第6章非线性方程与方程组的数值解法 61二分法 62迭代法 6.3牛顿法 64弦割法 65非线性方程组的解法 66数值实验
6.1 二分法 6.2 迭代法 6.3 牛顿法 6.4 弦割法 第6章 非线性方程与方程组的数值解法 6.5 非线性方程组的解法 6.6 数值实验
61二分法 引例 在天体力学中,有如下开普勒(Kepe)方程/眯性 方程 x-t-asinx=0. 0<8<1 其中t一时间,x一弧度,行星运动的轨道x是t的函数 讨论单变量非线性方程f(x)=0(61) 的求根问题,这里x∈R,f(x)∈C[a,b
引例 在天体力学中，有如下开普勒（Kepler）方程 x −t − sin x = 0, 0 1 其中 t —时间， x —弧度，行星运动的轨道 x 是 t 的函数. 讨论单变量非线性方程 f (x) = 0 （6.1） 的求根问题，这里 xR ， f (x)C[a,b]. 6.1 二分法 非线性 方程
61二分法 、基本概念 非线性方程f(x)=0(6.1) 其中,∫(x)∈C[a,b,且设∫(a)f(b)<0 则在区间(a,b)内至少存在一点与,使∫(5)=0 称为函数f(x)的零点或方程的根,并称[a,b为方程的含根区间
6.1 二分法 则在区间(a,b)内至少存在一点 ，使 f ( ) = 0 . 称 为函数 f (x) 的零点或方程的根，并称[a,b]为方程的含根区间. 非线性方程 f (x) = 0 (6.1) 其中， f (x) C[a,b]，且设 f (a) f (b) 0 . 一、基本概念
单选题5分 8设置 方程x-5x-3=0有几个实根? A B D)0 提交
1 2 3 0 A B C D 提交 单选题 5分
如果∫(x)可分解为f(x)=(x-x)"g(x),其中g(x)≠0, m为正整数,则称x为f(x)的m重零点 或方程f(x)=0的m重根 对于充分可微的函数f(x), x是f(x)的m重零点的充分必要条件是 f(x)=f(x)=f"(x)=…=f(m)(x)=0,∫(m)(x)≠0
如果 f (x) 可分解为 f (x) (x x ) g(x) m = − ，其中 ( ) 0 g x ， m 为正整数，则称 x 为 f (x) 的 m 重零点 或方程 f (x) = 0 的 m 重根. 对于充分可微的函数 f (x) ， x 是 f (x) 的 m 重零点的充分必要条件是 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0 ( 1) ( ) = = = = = − f x f x f x f x f x m m
f(x)=0(6.1) 分法 不妨设方程(6.1)在[a,b内仅有一个实根 设E为预先给定的精度要求。 atb ①令x 2’计算f(x0); ②如果f(x)=0,则x0是f(x)=0的根,停止计算,输出结果5=x0; 如果f(a)f(x0)<0,令a1=a,b1=x,否则令a1=x,b1=b ③如果b-ak≤E,则输出结果%k+b2 ,停机; 2 否则,返回①,并重复①,②,③步
设 为预先给定的精度要求。 ① 令 2 0 a b x + = ，计算 ( ) 0 f x ； ② 如果 f (x0 ) = 0 ，则 0 x 是 f (x) = 0的根，停止计算，输出结果 0 = x ； 如果 f (a) f (x0 ) 0，令 1 1 0 a = a,b = x ，否则令a1 = x0 ,b1 = b ； ③ 如果 − bk ak ，则输出结果 2 ak + bk ，停机； 否则，返回①，并重复①，②，③步。 二、二分法 f (x) = 0 (6.1) 不妨设方程（6.1）在[a,b]内仅有一个实根
以上方法可得到每次缩小一半的含根区间序列: a12b1][a2b2]…[ak,b]→… 且满足(1)f(ak)f(bk)<0,即5∈[ak,bk (b-a) 2 当区间长度很小时,取其中点xk=(ak+b)/2为根的近似值 显然有 总之,由上述二分法得到一个序列{xk},由式(62)有mxk=5
以上方法可得到每次缩小一半的含根区间序列： [ , ] [ , ] a1 b1 a2 b2 ... [ak ,bk ] 且满足(1) f (ak ) f (bk ) 0 ， 即 [ , ] ak bk ； (2) ( ) 2 1 1 b a b a k k k − = − − . 当区间长度很小时，取其中点 xk = (ak + bk )/ 2 为根的近似值. 显然有 ( ) 2 1 2 b a b a x k k k k = − − − （6.2） 总之，由上述二分法得到一个序列{ }k x ，由式（6.2）有 = → k k lim x
注:①分半次数k可取为大于 In(b-a)-hn a 的最小整数 In 2 ②二分法的优点:方法简单,且对只要求函数∫(x)连续即可 例1用二分法求f(x)=x0-x-1=0在[1,2]内的一个实根 且要求精确到小数后第3位. 解由E=05×103和公式(63)如b-a)-hE In 2 可确定所需分半次数k=11 计算结果如表61
注：①分半次数k 可取为大于 ln 2 ln( b − a) − ln 的最小整数. ②二分法的优点:方法简单，且对只要求函数 f (x) 连续即可. 例 1 用二分法求 ( ) 1 0 6 f x = x − x − = 在[1,2]内的一个实根， 且要求精确到小数后第 3 位. 解 由 3 0.5 10− = 和公式（6.3） ln 2 ln( − ) − ln b a k 可确定所需分半次数k =11. 计算结果如表 6.1
表61计算结果 k k f(xu) 1.0 2.0 1.5 8.890625 1.25 564697 123456789 1.0 1.25 1.125 0.097713 1.125 1.25 1.1875 0.616653 1.125 1.1875 1.15625 0.233269 1.125 1.15625 1.140625 0.0615778 1.125 1.140625 1.132813 0.0195756 1.132813 1.140625 1.136719 0.0206190 1.132813 1.136719 1.134766 4307×10- 101.132813 1.134766 1.133789 0.00959799 1.133789 1.134766 1.134277 -0.0045915
k k a k b k x ( ) k f x 1 1.0 2.0 1.5 8.890625 2 1.0 1.5 1.25 1.564697 3 1.0 1.25 1.125 -0.097713 4 1.125 1.25 1.1875 0.616653 5 1.125 1.1875 1.15625 0.233269 6 1.125 1.15625 1.140625 0.0615778 7 1.125 1.140625 1.132813 −0.0 195756 8 1.132813 1.140625 1.136719 0.0206190 9 1.132813 1.136719 1.134766 4.307 4 10− 10 1.132813 1.134766 1.133789 −0.00959799 11 1.133789 1.134766 1.134277 −0.0045915 表 6.1 计算结果
二分法 优缺点? ①优点:方法简单,且只要求函数∫(x)连续 ②缺点:不能求复根及偶数重根 举例说明 个方程有偶数重根,但不能用二分法求出该重实根 例:方程∫(x)=(x-1)(x-2)=0在[0,3]内有重根x=1, 但不能由二分法求出
①优点:方法简单，且只要求函数 f (x) 连续. 二分法 优缺点? ②缺点:不能求复根及偶数重根. 举例说明: 一个方程有偶数重根，但不能用二分法求出该重实根. 例：方程 2 f x x x ( ) ( 1) ( 2) 0 = − − = 在[0,3]内有重根 x =1, 但不能由二分法求出