研究生课程 数值计算理论与技术 郑继明 (理学院工程数学教研部) E-mail:Zhengim@cqupt.edu.cn 201909
201909 1 数值计算理论与技术 郑继明 (理学院 工程数学教研部) E-mail: zhengjm@cqupt.edu.cn 研究生课程
课程简介 所研究对象:求解高等数学、线性代数、工程实践中相关数学模型的数值方法 主要内容:误差理论,插值与曲线拟合,线性方程组的数值解法,非线性 方程的迭代解法,数值积分和数值微分,常微分方程初值问题的数值解法, 矩阵特征值问题的数值计算等 引例1:n阶行列式求解问题问题:忽略了可计算性 引例2:计算定积分∈d问题:定积分存在,但是求不出精确解
2 课程简介 研究对象：求解高等数学、线性代数、工程实践中相关数学模型的数值方法. 主要内容：误差理论，插值与曲线拟合，线性方程组的数值解法，非线性 方程的迭代解法，数值积分和数值微分，常微分方程初值问题的数值解法， 矩阵特征值问题的数值计算等． 引例1: n 阶行列式求解问题 引例 2：计算定积分 e dx x − 1 0 2 问题：定积分存在，但是求不出精确解. 问题：忽略了可计算性
教材 数值分析 见明朱伟刘方长杰编
3 教材
参考书 普通高等教育“十一五国家级般划教材 李庆扬 王能超 易大义 数值分析 SHU ZHI FEN XI 数值分析 上陈江 第5版 清华大学出版社 式汉理工大学出
4 参考书
课程学习要求: 常用算法编程(推荐用 MATLAB) 考勤或作业要求 课程考核
5 课程学习要求： ◼ 常用算法编程（推荐用MATLAB） ◼ 考勤或作业要求 ◼ 课程考核
第一章绪论 1.1数值分析的内容与特点 定义数值分析也称计算方法,是指将所欲求解的数学模型(数学问题 简化成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计算机上求出问题的数值解, 并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算的全过程 设计一个完整的数值算法,包含着以下环节: 实际 数学 计算 程序 上机 问题 模型 设计 调试 特点? 6
6 第一章 绪论 定义 数值分析也称计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问题） 简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解， 并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算的全过程. 设计一个完整的数值算法，包含着以下环节： 实际 问题 数学 模型 计算 方法 程序 设计 上机 调试 1.1 数值分析的内容与特点 特点？
可行的、有效的“算法” 算法不仅是单纯的数学公式,而且是指由基本运算和运算顺序的规定 所组成的整个解题方案和步骤 评价算法 ■时间复杂度 的优劣? 空间复杂度 逻辑复杂度 (1)结构简单,易于计算机实现; (2)有可靠的理论分析,理论上可 保证方法的收敛性和数值稳定性; (3)计算效率高; (4)经过数值实验检验
7 可行的、有效的“算法” 算 法不仅是单纯的数学公式，而且是指由基本运算和运算顺序的规定 所组成的整个解题方案和步骤. 评价算法 的优劣？ ◼ 时间复杂度 ◼ 空间复杂度 ◼ 逻辑复杂度 （1）结构简单，易于计算机实现； （2）有可靠的理论分析，理论上可 保证方法的收敛性和数值稳定性； （3）计算效率高； （4）经过数值实验检验．
例计算n阶行列式D,的问题 算法:按行(列)展开,D可表为n个n-1阶行列式的代数和 →一系列1(低)阶行列式的代数和 →D,的解析解 存在的问题:忽略了可计算性 (n-1)×(n+1)!+n9.7073×1020 如n=20,银河机,约3000年
8 例 计算 n阶行列式 Dn 的问题. 算 法: 按 行(列)展 开, D n 可表为 n 个 n − 1阶行列式的代数和 一系列 1 (低)阶行列式的代数和 Dn 的解析解 ？ 存在的问 题：忽略了可计算性 (n −1) (n +1)!+n 如 n = 20 ,银河机,约 3000 年 20 9 .7073 10
对算法的基本要求 (1)结构简单,易于计算机实现; (2)有可靠的理论分析,理论上 可保证方法的收敛性和数值稳定性; (3)计算效率高 (4)经过数值实验检验 例计算多项式(如P(x2) P(x)=an2x+an1x”+…+a1x+ao
9 对算法的基本要求 ◼ （1）结构简单，易于计算机实现； ◼ （2）有可靠的理论分析，理论上 可保证方法的收敛性和数值稳定性； ◼ （3）计算效率高； ◼ （4）经过数值实验检验． 例 计算多项式(如 ( ) 0 P x ) 1 0 1 1 P(x) a x a x a x a n n n = n + + + + − −
例计算多项式(如P(xn) taotao 算法1直接计算a,x'(=0,1…,m),再逐项相加 n(n+1) 次乘法和n次加法 秦九韶 算法2将多项式P(x)改写后计算 算法 P(x=((-((anx+an-Dx+an-2)x+.+a2)x+a1x+ao n次乘法和n次加法
10 算 法 1 直接计算 i i a x (i = 0,1, ,n) ，再逐项相加 2 n(n +1) 次乘法和 n 次加法 算 法 2 将多项式 P(x)改写后计算 1 2 2 1 0 P(x) = ((((an x + an− )x + an− )x ++ a )x + a )x + a n 次乘法和 n 次加法 秦九韶 算法 例 计算多项式(如 ( ) 0 P x ) 1 0 1 1 P(x) a x a x a x a n n n = n + + + + − −