释疑解难向量代数与解析几何 问题1下列向量等式的几何意义是什么? (1)a+b+c=0;(2)(a×b)c=0 (3)c=ha+ub:(4)h=b-(Pra b )a 答(1)表示a、b、c向量依次首尾相接时,第一向量起点与第三向量终点相重合, 这在几何上表示:a、b、c三向量为边构成三角形,或者三向量共线 (2)由混合积的几何意义知,(axb)c表示以a、bc为棱的平行六面体的体 积.(红xb)c=0表示体积为零,即向量a、b、c共面 (3)表示向量c是由向量a、b的线性组合而得到,因此向量c平行于由向量a、b确 定的平面,即a、b、c三向量共面 (4)向量d=(Pb)a表示向量b在向量a上投影向量(如图7-4).h表示以 a、b、c为边的三角形中与a垂直的高向量,故有b=d+h 问题2下列各式对吗?为什么? (1)当a≠O时,入 (2)a.a·a=a3 (3)a×a=a2; (4)a(ab)=a'b (5)(a+b)×(a-b)=a×a-b×b=0; (6)若a≠O时a·b=a·c,则b=c: (7)若a≠O时a×b=axc,则b=c 答以上各式均是错误的.错误的原因在于把实数的运算法则搬到向量运算上.一般 而言,在一个集合中规定了某些代数运算后,便形成了一个代数系统,各个代数系统都有自 身的运算规则不能随意地搬到另一个代数系统,不然,就要发生错误,下面分析错误的原因: (1)在向量中没有除法的定义,因而等式左边是没有意义的 (2)向量的“乘法”运算有三种,第一种是数乘向量;第二种是向量与向量的数量积 第三种是向量与向量的向量积.该题等式左边是没有意义的,事实上,aa表示数a,数 a与a的乘积是数乘向量的关系,不能写成l·a,即(aa),a不能写成a,教材中规 定了a2=a·a,但a3是没有意义的 (3)由于axa=0,a2=la,故等式不成立 (4)是乱套实数乘法结合律而得到的.左边是向量a与数量(ab)的乘积,是一个平
释疑解难 向量代数与解析几何 问题 1 下列向量等式的几何意义是什么？ （1） a b c o + + = ； （2） (a b c = ) 0 ； （3） c a b = + ；（4） ( ) 0 = − Prj h b b a a ． 答 （1）表示 a b c 、 、 向量依次首尾相接时，第一向量起点与第三向量终点相重合， 这在几何上表示： a b c 、 、 三向量为边构成三角形，或者三向量共线． （2）由混合积的几何意义知， (a b c ) 表示以 a b c 、 、 为棱的平行六面体的体 积． (a b c = ) 0 表示体积为零，即向量 a b c 、 、 共面． （3）表示向量 c 是由向量 a b 、 的线性组合而得到，因此向量 c 平行于由向量 a b 、 确 定的平面，即 a b c 、 、 三向量共面． （4）向量 ( ) 0 = Prja d b a 表示向量 b 在向量 a 上投影向量（如图 7-4）． h 表示以 a b c 、 、 为边的三角形中与 a 垂直的高向量，故有 bdh = + . 问题 2 下列各式对吗？为什么？ （1） 当 a o 时， = a a （2） 3 a a a a = ； （3） 2 a a a = ； （4） ( ) 2 a a b a b = ； （5） (a b a b a a b b o + − = − = ) ( ) ； （6） 若 a o 时 a b a c = ，则 b c = ； （7） 若 a o 时 a b a c = ，则 b c = 答 以上各式均是错误的．错误的原因在于把实数的运算法则搬到向量运算上．一般 而言，在一个集合中规定了某些代数运算后，便形成了一个代数系统，各个代数系统都有自 身的运算规则不能随意地搬到另一个代数系统，不然，就要发生错误，下面分析错误的原因： （1）在向量中没有除法的定义，因而等式左边是没有意义的． （2）向量的“乘法”运算有三种，第一种是数乘向量；第二种是向量与向量的数量积； 第三种是向量与向量的向量积．该题等式左边是没有意义的，事实上， a a 表示数 2 a ，数 2 a 与 a 的乘积是数乘向量的关系，不能写成 2 a a ，即 (a a a ) 不能写成 3 a ．教材中规 定了 2 a a a = ，但 3 a 是没有意义的． （3）由于 a a = 0， 2 2 a a = ，故等式不成立． （4）是乱套实数乘法结合律而得到的．左边是向量 a 与数量 (a b ) 的乘积，是一个平
行于a的向量,右边是数量a2=a:a=l与向量b的乘积,是一个平行于b的向量,这两 个向量在一般情形下是不相等的,只有a与b同向时,等式才能成立.事实上,若 b=Ra(1>0), ua(ab)=alab=aallla=a (5)是套用实数的平方差公式而得到的.由于向量积虽然满足分配律,但不满足交换 律(仅满足反交换律),因此,这个公式是不对的,事实上 (axb)x(a-b)=ax(a-b)+b×(a-b)=axa-axb+b×a-b×b=-2(axb) (6)、(7)是套用了实数的消去律,由于向量的数量积的向量积没有逆运算,因此, 向量运算中,这种消去律不成立(见前面的“几点注意”),我们只能得到 ac分a(b-c)=0a⊥(b-c) axb=axc分→ax(b-c)=0÷a|(b-c) 问题3设三角形ABC顶点的向径分别是F、F2、r,如何用F、F、r3表示三角形 ABC的面积?进一步说明F×F2+F2×F+r×F=O的几何意义 答应用向量的加法(如图7-5),AB、AC可以表示为AC=E2-F,AB=r3-F·则 △4BC的面积为 S=AB×AC 厂2×F-F×r一F2×+F 因r×F=一×F,Ex=一×,F×F=0,故 +rx 显然,当F×E2+F2×F+r×F=O时,△4BC的面积S=0 这在几何上表示A、B、C三点在同一直线上 问题4一般二次方程 图7-5 F=x+Gx+Hy+1z+J=0 当二次项系数不全为零时必定表示二次曲面吗? 答不一定.例如下列各二次方程均不表示二次曲面: (1)x2+4y2+92+4xy+12z+62x-4x-8y-122+3=0 可化为(x-2y+32-3)(x-2y+32-1)=0,故知它表示两个平行平面 (2)x2+y2+2-xy-yz-x=0,可化为(x-y)2+(y-)2+(-x)2=0,故知
行于 a 的向量，右边是数量 2 2 a a a a = = 与向量 b 的乘积，是一个平行于 b 的向量，这两 个向量在一般情形下是不相等的，只有 a 与 b 同向时，等式才能成立．事实上，若 b a = ( 0) ，则 ( ) ( ) 2 2 a a b a a b a a a a a a b = = = = ． （5）是套用实数的平方差公式而得到的．由于向量积虽然满足分配律，但不满足交换 律（仅满足反交换律），因此，这个公式是不对的，事实上 (a b a b a a b b a b a a a b b a b b a b − = − + − = − + − = − ) ( ) ( ) ( ) 2( ) ． （6）、（7）是套用了实数的消去律，由于向量的数量积的向量积没有逆运算，因此， 向量运算中，这种消去律不成立（见前面的“几点注意”），我们只能得到 a b a c a b c a b c = − = ⊥ − ( ) 0 ( ) ； a b a c a b c a b c = − = − ( ) 0 ( ) ． 问题 3 设三角形 ABC 顶点的向径分别是 r r r 1 2 3 、 、 ，如何用 r r r 1 2 3 、 、 表示三角形 ABC 的面积？进一步说明 r r r r r r o 1 2 2 3 3 1 + + = 的几何意义． 答 应用向量的加法（如图 7-5）， AB AC 、 可以表示为 AC = − 2 1 r r ，AB = − 3 1 r r ．则 ABC 的面积为 1 2 S AB AC = = ( 2 1 3 1 2 3 1 3 2 1 1 1 ) ( ) 1 1 2 2 r r r r r r r r r r r r − − = − − + ． 因 r r r r 1 3 3 1 = − ， r r r r 2 1 1 2 = − ， r r o 1 1 = ，故 1 2 S = r r r r r r 1 2 2 3 3 1 + + 显然，当 r r r r r r o 1 2 2 3 3 1 + + = 时， ABC 的面积 S = 0， 这在几何上表示 A B C 、 、 三点在同一直线上． 问题 4 一般二次方程 2 2 2 Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz J + + + + + + + + + = 0 当二次项系数不全为零时必定表示二次曲面吗？ 答 不一定．例如下列各二次方程均不表示二次曲面： （1） 2 2 2 x y z xy yz zx x y z + + + + + − − − + = 4 9 4 12 6 4 8 12 3 0 可化为 ( x y z x y z − + − − + − = 2 3 3 2 3 1 0 )( ) ，故知它表示两个平行平面． （2） 2 2 2 x y z xy yz zx + + − − − = 0 ，可化为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y y z z x − + − + − = 0 ，故知
它表示一条直线x=y=z (3)x2+y2+42-2x-4y-82+9=0,可化为(x-1)+(y-2)+4(-1) 它表示一个点(2,1) (4)x2+y2+z2+1=0在实数范围内无解,即无图像 由上可知,二次方程在某些情况下,可能表示平面、直线、点,甚至无图像,这与平 面解析几何中二元二次方程不一定都表示二次曲线的情形类似
它表示一条直线 x y z = = ． （3） 2 2 2 x y z x y z + + − − − + = 4 2 4 8 9 0 ，可化为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + − + − = 1 2 4 1 0 ， 它表示一个点 (1,2,1)． （4） 2 2 2 x y z + + + =1 0 在实数范围内无解，即无图像． 由上可知，二次方程在某些情况下，可能表示平面、直线、点，甚至无图像，这与平 面解析几何中二元二次方程不一定都表示二次曲线的情形类似