目录 第五章物元模型方法及应用 .132 第一节物元分析研究对象和内容…… 132 、矛盾问题 132 二、物元分析研究内容 132 第二节物元与可拓集合 133 、物元 133 、可拓集合 135 第三节关联函数… 136 距. 136 、正域为有限区间的简单关联函数 136 四、正域为无限区间的简单关联函数 137 五、正域为无限区间的简单关联函数… 138 六、正域为无穷区间的简单关联函数 第四节物元识别和评判方法 139 、对象识别的物元模型 139 、综合评判的物元模型 141 第五节应用实例 、山区公路高切坡安全评价 、基于模糊物元的重庆市农业气候资源综合评价 146
131 目录 第五章 物元模型方法及应用 ............................................................................................132 第一节 物元分析研究对象和内容 ................................................................................132 一、矛盾问题................................................................................................................132 二、物元分析研究内容 ................................................................................................132 第二节 物元与可拓集合 ................................................................................................133 一、物元........................................................................................................................133 二、可拓集合................................................................................................................135 第三节 关联函数............................................................................................................136 一、模............................................................................................................................136 二、距............................................................................................................................136 三、正域为有限区间 a,b 的简单关联函数...........................................................136 四、正域为无限区间 a,+ 的简单关联函数........................................................137 五、正域为无限区间 − ,b 的简单关联函数.....................................................138 六、正域为无穷区间 − + , 的简单关联函数..................................................138 第四节 物元识别和评判方法 ........................................................................................139 一、对象识别的物元模型 ............................................................................................139 二、综合评判的物元模型 ............................................................................................141 第五节 应用实例............................................................................................................144 一、山区公路高切坡安全评价 ....................................................................................144 二、基于模糊物元的重庆市农业气候资源综合评价 .................................................146
第五章物元模型方法及应用 第一节物元分析研究对象和内容 、矛盾问题 矛盾问题,是指人们要达到的目标在现有条件下无法实现的问题。例如,要称一头大象 却只有能称20kg的小秤;《三国演义》中的诸葛亮要对付司马懿的10万精兵,却只有5000 老弱残兵。有时候,在同一条件下,要实现两个对立的目标,例如,中国香港的汽车靠左行 驶,中国大陆的汽车靠右行驶,在遵守双方交通规则的条件下,要想把它们联结成一个大系 统,又不会撞车,该怎么办?诸如此类的矛盾非常多,那么这些矛盾有没有规律可循?能不 能建立一套理论与方法,去探讨它们,这就是物元可拓学的出发点。 物元分析研究的对象就是现实世界中的矛盾问题,研究的方法就是就是探讨处理矛盾问 题的规律和方法。 矛盾问题的类型。根据矛盾的性质,可以把矛盾问题分为三类:主客观矛盾问题(不相 容问题)、主观矛盾问题(对立问题)和客观矛盾问题 主客观矛盾问题是指主观愿望和客观条件产生矛盾的问题。我们把目的和使该目的能实 现的条件构成的问题称为主客观相容问题。而把目的和使该目的不能实现的条件构成的问题 称为主客观矛盾问题(不相容问题)。曹冲称象就属于这类问题:目的是称象,而条件是不 能称象的秤。曹冲想办法把秤不能称的大象换成秤能称的石头,从而解决了矛盾 主观矛盾问题是主观愿望之间的矛盾造成的。我们把在同一条件下要实现两个或多个不 能同时实现的目的问题称为主观矛盾问题(对立问题)。相反,把在同一条件下要实现两个 或多个能同时实现的目的得问题称为共存问题。想在同一个笼子里装运狼和鸡的问题是对立 问题,而在一个笼子里要装运兔和鸡的问题则是共存问题。 客观矛盾问题是指客观事物存在的矛盾构成的问题。解决这类问题,有些可通过人为的 干预把它们转化为不相容问题或对立问题。植物要在田地生长,洪水要淹没田地,这是一个 客观矛盾问题,人们筑堤建坝则是解决这类矛盾问题的一种方法。 物元分析研究内容 物元分析是研究解决不相容问题的规律和方法的新兴学科,是思维科学、系统科学、数 学三者的交叉边缘学科。它的中心是研究“出点子、想办法”的规律、理论和方法。 它的数学工具是基于可拓集合基础上的可拓数学。物元分析本身不是数学的一个分支, 在它的数学描述系统中还需要保留一定的开放环节。在这些环节中,人脑思维与客观实际要 在这里发挥作用。 它是在经典数学、模糊数学基础上发展起来而又有别于它们的新学科。经典数学的逻辑 基础是形式逻辑,模糊数学的逻辑基础是模糊逻辑,而物元分析的逻辑基础则是形式逻辑 132
132 第五章 物元模型方法及应用 第一节 物元分析研究对象和内容 一、矛盾问题 矛盾问题，是指人们要达到的目标在现有条件下无法实现的问题。例如，要称一头大象， 却只有能称 20kg 的小秤；《三国演义》中的诸葛亮要对付司马懿的 10 万精兵，却只有 5000 老弱残兵。有时候，在同一条件下，要实现两个对立的目标，例如，中国香港的汽车靠左行 驶，中国大陆的汽车靠右行驶，在遵守双方交通规则的条件下，要想把它们联结成一个大系 统，又不会撞车，该怎么办？诸如此类的矛盾非常多，那么这些矛盾有没有规律可循？能不 能建立一套理论与方法，去探讨它们，这就是物元可拓学的出发点。 物元分析研究的对象就是现实世界中的矛盾问题,研究的方法就是就是探讨处理矛盾问 题的规律和方法。 矛盾问题的类型。根据矛盾的性质，可以把矛盾问题分为三类：主客观矛盾问题（不相 容问题）、主观矛盾问题（对立问题）和客观矛盾问题。 主客观矛盾问题是指主观愿望和客观条件产生矛盾的问题。我们把目的和使该目的能实 现的条件构成的问题称为主客观相容问题。而把目的和使该目的不能实现的条件构成的问题 称为主客观矛盾问题（不相容问题）。曹冲称象就属于这类问题：目的是称象，而条件是不 能称象的秤。曹冲想办法把秤不能称的大象换成秤能称的石头，从而解决了矛盾。 主观矛盾问题是主观愿望之间的矛盾造成的。我们把在同一条件下要实现两个或多个不 能同时实现的目的问题称为主观矛盾问题（对立问题）。相反，把在同一条件下要实现两个 或多个能同时实现的目的得问题称为共存问题。想在同一个笼子里装运狼和鸡的问题是对立 问题，而在一个笼子里要装运兔和鸡的问题则是共存问题。 客观矛盾问题是指客观事物存在的矛盾构成的问题。解决这类问题，有些可通过人为的 干预把它们转化为不相容问题或对立问题。植物要在田地生长，洪水要淹没田地，这是一个 客观矛盾问题，人们筑堤建坝则是解决这类矛盾问题的一种方法。 二、物元分析研究内容 物元分析是研究解决不相容问题的规律和方法的新兴学科，是思维科学、系统科学、数 学三者的交叉边缘学科。它的中心是研究“出点子、想办法”的规律、理论和方法。 它的数学工具是基于可拓集合基础上的可拓数学。物元分析本身不是数学的一个分支， 在它的数学描述系统中还需要保留一定的开放环节。在这些环节中，人脑思维与客观实际要 在这里发挥作用。 它是在经典数学、模糊数学基础上发展起来而又有别于它们的新学科。经典数学的逻辑 基础是形式逻辑，模糊数学的逻辑基础是模糊逻辑，而物元分析的逻辑基础则是形式逻辑与
辩证逻辑的结合。经典数学是描述人脑思维,按形式逻辑处理问题的工具,模糊数学是描述 人脑思维处理模糊性信息的工具,而物元分析则是描述人脑思维出点子、想办法解决不相容 问题的工具,它带有很浓的人工智能色彩。物元分析是一门着重应用的学科,它既可以用在 硬”科学方面,又可以用在“软”科学方面 物元分析是我国学者蔡文教授所创立的新学科。1983年他在《科学探索学报》上发表了 论文《可拓集合和不相容问题》,标志着物元分析的诞生。物元分析引起国内外许多专家、 教授、学者的兴趣和关注。中国模糊数学学会副理事长汪培庄教授指出:“它提出了一门介于 数学和实验科学之间的新学科”。有的学者也指出:“物元分析是一个很有潜力和发展前途的 新学科 物元分析的突出特点是它创立了“物元”这一新概念,并建立了物元变换理论。因为求解 不相容问题,如果只从抽象的量和形的侧面考虑,是无法解决问题的,而必须同时考虑质和 量,对质和量进行变换,才可以使问题获得解决。所以有必要引进能够表征质和量有机结合 的新概念 把物理分析理论运用于系统的研究,得到了研究系统的物元分析方法。在系统研究中, 也存在着大量的不相容问题,为了解决这些问题,建立了系统物元、相容系统和不相容系统 等概念,并提出了化不相容系统为相容系统的有关方法,通过系统物元变换,可以处理不相 容系统中的问题。把物元分析理论运用于决策理论的研究,建立了“可拓决策”方法。决策过 程往往是要处理好系统内部的不相容性以及系统之间的不相容问题。可拓决策方法,不是单 纯考虑数量关系的迭代,而是采用最大限度满足主系统、主条件,其它系统则采取系统物元 变换、结构变换等方法,化不相容问题为相容问题,使问题得到合理解决 物元分析既然是专门研究如何处理难题的人脑思维的一种模型,因此,它将参与人工智 能及与人工智能相关的学科,也要参与诸如军事决策、经济计划、企业管理、过程控制等这 些大量出现不相容问题的部门中去 物元分析的理论框架有两个支柱:一个是研究物元及其变化的物元理论:一个是建立在 可拓集合基础上的数学工具 物元分析的应用技术是物元变换方法,由它发展起来的各种方法为人们解决矛盾问题提 供可行的工具。物元分析试图把人们解决问题的过程形式化,从而建立其相应的物元模型。 在这个基础上发展新的计算方法和技术,为设计高水平的智能计算机创造条件。 第二节物元与可拓集合 、物元 我们把人、事和物统称为事物。事物具有各种各样的特征,确定的事物关于某一特征有 相应的量值。事物的名称、特征个量值是描述事物的基本要素 l、事物 为区别和认识事物,人们用一些记号来代表它们,如桌子、张三和台风等。这些记号就 是事物的名称,简称为事物。 133
133 辩证逻辑的结合。经典数学是描述人脑思维，按形式逻辑处理问题的工具，模糊数学是描述 人脑思维处理模糊性信息的工具，而物元分析则是描述人脑思维出点子、想办法解决不相容 问题的工具，它带有很浓的人工智能色彩。物元分析是一门着重应用的学科，它既可以用在 “硬”科学方面，又可以用在“软”科学方面。 物元分析是我国学者蔡文教授所创立的新学科。1983 年他在《科学探索学报》上发表了 论文《可拓集合和不相容问题》，标志着物元分析的诞生。物元分析引起国内外许多专家、 教授、学者的兴趣和关注。中国模糊数学学会副理事长汪培庄教授指出：“它提出了一门介于 数学和实验科学之间的新学科”。有的学者也指出：“物元分析是一个很有潜力和发展前途的 新学科”。 物元分析的突出特点是它创立了“物元”这一新概念，并建立了物元变换理论。因为求解 不相容问题，如果只从抽象的量和形的侧面考虑，是无法解决问题的，而必须同时考虑质和 量，对质和量进行变换，才可以使问题获得解决。所以有必要引进能够表征质和量有机结合 的新概念。 把物理分析理论运用于系统的研究，得到了研究系统的物元分析方法。在系统研究中， 也存在着大量的不相容问题，为了解决这些问题，建立了系统物元、相容系统和不相容系统 等概念，并提出了化不相容系统为相容系统的有关方法，通过系统物元变换，可以处理不相 容系统中的问题。把物元分析理论运用于决策理论的研究，建立了“可拓决策”方法。决策过 程往往是要处理好系统内部的不相容性以及系统之间的不相容问题。可拓决策方法，不是单 纯考虑数量关系的迭代，而是采用最大限度满足主系统、主条件，其它系统则采取系统物元 变换、结构变换等方法，化不相容问题为相容问题，使问题得到合理解决。 物元分析既然是专门研究如何处理难题的人脑思维的一种模型，因此，它将参与人工智 能及与人工智能相关的学科，也要参与诸如军事决策、经济计划、企业管理、过程控制等这 些大量出现不相容问题的部门中去。 物元分析的理论框架有两个支柱：一个是研究物元及其变化的物元理论；一个是建立在 可拓集合基础上的数学工具。 物元分析的应用技术是物元变换方法，由它发展起来的各种方法为人们解决矛盾问题提 供可行的工具。物元分析试图把人们解决问题的过程形式化，从而建立其相应的物元模型。 在这个基础上发展新的计算方法和技术，为设计高水平的智能计算机创造条件。 第二节 物元与可拓集合 一、物元 我们把人、事和物统称为事物。事物具有各种各样的特征，确定的事物关于某一特征有 相应的量值。事物的名称、特征个量值是描述事物的基本要素。 1、事物 为区别和认识事物，人们用一些记号来代表它们，如桌子、张三和台风等。这些记号就 是事物的名称，简称为事物
事物有类事物和个事物之分。当N代表具有某些相同性质的一类事物时称N为类事物。 当N代表的是某一个具体的事物时称为个事物。如桌子、白马和台风等是类事物,而桌子a、 白马b和2017年第6号台风等则是个事物 在某一时刻,个事物N关于某特征c只有一个量值v与之对应。而相应的类事物关于该 特征的量值往往是一个值域。如白马a的高度为1.5m,而白马关于高度的量值是(0.5m,2m)。 从事物的存在性来分,事物又分为存在事物和期望事物两类。现在存在或过去存在过的 事物称为存在事物。假设的、设计的或者是幻想的、期望的事物统称为期望事物 特征 凡能表示事物的性质、功能、行为状态以及事物间的关系等征象都是事物的特征。一个 事物可以通过各种各样的特征来体现。特征可分为三种类型: 功能特征:描述事物的作用或用途的特征,如运输能力和发光程度等 性质特征:描述事物性质的特征,如酸碱度和导电率等 实义特征:描述事物实体的特征,如长、宽、重量和体积等。 3、量值 事物关于某一特征的数量、程度或范围等称为该事物关于这一特征的量值。特征C的取 值范围称为它的量域。量值可分为数量量值和非数量量值。如100cm、37°℃等是数量量值 甲级、黑色、优等是非数量量值 物元 给定事物的名称N,它关于特征c的量值为v,以有序三元组R=(N,c,v)作为描述 事物的基本元,简称物元。同时把事物的名称、特征和量值称为物元三要素 根据物元的定义,V由N和c确定,记作 由此,物元也可以表示为 R=(N (52) 个事物有多个特征,如果事物N以n个特征c1,c2,…,cn和相应的量值vl,v2,, vn描述,则表示为 Cn Vn 这时称R为n维物元,简记为R=(N,C,V)。 NC1「工件长30cm 直径6 R C3 I 重量5kg
134 事物有类事物和个事物之分。当 N 代表具有某些相同性质的一类事物时称 N 为类事物。 当 N 代表的是某一个具体的事物时称为个事物。如桌子、白马和台风等是类事物，而桌子 a、 白马 b 和 2017 年第 6 号台风等则是个事物。 在某一时刻，个事物 N 关于某特征 c 只有一个量值 v 与之对应。而相应的类事物关于该 特征的量值往往是一个值域。如白马 a 的高度为 1.5m，而白马关于高度的量值是（0.5m，2m）。 从事物的存在性来分，事物又分为存在事物和期望事物两类。现在存在或过去存在过的 事物称为存在事物。假设的、设计的或者是幻想的、期望的事物统称为期望事物。 2、特征 凡能表示事物的性质、功能、行为状态以及事物间的关系等征象都是事物的特征。一个 事物可以通过各种各样的特征来体现。特征可分为三种类型： 功能特征：描述事物的作用或用途的特征，如运输能力和发光程度等。 性质特征：描述事物性质的特征，如酸碱度和导电率等。 实义特征：描述事物实体的特征，如长、宽、重量和体积等。 3、量值 事物关于某一特征的数量、程度或范围等称为该事物关于这一特征的量值。特征 C 的取 值范围称为它的量域。量值可分为数量量值和非数量量值。如 100cm、37℃等是数量量值， 甲级、黑色、优等是非数量量值。 4、物元 给定事物的名称 N，它关于特征 c 的量值为 v，以有序三元组 R=（N，c，v）作为描述 事物的基本元，简称物元。同时把事物的名称、特征和量值称为物元三要素。 根据物元的定义，v 由 N 和 c 确定，记作 V=c（N） （5.1） 由此，物元也可以表示为 R=（N，c，c（N）） （5.2） 一个事物有多个特征，如果事物 N 以 n 个特征 c1，c2，…，cn 和相应的量值 v1，v2，…， vn 描述，则表示为 1 1 2 2 n n N C V C V R C V = （5.3） 这时称 R 为 n 维物元，简记为 R=（N，C，V）。 1 1 2 2 3 3 30cm 6cm = 5kg N C V C V R C V = 工件 长 直径 重量 （5.4）
是一元三维物元。(工件,长,30cm)、(工件,直径,6cm)和(工件,重量,5kg)就 是R的分物元。 可拓集合 1、集合论的多样性 经典数学建立在集合论的基础上,集合可以表现概念、性质、运算和变换,可以表现判 断和推理。因此,经典数学成为能够描述和表现各门学科的语言和系统。但经典集合论要求 论域中每一个对象关于某个集合,要么属于它,要么不属于它,两者必居其一,且只居其一 这种规律就是所谓的排中律,它使经典集合只能表现非此即彼的现象,因此,经典数学研究 的是确定性的事物。 现实世界中有一类概念,其外延并不是那么分明。例如高个子与矮个子、美与丑,青年 人等概念,并没有绝对分明的界限。这类没有明确外延的概念叫做模糊概念。模糊概念不能 用经典集合来刻画,于是产生了模糊集合论。 在现实世界中,事物是可变的,事物具有某种性质的程度也是可变的。在一定条件下 具有某种性质的事物可以改变为不具有该性质的事物,不具有该性质的事物也可以改变为具 有该性质的事物。如H2O在常温下表现为具有液态性质的水,但当温度低于0°C时,它不具 有液态的流动性等性质,而成为具有固态性质的冰 集合论是描述人脑思维对客观事物的识别和分类的数学方法。客观事物是复杂的,处于 不断运动和变化之中。因此,人脑思维对客观事物的识别和分类并不是只有一个模式,而是 多种形式的。因而,描述这种识别和分类的集合论也不应是唯一的,而应是多样的。 可拓集合定义 在经典数学中,给定对象集U的一个经典子集A,那么,U中不属于A的元素就属于A 但在实际问题中,A常由两类有本质不同的元素所组成。如某车床加工的工件规格直径为50 若对加工后的工件进行检验,可分为合格品和不合格品,而在不合格品中,一类是直径d≥50.1 的工件,一类为直径d<499的工件。前者虽然不合格,但重新加工后可能变为合格品,后者 在只用车床加工的限制下不可能变为合格品,它们被称为废品,而前者则被称为可返工品 显然,废品和可返工品是本质不同的不合格品。可拓集合正是以这类实际模型为背景发展起 来的一个概念 设U为论域,K是U到实域I的一个映射,称 A={(uy)u∈U,y=K(n)} (5.5) 为论域U上的一个可拓集合。y=K(u)为A的关联函数,K(u)为u关于A的关联度。称 A={u∈U,K(a)≥0} (5.6) 为A的正域 A={u∈U,K(u)≤0} (57) 为A的负域 135
135 是一元三维物元。（工件，长，30cm）、（工件，直径，6cm）和（工件，重量，5kg）就 是 R 的分物元。 二、可拓集合 1、集合论的多样性 经典数学建立在集合论的基础上，集合可以表现概念、性质、运算和变换，可以表现判 断和推理。因此，经典数学成为能够描述和表现各门学科的语言和系统。但经典集合论要求 论域中每一个对象关于某个集合，要么属于它，要么不属于它，两者必居其一，且只居其一。 这种规律就是所谓的排中律，它使经典集合只能表现非此即彼的现象，因此，经典数学研究 的是确定性的事物。 现实世界中有一类概念，其外延并不是那么分明。例如高个子与矮个子、美与丑，青年 人等概念，并没有绝对分明的界限。这类没有明确外延的概念叫做模糊概念。模糊概念不能 用经典集合来刻画，于是产生了模糊集合论。 在现实世界中，事物是可变的，事物具有某种性质的程度也是可变的。在一定条件下， 具有某种性质的事物可以改变为不具有该性质的事物，不具有该性质的事物也可以改变为具 有该性质的事物。如 H2O 在常温下表现为具有液态性质的水，但当温度低于 0℃时，它不具 有液态的流动性等性质，而成为具有固态性质的冰。 集合论是描述人脑思维对客观事物的识别和分类的数学方法。客观事物是复杂的，处于 不断运动和变化之中。因此，人脑思维对客观事物的识别和分类并不是只有一个模式，而是 多种形式的。因而，描述这种识别和分类的集合论也不应是唯一的，而应是多样的。 2、可拓集合定义 在经典数学中，给定对象集 U 的一个经典子集 A，那么，U 中不属于 A 的元素就属于 A 。 但在实际问题中， A 常由两类有本质不同的元素所组成。如某车床加工的工件规格直径为 50， 若对加工后的工件进行检验，可分为合格品和不合格品，而在不合格品中，一类是直径 d≥50.1 的工件，一类为直径 d≤49.9 的工件。前者虽然不合格，但重新加工后可能变为合格品，后者 在只用车床加工的限制下不可能变为合格品，它们被称为废品，而前者则被称为可返工品。 显然，废品和可返工品是本质不同的不合格品。可拓集合正是以这类实际模型为背景发展起 来的一个概念。 设 U 为论域，K 是 U 到实域 I 的一个映射，称 A u U y K u ={(u,y) , ( )} = （5.5） 为论域 U 上的一个可拓集合。y=K(u)为 A 的关联函数，K(u)为 u 关于 A 的关联度。称 A={u , ( ) 0} u U K u （5.6） 为 A 的正域。 A={u , ( ) 0} u U K u （5.7） 为 A 的负域
第三节关联函数 经典数学建立在集合论的基础上,用以描述经典集合的是特征函数,其值域为{0,1}。模 糊数学建立在模糊集合论的基础上,用以描述模糊集合的是隶属函数,隶属函数是值域为[O,1 的实数值。可拓集合是用关联函数来刻画的,关联函数的取值范围是整个实数轴。我们用代 数式子来表征可拓集合的关联函数,这使解决不相容问题的过程定量化成为可能。一般地 实际问题不同,关联函数的形式不同 模 有界区间X=的模为 X=b-al (58) 特别的,规定点x0的模为 二、距 点与点之距:设x,y为实轴上任意两点,则称 (5.10) 为x与y之距。显然, P(x, y)=p(, x) (5.11) 等式 p(x,y)=0 (5.12) 当且只当x=y时成立。 点与区间的距:点x0与有限实区间X=之距为 b P(ro, X)=r a+b1 (513) a+ b b 例:设区间X=,则有 p(2,x)=1,p(3.5,x)=-0.5,p(8,x)=3,p(3,x)=p(5,x)=0。 给定区间X=ab>,则:①点x∈H,且x≠a,b的充要条件是p(x,)0:③点x=a或x=b的充要条件是 三、正域为有限区间ab>的简单关联函数 设X=,作函数
136 第三节 关联函数 经典数学建立在集合论的基础上，用以描述经典集合的是特征函数，其值域为{0,1}。模 糊数学建立在模糊集合论的基础上，用以描述模糊集合的是隶属函数，隶属函数是值域为[0,1] 的实数值。可拓集合是用关联函数来刻画的，关联函数的取值范围是整个实数轴。我们用代 数式子来表征可拓集合的关联函数，这使解决不相容问题的过程定量化成为可能。一般地， 实际问题不同，关联函数的形式不同。 一、模 有界区间 X=的模为 X = b-a （5.8） 特别的，规定点 x0 的模为 0 x =0 （5.9） 二、距 点与点之距：设 x，y 为实轴上任意两点，则称 ( , ) x y x y = − （5.10） 为 x 与 y 之距。显然， ( , ) ( , ) x y y x = （5.11） 等式 ( , ) 0 x y = （5.12） 当且只当 x=y 时成立。 点与区间的距：点 x0 与有限实区间 X=之距为 0 0 0 0 0 0 1 2 ( , ) ( ) 2 2 2 a b a x x a b x X x b a a b x b x + − + = − − − = + − （5.13） 例：设区间 X=，则有 (2, ) 1 x = ， (3.5, ) 0.5 x = − ， (8, ) 3 x = ， (3, ) (5, ) 0 x x = = 。 给定区间 X=，则：①点 x X ，且 x a b , 的充要条件是 ( , ) 0 x X ；②点 x X ，且 x a b , 的充要条件是 ( , ) 0 x X ；③点 x=a 或 x=b 的充要条件是 ( , ) 0 x X = 。 三、正域为有限区间 a,b 的简单关联函数 1）设 X = a,b ，作函数
b K(x)=b-a 2(b-x) +b 则K(x)具有如下性质:①maxK(x)=K( 2)=1:②x∈H且x≠a,b的充要条件 是K(x>0:xg且x≠a,b的充要条件是K(x),点x∈(-∞+∞),M∈X,作函数 a x0:x∈H且x≠a,b的充要条件是K(x)b K(b)=0/1x=b 四、正域为无限区间a的简单关联函数 设X=,点x∈(-∞,+∞),M∈H,作函数 x-a x< M K(x) M (5.18) x≥M 则K(x)具有如下性质:①maxk(x)=K(M)=1;②x∈H且x≠a的充要条件是 137
137 2( ) 2 ( ) 2( ) 2 x a a b x b a K x b x a b x b a − + − = − + − （5.14） 则 K(x)具有如下性质：① max ( ) ( ) 1 x X 2 a b K x K + = = ；② x X 且 x a b , 的充要条件 是 K(x)>0； x X 且 x a b , 的充要条件是 K(x)0； x X 且 x a b , 的充要条件是 K(x)<0；点 x=a 或 x=b 的充要条件是 K(x)=0。 当 M = a 时取： = = − − − − = K a x a x a b a b x x a b a x a K x ( ) 0 /1 ( ) (5.16) 当 M = b 时取： = = − − − − = K b x b x b b a b x x b b a x a K x ( ) 0 /1 ( ) (5.17) 四、正域为无限区间 a,+ 的简单关联函数 设 X = a,+ ，点 x(−,+)， M X ，作函数 − − − = x M x M M x M M a x a K x 2 ( ) (5.18) 则 K(x)具有如下性质：① max ( ) ( ) 1 ( , ) = = − + K x K M x ；② x X 且 x a 的充要条件是
K(x)>0;x∈H且x≠a的充要条件是K(x) a K(a)=0/1 x=a 若K(x)在X=没有最大值,取: K(x=x-a 五、正域为无限区间的简单关联函数 设X=,点x∈(-,+∞),M∈H,作函数 K(x 2y-x (521) M-b 则K(x)具有如下性质:①maxK(x)=k(M)=1;②x∈H且x≠b的充要条件是 K(x)>0;x∈H且x≠b的充要条件是K(x)的简单关联函数 设X=-0,+0>,点x∈(-,+∞),M∈X,作函数 M 则K(x)具有如下性质:maxK(x)=K(M)=1:②对任何x∈(-,+∞),K(x)>0。 若函数没有最大值,则取K(x)=e或K(x)=ex 138
138 K(x)>0； x X 且 x a 的充要条件是 K(x)0； x X 且 x b 的充要条件是 K(x)0。 若函数没有最大值，则取 K(x)=ex 或 K(x)=e-x
第四节物元识别和评判方法 、对象识别的物元模型 设P是P的一个子集,PcP,对任何pcP,试判断p是否属于Po,并计算p属于 Po的程度 1)确定经典域和节域 令 P Xol po ao1, bor C,, Ro=(Po, C, Vo)= (524) 其中,c1,c2,,cn是Po的n个不同特征,而Xol X0分别是P0关于c1 cn取值的范围,即经典域。并且有 c P R=(P,C,X)= (5.26) 其中,Xp1,Xp Xp分别为P关于c1,c2,…,cn取值的范围,即P的节域。记为 Xm=(i=1,2,,m) 显然有 (528) 2)根据距的定义计算关联函数值 对要识别的对象p,把测量结果用物元Ro表示,有 Ro=(P, C, v) V2 (5.29) 139
139 第四节 物元识别和评判方法 一、对象识别的物元模型 设 P0 是 P 的一个子集， P P 0 ，对任何 p P ，试判断 p 是否属于 P0，并计算 p 属于 P0 的程度。 1）确定经典域和节域 令 0 1 01 0 1 01 01 2 2 02 02 0 0 0 n 0n n 0 0 P c P c , c c , (P , , ) = ... ... ... ... c c , n n X a b a b R C V a b = = 02 ， ， ， ， ， X ， ， ， ， X ， ， （5.24） 其中，c1，c2，…，cn 是 P0 的 n 个不同特征，而 X01，X02，…，X0n 分别是 P0 关于 c1， c2，…，cn 取值的范围，即经典域。并且有 0 0 0 i , ( 1,2,..., ) X a b i n = = i i （5.25） 令 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n pn n P c P c , c c , ( , , ) = ... ... ... ... c c , p p p p p p p pn pn X a b a b R p c X a b = = p2 ， ， ， ， ， X ， ， ， ， X ， ， （5.26） 其中，Xp1，Xp2，…，Xpn 分别为 P 关于 c1，c2，…，cn 取值的范围，即 P 的节域。记为 , ( 1,2,..., ) X a b i n pi pi pi = = （5.27） 显然有 X0i X pi （5.28） 2）根据距的定义计算关联函数值 对要识别的对象 p，把测量结果用物元 R0 表示，有 1 1 2 0 n n p c c ( , , ) ... ... c v R p c v = = 2 ， ， ， v ， ， v ， （5.29） 由
boi Ro ,≥+(530) plv, r)= (b (5.31) 计算关联函数值 v.∈ K(v)= p(v, Xor) (532) P(vi, Xpi)-p(vi, Xoi) ViE 3)确定权系数,计算隶属程度 确定各个特征的权系数A1,2,,计算 K(p)=∑K(m)∑=1 (5.33) 其中,值K(p)表示p属于Po的程度 4)判断 当K(p≥0时,p∈P。 当-1≤K(P)s0时,p∈P,pEB 当K(p)≤1时,pP。 【实例】:设P={猿人→人},P={人},则B∈P,对任何p∈P,试判断p是否属于 PO,并计算p属于Po的程度。若 {猿人→人},颅盖高指数,1「P,c,X Rp 前卤角,= (534) 额角 人},颅盖高指数,]「P Ro 前卤角, X (535) 额角, <74,90 X 试判断
140 + − + = − − − = + − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 ( , ) ( ) 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i a b a v v a b v X v b a a b v b v （5.30） + − + = − − − = + − 1 2 ( , ) ( ) 2 2 2 pi pi pi i i pi pi i pi i pi pi pi pi i pi i a b a v v a b v X v b a a b v b v （5.31） 计算关联函数值 0 0 ( , ) , ( ) ( , ) , ( , ) ( ,X ) i oi i i oi i i i oi i i i pi i oi v X v X X K v v X v X v X v − = − （5.32） 3）确定权系数，计算隶属程度 确定各个特征的权系数 , , ... 1 2 n ，计算 1 1 ( ) ( ), 1 n n i i i i i i K p K v = = = = （5.33） 其中，值 K(p)表示 p 属于 P0 的程度。 4）判断 当 K(p)≥0 时， 0 p P 。 当-1≤K(p) ≤0 时， 0 p P p P , 。 当 K(p) ≤-1 时， p P 。 【实例】：设 P={猿人→人}，P0={人}，则 P P 0 ，对任何 p P ，试判断 p 是否属于 P0，并计算 p 属于 P0 的程度。若 1 1 2 2 3 3 { } 35,59 P c 38 57 = c 56,90 c p p p p X R X X → = ， 猿人 人 ， 颅盖高指数， ， ， 前卤角， ， ， 额角， （5.34） 0 1 01 0 2 02 3 03 { } 51,59 P c 46 57 = c ,90 c X R X X = ， 人 ， 颅盖高指数， ， ， 前卤角， ， ， 额角， （5.35） 试判断
