目录 第一章综合评价指标权重计算方法 第一节指标权重计算方法概述 、权重计算重要性…… 、主观赋值方法 客观赋值方法 第二节特尔斐法 2222 、主要概念.… 、基本特点 基本原则 四、实施步骤 第三节层次分析法 34455 、层次分析法概述 层次分析法计算步骤 、应用实例 第四节信息熵值法 、信息熵概述 11 熵值法计算步骤 11 、水资源评价指标熵值法计算实例 四、城镇化评价指标权重熵值法计算 第五节灰色关联度法… 19 、灰色关联度计算步骤. 、应用实例 第六节离差最大化法 第七节均方差决策法 第八节变异系数法 第九节基于专家效度权重计算方法 、基于简单关联度确定指标的相对重要程度… 、基于指标重要程度初步求解指标专家权重 基于专家效度和专家权重修正指标权重值
1 目录 第一章 综合评价指标权重计算方法 ................................................................................... 2 第一节 指标权重计算方法概述 ....................................................................................... 2 一、权重计算重要性 ....................................................................................................... 2 二、主观赋值方法........................................................................................................... 2 三、客观赋值方法........................................................................................................... 2 第二节 特尔斐法............................................................................................................... 2 一、主要概念................................................................................................................... 2 二、基本特点................................................................................................................... 3 三、基本原则................................................................................................................... 4 四、实施步骤................................................................................................................... 4 第三节 层次分析法........................................................................................................... 5 一、层次分析法概述 ....................................................................................................... 5 二、层次分析法计算步骤 ............................................................................................... 7 三、应用实例................................................................................................................... 9 第四节 信息熵值法..........................................................................................................11 一、信息熵概述..............................................................................................................11 二、熵值法计算步骤 ......................................................................................................11 三、水资源评价指标熵值法计算实例...........................................................................12 四、城镇化评价指标权重熵值法计算...........................................................................14 第五节 灰色关联度法......................................................................................................19 一、灰色关联度计算步骤 ..............................................................................................19 二、应用实例..................................................................................................................21 第六节 离差最大化法......................................................................................................26 第七节 均方差决策法......................................................................................................27 第八节 变异系数法..........................................................................................................29 第九节 基于专家效度权重计算方法...............................................................................40 一、基于简单关联度确定指标的相对重要程度 ...........................................................40 二、基于指标重要程度初步求解指标专家权重 ...........................................................41 三、基于专家效度和专家权重修正指标权重值 ...........................................................42
第一章综合评价指标权重计算方法 第一节指标权重计算方法概述 权重计算重要性 多因素的评价决策问题具有广泛的理论和实际应用背景。解决多因素决策问题的许多方 法都需要关于因素权重的信息。权重是一个相对的概念,是针对某一指标而言的。某一指标 的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。在多因素的各种评价决策问题中,确定各 因素的权重是评价决策的关键之 权重是综合评价中的一个重要的指标体系,合理地分配权重是量化评估的关键。因此, 权重的构成是否合理,直接影响到评估的科学性。确定权重的方法有很多,如专家咨询法 ( Delphi)、专家排序法、层次分析法、秩和比法(RSR)、相关系数法、主成分分析法和因 子分析法等,但各种方法均有其优缺点。 二、主观赋值方法 主观赋权方法的优点是专家可以根据实际问题,较为合理地确定各指标之间的排序,也 就是说尽管主观赋权法不能准确地确定各指标的杈系数,但在通常情况下,主观赋杈法可以 在一定程度上有效地确定各指标按重要程度给定的权系数的先后顺序。该类方法的主要缺点 是主观随意性大,选取的专家不同,得出的权系数也不同;这一点并未因采取诸如增加专家 数量、仔细选专家等措施而得到根本改善。因而,在某些个别情况下应用一种主观赋权法得 到的权重结果可能会与实际情况存在较大差异。 三、客观赋值方法 客观赋权法的研究时间比较短暂,还很不完善,它不具有主观随意性,不增加对决策分 析者的负担,决策或评价结果具有较强的数学理论依据。但这种赋权方法依赖于实际的问题 域,因而通用性和决策人的可参与性较差,没有考虑决策人的主观意向,且计算方法大都比 较繁锁 客观赋权法除了常用的最小二乘法和本征向量法以外,最大熵技术法、拉开档次法、熵 权信息法、均方差法、变异系数法、离差最大化法、简单关联函数法。郭亚军等将客观赋权 方法分为突出整体差异的赋权法和突出局部差异的赋权法。突出整体差异的赋权法主要有拉 开档次法,突出局部差异的赋权法主要有均方差法和熵值法。 第二节特尔斐法 、主要概念 专家估测法是出现较早且应用较广的一种评价方法。它是在定量和定性分析的基础上 以打分等方式做出定量评价,其结果具有数理统计特性。其最大的优点在于,能够在缺乏足
2 第一章 综合评价指标权重计算方法 第一节 指标权重计算方法概述 一、权重计算重要性 多因素的评价决策问题具有广泛的理论和实际应用背景。解决多因素决策问题的许多方 法都需要关于因素权重的信息。权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言的。某一指标 的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。在多因素的各种评价决策问题中，确定各 因素的权重是评价决策的关键之一。 权重是综合评价中的一个重要的指标体系, 合理地分配权重是量化评估的关键。因此, 权重的构成是否合理, 直接影响到评估的科学性。确定权重的方法有很多， 如专家咨询法 （Delphi）、专家排序法、层次分析法、秩和比法（RSR）、相关系数法、主成分分析法和因 子分析法等， 但各种方法均有其优缺点。 二、主观赋值方法 主观赋权方法的优点是专家可以根据实际问题，较为合理地确定各指标之间的排序，也 就是说尽管主观赋权法不能准确地确定各指标的权系数，但在通常情况下，主观赋权法可以 在一定程度上有效地确定各指标按重要程度给定的权系数的先后顺序。该类方法的主要缺点 是主观随意性大，选取的专家不同，得出的权系数也不同；这一点并未因采取诸如增加专家 数量、仔细选专家等措施而得到根本改善。因而，在某些个别情况下应用一种主观赋权法得 到的权重结果可能会与实际情况存在较大差异。 三、客观赋值方法 客观赋权法的研究时间比较短暂，还很不完善，它不具有主观随意性，不增加对决策分 析者的负担，决策或评价结果具有较强的数学理论依据。但这种赋权方法依赖于实际的问题 域，因而通用性和决策人的可参与性较差，没有考虑决策人的主观意向，且计算方法大都比 较繁锁。 客观赋权法除了常用的最小二乘法和本征向量法以外，最大熵技术法、拉开档次法、熵 权信息法、均方差法、变异系数法、离差最大化法、简单关联函数法。郭亚军等将客观赋权 方法分为突出整体差异的赋权法和突出局部差异的赋权法。突出整体差异的赋权法主要有拉 开档次法，突出局部差异的赋权法主要有均方差法和熵值法。 第二节 特尔斐法 一、主要概念 专家估测法是出现较早且应用较广的一种评价方法。它是在定量和定性分析的基础上， 以打分等方式做出定量评价，其结果具有数理统计特性。其最大的优点在于，能够在缺乏足
够统计数据和原始资料的情况下,可以做出定量估计。专家评价法的主要步骤是:首先根据 评价对象的具体情况选定评价指标,对每个指标均定出评价等级,每个等级的标准用分值表 示;然后以此为基准,由专家对评价对象进行分析和评价,确定各个指标的分值及权数,采 用加法评分法、乘法评分法或加乘评分法求出个评价对象的总分值,从而得到权重 专家估测法的准确程度,主要取决于专家的阅历经验以及知识丰富的广度和深度。要求 参加评价的专家对评价的系统具有较高的学术水平和丰富的实践经验。总的来说,专家估测 法具有使用简单、直观性强的特点,但其理论性和系统性尚有欠缺,有时难以保证评价结果 的客观性和准确性 该法又分为平均型、极端型和缓和型。主要根据专家对指标的重要性打分来定权,重要 性得分越高,权数越大。优点是集中了众多专家的意见,缺点是通过打分直接给出各指标权 重而难以保持权重的合理性 德尔菲法( Delphi method),是采用背对背的通信方式征询专家小组成员的预测意见,经 过几轮征询,使专家小组的预测意见趋于集中,最后做出符合市场未来发展趋势的预测结论。 德尔菲法又名专家意见法或专家函询调査法,是依据系统的程序,采用匿名发表意见的方式 即团队成员之间不得互相讨论,不发生横向联系,只能与调查人员发生关系,以反复的填写 问卷,以集结问卷填写人的共识及搜集各方意见,可用来构造团队沟通流程,应对复杂仼务 难题的管理技术。 德尔菲法( Delphi Method),又称专家规定程序调查法。该方法主要是由调查者拟定调查 表,按照既定程序,以函件的方式分别向专家组成员进行征询;而专家组成员又以匿名的方 式(函件)提交意见。经过几次反复征询和反馈,专家组成员的意见逐步趋于集中,最后获 得具有很高准确率的集体判断结果。 二、基本特点 德尔菲法本质上是一种反馈匿名函询法。其大致流程是:在对所要预测的问题征得专家 的意见之后,进行整理、归纳、统计,再匿名反馈给各专家,再次征求意见,再集中,再反 馈,直至得到一致的意见。其过程可简单表示如下:匿名征求专家意见-归纳、统计-匿名反 馈-归纳、统计...若干轮后停止。由此可见,德尔菲法是一种利用函询形式进行的集体匿名 思想交流过程。它有三个明显区别于其他专家预测方法的特点,即匿名性、多次反馈、小组 的统计回答 l、匿名性 因为采用这种方法时所有专家组成员不直接见面,只是通过函件交流,这样就可以消除 权威的影响。这是该方法的主要特征。匿名是德尔菲法的极其重要的特点,从事预测的专家 彼此互不知道其他有哪些人参加预测,他们是在完全匿名的情况下交流思想的。后来改进的 德尔菲法允许专家开会进行专题讨论。 2、反愤性 该方法需要经过3~4轮的信息反馈,在每次反馈中使调査组和专家组都可以进行深入硏 究,使得最终结果基本能够反映专家的基本想法和对信息的认识,所以结果较为客观、可信, 小组成员的交流是通过回答组织者的问题来实现的,一般要经过若干轮反馈才能完成预测
3 够统计数据和原始资料的情况下，可以做出定量估计。专家评价法的主要步骤是：首先根据 评价对象的具体情况选定评价指标，对每个指标均定出评价等级，每个等级的标准用分值表 示；然后以此为基准，由专家对评价对象进行分析和评价，确定各个指标的分值及权数，采 用加法评分法、乘法评分法或加乘评分法求出个评价对象的总分值，从而得到权重。 专家估测法的准确程度，主要取决于专家的阅历经验以及知识丰富的广度和深度。要求 参加评价的专家对评价的系统具有较高的学术水平和丰富的实践经验。总的来说，专家估测 法具有使用简单、直观性强的特点，但其理论性和系统性尚有欠缺，有时难以保证评价结果 的客观性和准确性。 该法又分为平均型、极端型和缓和型。主要根据专家对指标的重要性打分来定权，重要 性得分越高，权数越大。优点是集中了众多专家的意见，缺点是通过打分直接给出各指标权 重而难以保持权重的合理性。 德尔菲法（Delphi method），是采用背对背的通信方式征询专家小组成员的预测意见，经 过几轮征询，使专家小组的预测意见趋于集中，最后做出符合市场未来发展趋势的预测结论。 德尔菲法又名专家意见法或专家函询调查法，是依据系统的程序，采用匿名发表意见的方式， 即团队成员之间不得互相讨论，不发生横向联系，只能与调查人员发生关系，以反复的填写 问卷，以集结问卷填写人的共识及搜集各方意见，可用来构造团队沟通流程，应对复杂任务 难题的管理技术。 德尔菲法( Delphi Method)，又称专家规定程序调查法。该方法主要是由调查者拟定调查 表，按照既定程序，以函件的方式分别向专家组成员进行征询；而专家组成员又以匿名的方 式（函件）提交意见。经过几次反复征询和反馈，专家组成员的意见逐步趋于集中，最后获 得具有很高准确率的集体判断结果。 二、基本特点 德尔菲法本质上是一种反馈匿名函询法。其大致流程是：在对所要预测的问题征得专家 的意见之后，进行整理、归纳、统计，再匿名反馈给各专家，再次征求意见，再集中，再反 馈，直至得到一致的意见。其过程可简单表示如下：匿名征求专家意见-归纳、统计-匿名反 馈-归纳、统计……若干轮后停止。由此可见，德尔菲法是一种利用函询形式进行的集体匿名 思想交流过程。它有三个明显区别于其他专家预测方法的特点，即匿名性、多次反馈、小组 的统计回答。 1、匿名性 因为采用这种方法时所有专家组成员不直接见面，只是通过函件交流，这样就可以消除 权威的影响。这是该方法的主要特征。匿名是德尔菲法的极其重要的特点，从事预测的专家 彼此互不知道其他有哪些人参加预测，他们是在完全匿名的情况下交流思想的。后来改进的 德尔菲法允许专家开会进行专题讨论。 2、反馈性 该方法需要经过 3～4 轮的信息反馈，在每次反馈中使调查组和专家组都可以进行深入研 究，使得最终结果基本能够反映专家的基本想法和对信息的认识，所以结果较为客观、可信。 小组成员的交流是通过回答组织者的问题来实现的，一般要经过若干轮反馈才能完成预测
3、统计性 最典型的小组预测结果是反映多数人的观点,少数派的观点至多概括地提及一下,但是 这并没有表示出小组的不同意见的状况。而统计回答却不是这样,它报告1个中位数和2个 四分点,其中一半落在2个四分点之内,一半落在2个四分点之外。这样,每种观点都包括 在这样的统计中,避免了专家会议法只反映多数人观点的缺点。 优点:可以避免群体决策的一些可能缺点,声音最大或地位最高的人没有机会控制群体 意志,因为每个人的观点都会被收集,另外,管理者可以保证在征集意见以便作出决策时, 没有忽视重要观点 三、基本原则 (1)挑选的专家应有一定的代表性、权威性; (2)在进行预测之前,首先应取得参加者的支持,确保他们能认真地进行每一次预测, 以提高预测的有效性。同时也要向组织高层说明预测的意义和作用,取得决策层和其他高级 管理人员的支持 (3)问题表设计应该措辞准确,不能引起歧义,征询的问题一次不宜太多,不要问那些 与预测目的无关的问题,列入征询的问题不应相互包含;所提的问题应是所有专家都能答复 的问题,而且应尽可能保证所有专家都能从同一角度去理解; (4)进行统计分析时,应该区别对待不同的问题,对于不同专家的权威性应给予不同权 数而不是一概而论 (5)提供给专家的信息应该尽可能的充分,以便其作出判断 (6)只要求专家作出粗略的数字估计,而不要求十分精确。 (7)问题要集中,要有针对性,不要过分分散,以便使各个事件构成一个有机整体,问 题要按等级排队,先简单后复杂;先综合后局部。这样易引起专家回答问题的兴趣。 (8)调査单位或领导小组意见不应强加于调查意见之中,要防止出现诱导现象,避免专 家意见向领导小组靠拢,以至得出专家迎合领导小组观点的预测结果 (9)避免组合事件。如果一个事件包括专家同意的和专家不同意的两个方面,专家将难 以做出回答 四、实施步骤 德尔菲法的具体实施步骤如下: (1)确定调查题目,拟定调査提纲,准备向专家提供的资料(包括预测目的、期限、调 查表以及填写方法等) (2)组成专家小组。按照课题所需要的知识范围,确定专家。专家人数的多少,可根据 预测课题的大小和涉及面的宽窄而定,一般不超过20人 (3)向所有专家提出所要预测的问题及有关要求,并附上有关这个问题的所有背景材料 同时请专家提出还需要什么材料。然后,由专家做书面答复 (4)各个专家根据他们所收到的材料,提出自己的预测意见,并说明自己是怎样利用这 些材料并提出预测值的。 (5)将各位专家第一次判断意见汇总,列成图表,进行对比,再分发给各位专家,让专 家比较自己同他人的不同意见,修改自己的意见和判断。也可以把各位专家的意见加以整理
4 3、统计性 最典型的小组预测结果是反映多数人的观点，少数派的观点至多概括地提及一下，但是 这并没有表示出小组的不同意见的状况。而统计回答却不是这样，它报告 1 个中位数和 2 个 四分点，其中一半落在 2 个四分点之内，一半落在 2 个四分点之外。这样，每种观点都包括 在这样的统计中，避免了专家会议法只反映多数人观点的缺点。 优点：可以避免群体决策的一些可能缺点，声音最大或地位最高的人没有机会控制群体 意志，因为每个人的观点都会被收集，另外，管理者可以保证在征集意见以便作出决策时， 没有忽视重要观点。 三、基本原则 （1）挑选的专家应有一定的代表性、权威性； （2）在进行预测之前，首先应取得参加者的支持，确保他们能认真地进行每一次预测， 以提高预测的有效性。同时也要向组织高层说明预测的意义和作用，取得决策层和其他高级 管理人员的支持； （3）问题表设计应该措辞准确，不能引起歧义，征询的问题一次不宜太多，不要问那些 与预测目的无关的问题，列入征询的问题不应相互包含；所提的问题应是所有专家都能答复 的问题，而且应尽可能保证所有专家都能从同一角度去理解； （4）进行统计分析时，应该区别对待不同的问题，对于不同专家的权威性应给予不同权 数而不是一概而论； （5）提供给专家的信息应该尽可能的充分，以便其作出判断； （6）只要求专家作出粗略的数字估计，而不要求十分精确。 （7）问题要集中，要有针对性，不要过分分散，以便使各个事件构成一个有机整体，问 题要按等级排队，先简单后复杂；先综合后局部。这样易引起专家回答问题的兴趣。 （8）调查单位或领导小组意见不应强加于调查意见之中，要防止出现诱导现象，避免专 家意见向领导小组靠拢，以至得出专家迎合领导小组观点的预测结果。 （9）避免组合事件。如果一个事件包括专家同意的和专家不同意的两个方面，专家将难 以做出回答。 四、实施步骤 德尔菲法的具体实施步骤如下： （1）确定调查题目，拟定调查提纲，准备向专家提供的资料（包括预测目的、期限、调 查表以及填写方法等）。 （2）组成专家小组。按照课题所需要的知识范围，确定专家。专家人数的多少，可根据 预测课题的大小和涉及面的宽窄而定，一般不超过 20 人。 （3）向所有专家提出所要预测的问题及有关要求，并附上有关这个问题的所有背景材料， 同时请专家提出还需要什么材料。然后，由专家做书面答复。 （4）各个专家根据他们所收到的材料，提出自己的预测意见，并说明自己是怎样利用这 些材料并提出预测值的。 （5）将各位专家第一次判断意见汇总，列成图表，进行对比，再分发给各位专家，让专 家比较自己同他人的不同意见，修改自己的意见和判断。也可以把各位专家的意见加以整理
或请身份更高的其他专家加以评论,然后把这些意见再分送给各位专家,以便他们参考后修 改自己的意见 (6)将所有专家的修改意见收集起来,汇总,再次分发给各位专家,以便做第二次修改 逐轮收集意见并为专家反馈信息是德尔菲法的主要环节。收集意见和信息反馈一般要经过三、 四轮。在向专家进行反馈的时候,只给出各种意见,但并不说明发表各种意见的专家的具体 姓名。这一过程重复进行,直到每一个专家不再改变自己的意见为止。 (7)对专家的意见进行综合处理 1)能充分发挥各位专家的作用,集思广益,准确性高:2)能把各位专家意见的分歧点 表达出来,取各家之长,避各家之短。同时,德尔菲法又能避免专家会议法的缺点:①权威 人士的意见影响他人的意见:②有些专家碍于情面,不愿意发表与其他人不同的意见;③出 于自尊心而不愿意修改自己原来不全面的意见 德尔菲法的主要缺点是过程比较复杂,花费时间较长。 需要我们注意四点: (1)并不是所有被预测的事件都要经过五步。可能有的事件在第三步就达到统一,而不 必在第四步中出现。 (2)在第五步结束后,专家对各事件的预测也不一定都达到统一。不统一也可以用中位 数和上下四分点来作结论。事实上,总会有许多事件的预测结果都是不统一的。 (3)必须通过匿名和函询的方式。 (4)要做好意见甄别和判断工作。 【课后训练】自行设计某评价方案,选择5名专家(同学)对指标进行调查,得到各指 标权重,提交所有过程数据与结果 第三节层次分析法 、层次分析法概述 l、层次分析法概念 层次分析法( Analytic Hierarchy Process,AHP)是将与决策总是有关的元素分解成目标、 准则、方案等层次,在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家 匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初,在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福 利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的 种层次权重决策分析方法 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序 分解为不同的层次结构,然后得用求解判断矩阵特征向量的办法,求得每一层次的各元素对 上一层次某元素的优先权重,最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重 此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度,它表明各备择方 案在某一特点的评价准则或子目标,标下优越程度的相对量度,以及各子目标对上一层目标 而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统,而且 目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵,求岀其最大特征值。及其所对
5 或请身份更高的其他专家加以评论，然后把这些意见再分送给各位专家，以便他们参考后修 改自己的意见。 （6）将所有专家的修改意见收集起来，汇总，再次分发给各位专家，以便做第二次修改。 逐轮收集意见并为专家反馈信息是德尔菲法的主要环节。收集意见和信息反馈一般要经过三、 四轮。在向专家进行反馈的时候，只给出各种意见，但并不说明发表各种意见的专家的具体 姓名。这一过程重复进行，直到每一个专家不再改变自己的意见为止。 （7）对专家的意见进行综合处理。 1）能充分发挥各位专家的作用，集思广益，准确性高；2）能把各位专家意见的分歧点 表达出来，取各家之长，避各家之短。同时，德尔菲法又能避免专家会议法的缺点：①权威 人士的意见影响他人的意见；②有些专家碍于情面，不愿意发表与其他人不同的意见；③出 于自尊心而不愿意修改自己原来不全面的意见。 德尔菲法的主要缺点是过程比较复杂，花费时间较长。 需要我们注意四点： （1）并不是所有被预测的事件都要经过五步。可能有的事件在第三步就达到统一，而不 必在第四步中出现。 （2）在第五步结束后，专家对各事件的预测也不一定都达到统一。不统一也可以用中位 数和上下四分点来作结论。事实上，总会有许多事件的预测结果都是不统一的。 （3）必须通过匿名和函询的方式。 （4）要做好意见甄别和判断工作。 【课后训练】自行设计某评价方案，选择 5 名专家（同学）对指标进行调查，得到各指 标权重，提交所有过程数据与结果。 第三节 层次分析法 一、层次分析法概述 1、层次分析法概念 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、 准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家 匹茨堡大学教授萨蒂于 20 世纪 70 年代初，在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福 利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一 种层次权重决策分析方法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序 分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对 上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重， 此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方 案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标 而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且 目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对
应的特征向量W,归一化后,即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值 2、层次分析法优点 (1)系统性的分析方法 层次分析法把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各 个因素对结果的影响,而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果 而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的,非常清晰、明确。 (2)简洁实用的决策方法 该方法既不单纯追求高深数学,又不片面地注重行为、逻辑、推理,而是把定性方法与 定量方法有机地结合起来,使复杂的系统分解,能将人们的思维过程数学化、系统化,便于 人们接受,且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题, 通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后,最后进行简单的数学运算 所得结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。 (3)所需定量数据信息较少 该方法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发,比一般的定量方法更讲求 定性的分析和判断。由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法,层次 分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑,只保留人脑对要素的印象,化为简单 的权重进行计算。这种思想能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题。 3、层次分析法缺点 (1)不能为决策提供新方案 层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者,这个作用正好说明了层次分析法只能从 原有方案中进行选取,而不能为决策者提供解决问题的新方案 (2)定量数据较少,定性成分多,不易令人信服 在如今对科学的方法的评价中,一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的 定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明 一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法,因此必然带有较多的定性色彩 这样,当一个人应用层次分析法来做决策时,其他人就会说:为什么会是这样?能不能用数 学方法来解释?如果不可以的话,你凭什么认为你的这个结果是对的?你说你在这个问题上 认识比较深,但我也认为我的认识也比较深,可我和你的意见是不一致的,以我的观点做出 来的结果也和你的不一致,这个时候该如何解决? (3)指标过多时数据统计量大,且权重难以确定。 当希望能解决较普遍的问题时,指标的选取数量很可能也就随之增加。指标的增加就意 味着要构造层次更深、数量更多、规模更庞大的判断矩阵。那么就需要对许多的指标进行两 两比较的工作。由于一般情况下对层次分析法的两两比较是用1至9来说明其相对重要性 如果有越来越多的指标,那么对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了,甚至 会对层次单排序和总排序的一致性产生影响,使一致性检验不能通过,也就是说,由于客观
6 应的特征向量 W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 2、层次分析法优点 （1）系统性的分析方法 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策， 成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各 个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果， 而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。 （2）简洁实用的决策方法 该方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与 定量方法有机地结合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于 人们接受，且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题， 通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单的数学运算。 所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。 （3）所需定量数据信息较少 该方法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发，比一般的定量方法更讲求 定性的分析和判断。由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法，层次 分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑，只保留人脑对要素的印象，化为简单 的权重进行计算。这种思想能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题。 3、层次分析法缺点 （1）不能为决策提供新方案。 层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者，这个作用正好说明了层次分析法只能从 原有方案中进行选取，而不能为决策者提供解决问题的新方案。 （2）定量数据较少，定性成分多，不易令人信服。 在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的 定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明 一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法，因此必然带有较多的定性色彩。 这样，当一个人应用层次分析法来做决策时，其他人就会说：为什么会是这样？能不能用数 学方法来解释？如果不可以的话，你凭什么认为你的这个结果是对的？你说你在这个问题上 认识比较深，但我也认为我的认识也比较深，可我和你的意见是不一致的，以我的观点做出 来的结果也和你的不一致，这个时候该如何解决？ （3）指标过多时数据统计量大，且权重难以确定。 当希望能解决较普遍的问题时，指标的选取数量很可能也就随之增加。指标的增加就意 味着要构造层次更深、数量更多、规模更庞大的判断矩阵。那么就需要对许多的指标进行两 两比较的工作。由于一般情况下对层次分析法的两两比较是用 1 至 9 来说明其相对重要性， 如果有越来越多的指标，那么对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了，甚至 会对层次单排序和总排序的一致性产生影响，使一致性检验不能通过，也就是说，由于客观
事物的复杂性或对事物认识的片面性,通过所构造的判断矩阵求出的特征向量(权值)不 定是合理的。不能通过,就需要调整,在指标数量多的时候这是个很痛苦的过程,因为根据 人的思维定势,你觉得这个指标应该是比那个重要,那么就比较难调整过来,同时,也不容 易发现指标的相对重要性的取值里到底是哪个有问题,哪个没问题。这就可能花了很多时间 仍然是不能通过一致性检验,而更糟糕的是根本不知道哪里出现了问题 (4)特征值和特征向量的精确求法比较复杂。 在求判断矩阵的特征值和特征向量时,所用的方法和多元统计所用的方法是一样的。在 二阶、三阶的时候,还比较容易处理,但随着指标的增加,阶数也随之增加,在计算上也变 得越来越困难。在此情况下,比较常用的解决办法是采用近似计算方法,主要有和积法、幂 法和方根法。 、层次分析法计算步骤 l、判断矩阵构造 判断矩阵表示针对上一层次中的某一元素而言,评定本层次中各有关元素相对重要性的 状况,其形式参见表2.1。其中b表示对于Ak而言,元素B1对B相对重要性的判断值。b 般取1,3,5,7,9等5个等级标度;2,4,6,8表示相邻判断的中值,当5个等级不够 用时可使用这几个数,具体含义见表2.2所示 表21判断矩阵表 表22指标重要性判断标度 表示两个因素相比,具有同样重要性 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素极端重要 2、4、6、8为上述相邻判断的中值 2、层次单排序 层次单排序的目的是对于上层次中的某元素而言,确定本层次与之有联系的各元素重要 性次序的权重值。其任务可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题。对于判断矩阵B, 计算满足 BW=max We (2.1) 的特征根和特征向量。式中,max为B的最大特征根;W为对应于λm的正规化特征向量
7 事物的复杂性或对事物认识的片面性，通过所构造的判断矩阵求出的特征向量（权值）不一 定是合理的。不能通过，就需要调整，在指标数量多的时候这是个很痛苦的过程，因为根据 人的思维定势，你觉得这个指标应该是比那个重要，那么就比较难调整过来，同时，也不容 易发现指标的相对重要性的取值里到底是哪个有问题，哪个没问题。这就可能花了很多时间， 仍然是不能通过一致性检验，而更糟糕的是根本不知道哪里出现了问题。 （4）特征值和特征向量的精确求法比较复杂。 在求判断矩阵的特征值和特征向量时，所用的方法和多元统计所用的方法是一样的。在 二阶、三阶的时候，还比较容易处理，但随着指标的增加，阶数也随之增加，在计算上也变 得越来越困难。在此情况下，比较常用的解决办法是采用近似计算方法，主要有和积法、幂 法和方根法。 二、层次分析法计算步骤 1、判断矩阵构造 判断矩阵表示针对上一层次中的某一元素而言，评定本层次中各有关元素相对重要性的 状况，其形式参见表 2.1。其中 bij 表示对于 Ak 而言，元素 Bi 对 Bj 相对重要性的判断值。bij 一般取 1，3，5，7，9 等 5 个等级标度; 2，4，6，8 表示相邻判断的中值，当 5 个等级不够 用时可使用这几个数，具体含义见表 2.2 所示。 表 2.1 判断矩阵表 Ak B1 B2 … BN B1 b11 b12 … b1n B2 b21 b22 … b2n … … … … … BN bn1 bn2 … bnn 表 2.2 指标重要性判断标度 标度 含义 1 表示两个因素相比，具有同样重要性 3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 2、4、6、8 为上述相邻判断的中值 2、层次单排序 层次单排序的目的是对于上层次中的某元素而言，确定本层次与之有联系的各元素重要 性次序的权重值。其任务可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题。对于判断矩阵 B， 计算满足 BW = maxWi （2.1） 的特征根和特征向量。式中， max 为 B 的最大特征根；W 为对应于 max 的正规化特征向量；
W的分量W即为对应元素单排序的权重值。目前主要采用方根法或和积法两种近似算法求 解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量 (1)方根法 ①将矩阵A中每行元素连乘并开m次方,得到向量W=(n,n2,,vn),其中: (22) ②对W作归一化处理,得到权重向量W=(w,w2,Wm),其中 ③对矩阵A中每列元素求和,得到向量S=(s,s2,…!Sm),其中 ④计算的值。 B∥ W x,‖W, Bw W (2)和积法 ①将矩阵A的元素按列作归一化处理,得矩阵Q=(q加mxm。其中 ②将Q的元素按行相加,得向量a=(ax1a2y,an)。其中 ③对向量a作归一化处理,得权重向量W=(w1,w2,wm),其中 a12∝k (29) ④求出最大特征值。 (B)
8 W 的分量 Wi 即为对应元素单排序的权重值。目前主要采用方根法或和积法两种近似算法求 解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。 （1）方根法 ①将矩阵 A 中每行元素连乘并开 m 次方，得到向量 T W w w wm ( , ,..., ) * * 2 * 1 * = ，其中： m m j wi aij = = 1 * （2.2） ②对 W*作归一化处理，得到权重向量 W=(w1,w2, …wm) T，其中 = = m i wi wi wi 1 * * / （2.3） ③对矩阵 A 中每列元素求和，得到向量 S=(s1,s2, …sm)，其中 sj== m i aij 1 （2.4） ④计算 max 的值。 s wi SW m i = i = =1 max = = m i i i w BW m 1 1 ( ) （2.5） = n n nn n n n W W W x x x x x x x x x BW 2 1 1 2 12 22 2 11 21 1 （2.6） （2）和积法 ①将矩阵 A 的元素按列作归一化处理，得矩阵 Q=(qij)m×m。其中 = = m k qij aij akj 1 / （2.7） ②将 Q 的元素按行相加，得向量 T m ( , ,..., ) = 1 2 。其中 = = m j i qij 1 （2.8） ③对向量 作归一化处理，得权重向量 W=(w1,w2, …wm) T，其中 = = m k wi i k 1 / （2.9） ④求出最大特征值。 = = m i i i w BW m 1 max 1 ( ) （2.10）
为检验判断矩阵的一致性,需要计算它的一致性指标CI 式中,当Cl=0时,判断矩阵具有完全一致性;CⅠ值愈大则判断矩阵的一致性就愈差。为检 验判断矩阵是否具有令人满意的一致性,需要将CI与平均随机一致性指标R(表3)进行比较, 当判断矩阵的随机一致性比例 Cl <0.10 (2.12) 时,可认为判断矩阵具有令人满意的一致性:否则就需要调整判断矩阵直到满意为止 表23平均随机一致性指标 阶数 789101112131415 RI000.580.891.121.261.361411.461.491.521.541.561.581.59 3、层次总排序 利用同一层次中所有层次单排序的结果计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要 性权重值,层次总排序需要从上到下逐层顺序进行 4、一致性检验 为评价层次总排序计算结果的一致性,类似于层次单排序也需要进行一致性检验,分别 计算下列指标 C=∑aCl (2.13) R=∑aRb (2.14) C CR (2.15) R 式中,C/为层次总排序的一致性指标;Cl为与a对应的B层次中判断矩阵的一致性指 标;R为层次总排序的随机一致性指标:为与a对应的B层次中判断矩阵的随机一致性 指标:CR为层次总排序的随机一致性比例。当CR<0.10时认为层次总排序的计算结果具有 令人满意的一致性,否则就需要对本层次的各判断矩阵进行调整,直至层次总排序的一致性 检验达到要求为止。 三、应用实例 根据指标重要性判断标度表中的判断方法,某公路边坡安全评价中岩土性质因素4个指 标判断矩阵的构造如表24所示。 表24某公路边坡岩土性质指标判断矩阵 X41 l/7 17 1/5
9 为检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标 CI 1 max − − = n n CI （2.11） 式中，当 CI＝0 时，判断矩阵具有完全一致性；CI 值愈大则判断矩阵的一致性就愈差。为检 验判断矩阵是否具有令人满意的一致性，需要将 CI 与平均随机一致性指标 RI(表 3)进行比较， 当判断矩阵的随机一致性比例 = 0.10 RI CI CR （2.12） 时，可认为判断矩阵具有令人满意的一致性；否则就需要调整判断矩阵直到满意为止。 表 2. 3 平均随机一致性指标 阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 3、层次总排序 利用同一层次中所有层次单排序的结果计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要 性权重值，层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。 4、一致性检验 为评价层次总排序计算结果的一致性，类似于层次单排序也需要进行一致性检验，分别 计算下列指标 = = m CI ajCIj j 1 （2.13） = = m j RI ajRIj 1 （2.14） RI CI CR = （2.15） 式中，CI 为层次总排序的一致性指标；CIj 为与 aj 对应的 B 层次中判断矩阵的一致性指 标；RI 为层次总排序的随机一致性指标；RIj 为与 aj 对应的 B 层次中判断矩阵的随机一致性 指标；CR 为层次总排序的随机一致性比例。当 CR<0.10 时认为层次总排序的计算结果具有 令人满意的一致性，否则就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，直至层次总排序的一致性 检验达到要求为止。 三、应用实例 根据指标重要性判断标度表中的判断方法，某公路边坡安全评价中岩土性质因素 4 个指 标判断矩阵的构造如表 2.4 所示。 表 2.4 某公路边坡岩土性质指标判断矩阵 x41 x42 x43 x44 x41 1 1/7 1/7 1/5
7 l/3 根据判断矩阵提供的信息利用方根法求解最大特征根和特征向量。判断矩阵每一行指标 的乘积为M,则有 1×1/7×1/7×1/5=00041 (2.16) 同理,可计算其它3个指标的判断矩阵乘积,见表25。 计算M的n次方根W。对于M1有:W=M1=0004=02528,同理可计算出其它 3个指标的4次方根,见表25 通过归一化处理确定权重W1。于是有: W=W/∑=0252802528+2.1407+21407+08633=00468(217) 其它3个指标归一化处理后的数据见表25。 由此可得各指标的权重向量为 W=(W1W2W3W)=(004680.3966039660.1600y(218) BW向量为: 1/71/71/5T0.04681「02257 71130.39661.9450 BW= (2.19) 71130.39661.3259 51/31/310.16000.5774 0.22571.94501.32590.5774 4.0628 004680.3966039660.1600 (220) 一致性检验有 A-n4.0628-4 =0.0209 (221) n 4-1 C?sCI0.0209 0.0235 RI0.89 (222) 由于CR=0.0235<0.1,经一致性检验可确定权重计算结果合理。 表25某公路边坡安全评价岩土性质因素指标权重计算一览表 指标 M (BW) xI 0.0041 0.2528 0.0468 0.1921
10 x42 7 1 1 3 x43 7 1 1 3 x44 5 1/3 1/3 1 根据判断矩阵提供的信息利用方根法求解最大特征根和特征向量。判断矩阵每一行指标 的乘积为 Mi ，则有 41 42 43 44 1 1/ 7 1/ 7 1/ 5 0.0041 4 1 1 = 4 = = = = M x x x x x j j （2.16） 同理，可计算其它 3 个指标的判断矩阵乘积，见表 2.5。 计算 Mi 的 n 次方根 Wi 。对于 M1 有： 0.0041 0.2528 4 4 W1 = M1 = = ，同理可计算出其它 3 个指标的 4 次方根，见表 2.5。 通过归一化处理确定权重 Wi。于是有： / 0.2528/(0.2528 2.1407 2.1407 0.8633) 0.0468 1 1 = 1 = + + + = = n i W W Wi （2.17） 其它 3 个指标归一化处理后的数据见表 2.5。 由此可得各指标的权重向量为： ( ) ( ) T T W = W1 W2 W 3 W4 = 0.0468 0.3966 0.3966 0.1600 （2.18） BW 向量为： = = 0.5774 1.3259 1.9450 0.2257 0.1600 0.3966 0.3966 0.0468 5 1/ 3 1/ 3 1 7 1 1 3 7 1 1 3 1 1/ 7 1/ 7 1/ 5 BW （2.19） ) 4.0628 0.1600 0.5774 0.3966 1.3259 0.3966 1.9450 0.0468 0.2257 ( 4 1 ( ) 1 4 1 1 max = = + + + = = i= n i i i W BW n （2.20） 一致性检验有 0.0209 4 1 4.0628 4 1 max = − − = − − = n n CI （2.21） 0.0235 0.89 0.0209 = = = RI CI CR （2.22） 由于 CR = 0.0235 0.1 ，经一致性检验可确定权重计算结果合理。 表 2.5 某公路边坡安全评价岩土性质因素指标权重计算一览表 指标 Mi Wi Wi BW i ( ) x41 0.0041 0.2528 0.0468 0.1921
