 与 arctan x 的展开都可通过对其导函数 1 1+ x 、 2 1 1+ x 和 1 1− x 的展开再逐项 积分或逐项求导来完成。 例．将下列函数展开为 x 的幂级数： （1） ( ) x f x a = ( 0) a （2） g x x x ( ) arctan = 解：（1） 因为 ( ) 2 1 , , 2! ! n x x x e x x n = + + + + + − + 而 x x Ina xIna a e e = = ，所以在上面展开式中，以 xIna 代 x 便得 ( ) ( ) 2 1 2! ! n x xIna xIna a xIna n = + + + + + ( ) ( ) 2 2 1 2! ! n n Ina Ina Ina x x x n = + + + + + ( ) 0 ! n n n Ina x n = = ， x − + ( , )
(2) (arctan x)= 1+x 积分 arctan x)o1+t r=∑r=>1x,xer山 当x=土1时,∑((出)为收敛的交错级数。 g(x)=xarctanx=x " 问题7任何函数都能展开为傅里叶级数吗?函数f(x)=2x,x∈[O,1)能展开为傅里 叶级数吗? 答:根据收敛定理,如果f(x)是周期函数且满足收敛条件,当然可以展开为(-∞∞)上 的傅里叶级数:如果f(x)不是周期函数,只要在[-1,小上满足收敛条件,也可以通过周期 延拓展开,从而得到[-上傅里叶级数:如果f(x)在[Q小满足收敛条件,则可以通过奇 (偶)延拓展开,从而得到[0小上的正弦级数、余弦级数。例如∫(x)=e2,f(x)=2x等 都不能展开为(-∞,∞)上傅里叶级数,但它们可以展开为[-1,小上傅里叶级数。 函数∫(x)=2x,x∈[-1]可以展开为傅里叶级数,这是因为可以将这个函数进行周期 延拓,使延拓后的函数F(x)成为周期函数: F(x)=2(x-2k)x∈[2k-1,2k+1]k=0±1±2 然后将F(x)展开为傅里叶级数,注意在x∈[-1]上,f(x)=F(x),因此F(x)的傅里叶 级数在[-]上就是f(x)的傅里叶级数。另外,这两个函数也可以展开成[上的正弦级 数、余弦级数
（2） ( ) 2 2 0 1 arctan ( 1) 1 n n n x x x = = = − + ， x −( 1,1) 积分 2 2 0 0 0 1 arctan ( 1) 1 x x n n n x dt t dt t = = = − + ( ) 2 1 0 1 2 1 n n n x n + = − = + ， x − 1,1 当 x =1 时， ( ) 0 ( 1) 1 2 1 n n n = − + 为收敛的交错级数。 1 2 1 2 0 1 ( 1) ( 1) ( ) arctan 2 1 2 1 n n n n n n g x x x x x x n n − + = = − − = = = + − ， x − 1,1 问题 7 任何函数都能展开为傅里叶级数吗？函数 f x x x ( ) 2 , 0,1 = ) 能展开为傅里 叶级数吗？ 答：根据收敛定理，如果 f x( ) 是周期函数且满足收敛条件，当然可以展开为 (− , ) 上 的傅里叶级数；如果 f x( ) 不是周期函数，只要在 −l l, 上满足收敛条件，也可以通过周期 延拓展开，从而得到 −l l, 上傅里叶级数；如果 f x( ) 在 0,l 满足收敛条件，则可以通过奇 （偶）延拓展开，从而得到 0,l 上的正弦级数、余弦级数。例如 ( ) x f x e = ， f x x ( ) 2 = 等 都不能展开为 (− , ) 上傅里叶级数，但它们可以展开为 −l l, 上傅里叶级数。 函数 f x x x ( ) 2 , 1,1 = − 可以展开为傅里叶级数，这是因为可以将这个函数进行周期 延拓，使延拓后的函数 F x( ) 成为周期函数： F x x k x k k k ( ) 2( 2 ), 2 1,2 1 , 0, 1, 2, = − − + = 然后将 F x( ) 展开为傅里叶级数，注意在 x − 1,1 上， f x F x ( ) ( ) = ，因此 F x( ) 的傅里叶 级数在 −1,1 上就是 f x( ) 的傅里叶级数。另外，这两个函数也可以展开成 0,1 上的正弦级 数、余弦级数
