第十章习题课 曲线积分与曲面积分
第十章 习题课 曲线积分与曲面积分
基本要求 1.理解两类曲线和曲面积分的概念,了解两类 积分的性质以及两类积分的关系。 掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。 3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径 无关的条件。 4.了解高斯公式,并会用高斯公式求曲面积分 5.会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物 理量(弧长、质量、重心、转动惯量、引力、 功和流量等)
一 基本要求 1．理解两类曲线和曲面积分的概念，了解两类 积分的性质以及两类积分的关系。 2．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。 3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径 无关的条件。 4．了解高斯公式，并会用高斯公式求曲面积分。 5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物 理量（弧长﹑质量﹑重心﹑转动惯量﹑引力、 功和流量等）
要点提示 1曲线积分的计算化为定积分计算 (1)对弧长(第一型) 设L:x=(),y=V(t),≤t≤B 「/xy)=J/0(O+0),a< 弧微分d=√02(t)+v"()lh
二.要点提示 1.曲线积分的计算——化为定积分计算 （1）对弧长（第一型） 设L： 弧微分 x t y t t = = ( ), ( ), 2 2 ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) , L f x y ds f t t t t dt = + 2 2 ds t t dt = + ( ) ( )
(2)对坐标(第二型) 设L:x=(t),y=v(t)2 从A((a),v(a)到B((),v(P) P(x, y)dx+o(, y)dy =m(P)0()+0(]y(o)4
（2）对坐标（第二型） 设L： ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ), ( ), , , x t y t B = = 从A 到 ( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) L P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt + = +
2.曲面积分的计算(化为二重积分) (1)对面积(第一型)的曲面积分 若∑:z=2(x,y) 0(A5j/[x2x,小+2x)+(y)d ∑:x=x(y,2,S=√1+x2+x2dv ∑:y=y(x,z),dS=√1+y2+y2axz
2．曲面积分的计算（化为二重积分） （1）对面积（第一型）的曲面积分 若 2 2 ( , , ) , , ( , ) 1 ( , ) ( , ) xy x y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy = + + : z z x y = ( , ) 2 2 : ( , ), 1 y z = = + + x x y z dS x x dydz 2 2 : ( , ), 1 x z = = + + y y x z dS y y dxdz
(2)对坐标(第二型)的曲面积分 若Σ:z=2(x,y)上侧,则 ∫R(xy,=)=1x,yx(xyb 若Σ:z=2(x,y)下侧,则 ∫R(xy=)dd=-」[xy(xy]d 2: x=x(,z), J P(x, J, 2)dyd==+P[x(v, 2), J, =]ydz E:y=y(x,z),』(xy,)d=士[xy(,x)=y
（2）对坐标（第二型）的曲面积分 若 上侧，则 若 下侧，则 ( , , ) , , ( , ) Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy = = : ( , ) z z x y = : ( , ) z z x y ( , , ) , , ( , ) Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy = − ( , , ) ( , ), , Dyz P x y z dydz P x y z y z dydz = = : ( , ), x x y z = : ( , ), y y x z ( , , ) . ( , ), Dzx Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx =
3格林公式平面上曲线积分与二重积分的 关系: 0o aP dxh=中Px+Qd D L L正向 (1)曲线积分与路径无关的条件= ox 以及等价关系 (2)添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线, 利用格林公式求曲线积分
( ) D L Q P dxdy Pdx Qdy x y − = + 3.格林公式——平面上曲线积分与二重积分的 关系： （1）曲线积分与路径无关的条件 L正向. 以及等价关系. Q P x y = （2）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线， 利用格林公式求曲线积分
4高斯公式曲面积分与三重积分的关系 OP OO OR aa+e+dv=p pdyd=+odzdx+Rdxdy ∑为外侧
4.高斯公式——曲面积分与三重积分的关系 ( ) P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z + + = + + 为外侧
三问题与思考 问题1下列运算正确吗? r ty=a (x2+)=2h=2 (2)(x+ydo= ldo=Tat
三 问题与思考 问题1 下列运算正确吗？ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 1 2 2 x y a L x y a D x y ds a ds a x y d a d a + = + + = = + = =
解(1)正确 (2)错误,因为二重积分的积分包括圆的边界 和内部,正确的是 元 (x2+y2do=h der2.rdr=ra 0 0 2 r ty sa
解 （1）正确. (2) 错误，因为二重积分的积分包括圆的边界 和内部，正确的是 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 0 0 1 2 a x y a x y d d r rdr a + + = =