第二章插值法 §21多项式插值 §22拉格朗日多项式插值 §2.3牛顿插值 §24埃尔米特插值 §25分段低次插值 §26样条插值
1 第二章 插值法 §2.1 多项式插值 §2.2 拉格朗日多项式插值 §2.3 牛顿插值 §2.5 分段低次插值 §2.4 埃尔米特插值 §2.6 样条插值
第二章插值法 2.1引言 背景函数的数值逼近是一个很广泛的领域。 (数值分析中研究历史最长的学科之一) 图像处理 图像插值是数字图像处理领域的一项重要任务, 是图像缩放、旋转、几何矫正等图像操作的基础。 当被逼近的信息 是离散数据时 本章主要介绍代数多项式插值和样条函数插值; 实际中还有三角多项式插值、有理函数的插值等。 2
2 第二章 插值法 2.1 引言 图像处理 图像插值是数字图像处理领域的一项重要任务， 是图像缩放、旋转、几何矫正等图像操作的基础。 背景 函数的数值逼近是一个很广泛的领域。 (数值分析中研究历史最长的学科之一)。 本章主要介绍代数多项式插值和样条函数插值； 实际中还有三角多项式插值、有理函数的插值等。 当被逼近的信息 是离散数据时
第二章插值法 2.1引言 、多项式插值问题的定义 设给出f(x)∈[a,b的一系列函数值表 x yI y 计算 其中a≤x<x1<…<xn≤b f(x)? 3
3 第二章 插值法 2.1 引言 一、多项式插值问题的定义 设给出 f (x)[a,b] 的一系列函数值表 x 0 x 1 x 2 x … n x y 0 y 1 y 2 y … n y 其中 a x0 x1 xn b 计算 ) ? ~ f (x
y=∫(x) y=p(r) y 求∫(x)的插值函数的 几何意义 图 定义2.1对于已知满足y;=f(x)(i=01,…,n)(21) 的函数y=∫(x),设若存在一个次数不超过n次的多项式 pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anx(其中a1为实数)满足条件 (x)=y(=0,1,…,n) (22) 则称P(x)为函数∫(x)的n次插值多项式 插值 条件
4 定义 2.1 对于已知满足 ( ) i i y = f x (i = 0,1, ,n) (2.1) 的 函 数 y = f (x) , 设 若 存 在 一 个 次 数 不 超 过 n 次 的 多 项 式 n n n p x = a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 ( ) (其中 i a 为实数) 满足条件 n i i p (x ) = y (i = 0,1, ,n) (2.2) 则称 p (x) n 为函数 f (x) 的 n 次插值多项式. 插值 条件 求 f (x) 的插值函数的 几何意义
sinx口口口 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 如函数y=sinx,若给定[0,]上5个等分点 其插值函数的图像如图
5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx的的的 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx的的的 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx的的的 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx的的的 x y 如函数y = sinx,若给定[0,]上5个等分点 其插值函数的图像如图
多项式 在区间[a,b]上,根据函数表构造一个 插值常用 次数不超过n的代数多项式pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anx 使pn(x,)=f(x)=y(=0,1,…,m) 插值多项式的插值余项或截断误差 Rn(x)=f(x)-Pn(x)(23) 定理2.1满足插值条件(22)的n次插值多项式是 存在且唯一的
6 在区间[a,b]上，根据函数表构造一个 次数不超过n的代数多项式 ( ) n n n p x = a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 ， 使 ( ) ( ) n i i i p x = f x = y (i = 0,1, ,n) 插值多项式的插值余项或截断误差 R (x) f (x) p (x) n = − n (2.3) 定理 2.1 满足插值条件（2.2）的n 次插值多项式是 存在且唯一的. 多项式 插值常用
证构造F0)=()-p,0)-28(xo,() .X 二、插值多项式的误差估计 定理2.2设∫(x)∈C[a,b],任意x∈(a,b),f(x)存在, x12…,xn为n+1个互异插值节点,Pn(x)为f(x)在[a,b上的 n次插值多项式,则对任意x∈[a,b有余项 误差 估计 R,(x)=f(x)-p,(x) (n+1)n(x),5∈(ab)(24) 其中On1(x)=(x-x)x-x1)…(x-xn)=∏(x-x,) i=0
7 定理 2.2 设 ( ) f (x) C[a,b] n ，任意 x (a,b) ， ( ) ( ) 1 f x n+ 存在， n x , x , , x 0 1 为 n +1个互异插值节点， p (x) n 为 f (x) 在[a,b]上的 n次插值多项式，则对任意 x [a,b] 有余项 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) x n f R x f x p x n n n n + + + = − = , (a,b) （2.4） 其中 = + = − − − = − n i n n i x x x x x x x x x 0 1 0 1 ( ) ( )( )( ) ( ). 误差 估计 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) t x R x F t f t p t n n n n 1 1 + + = − − 证 构造 二、插值多项式的误差估计
第二章插值法 2.2拉格朗日多项式插值 线性插值 已知 X1 线性 插值 求作一次多项式L1(x)=a+ax,使它满足条件:L1(x)=y,L(x)=n 将已知条件代入,得线性方程组 Vo =a0+aix V1=ao+a,x
8 第二章 插值法 2.2 拉格朗日多项式插值 一、线性插值 已知 x 0 x 1 x f (x) 0 y 1 y 求作一次多项式 L1 (x) = a0 + a1 x ，使它满足条件： ( ) 1 0 0 L x = y ， ( ) 1 1 1 L x = y . 线性 插值 将已知条件代入，得线性方程组 = + = + 1 0 1 1 0 0 1 0 y a a x y a a x
L1(x)-x1-孓0 (点斜式) X-x X-x (两点式) 0 X x X-x X-x 记0(x) 0 线性 可将求得的一次插值多项式改写为 插值基函数 L(x=lo(x)yo +l,(x)y
9 1 0 L (x) = y ＋ ( ) 0 1 0 1 0 x x x x y y − − − （点斜式） 1 1 0 0 0 0 1 1 y x x x x y x x x x − − + − − = （两点式） 记 0 1 1 0 ( ) x x x x l x − − = ， 1 0 0 1 ( ) x x x x l x − − = 可将求得的一次插值多项式改写为 1 0 0 1 1 L (x) = l (x)y + l (x)y 线 性 插值基函数
二、抛物线插值 已知 J 求二次多项式L2(x)=a0+a1x+a2x2满足L(x)=y(=0,1,2) 解设L2(x)=l0(x)yo+h1(x)y+l2(x)y2, 其中(x)(i=0,1,2)为二次插值基函数
10 二、抛物线插值 已知 x 0 x x1 x2 f (x) 0 y 1 y 2 y 求二次多项式 ( ) 2 2 0 1 2 L x = a + a x + a x 满足 ( )i i L x = y (i = 0,1,2,). 解 设 2 0 0 1 1 2 2 L (x) = l (x)y + l (x)y + l (x)y ， 其中 l (x) i （i = 0,1,2 ）为二次插值基函数