函数逼近与曲线拟合 A 函数逼近与曲线 拟合 主讲:王开荣 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 函数逼近与曲线 拟合 主讲：王开荣 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 第七章函数逼近与曲线拟合 §1逼近的概念 定义71设函数p(x)满足 (1)p(x)≥0,Vx∈(a,b) b (2)|p(x)x>0 (3)|x"p(x)x存在,n=0,1,2… 则称p(x)为区间[a,b上的权函数 定义72设f(x)g(x)∈C{a,bp(x)为[a,b上的权函数,称 (, g)= p(x)f(x)g(r)dx 为函数f(x)28(x)在b上带权函数p(x)的内积 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 22 第七章函数逼近与曲线拟合 §1 逼近的概念 定义7.1 设函数r(x)满足 (1) ( ) 0, ( , ) (2) ( ) 0 (3) ( ) 0,1, 2, b a b n a x x a b x dx x x dx n r r r ³ " Î > = ò ò 存在， L 则称r(x)为区间[a,b]上的权函数. 定义7.2 设f(x),g(x)ÎC[a, b], r(x)为[a,b]上的权函数,称 ò = b a ( f , g) r(x) f (x)g(x)dx 为函数f(x),g(x)在[a,b]上带权函数r(x)的内积. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 定义73f(x)在Ca,b上的范数(norm)定义为 /出=Jp(x)/(x)a If=0p(x)[f(x)rdx /D=maxf(x)( Chebyschev范数) 定义74若(g)=0,则称(x)g(x)在[a,b上带权p(x)正 交,记为fg 定义7.5若函数系{po(x),q1(x,…,qn(x),…,}满足 b ≠J (2,)=p(x)(x)D,(x)dhx= p>0.=j 则称o(x),q1(x),…,m(x),…是区间[a,b上带权p(x)的 正交函数系 3 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 33 定义7.3 f(x)在C[a,b]上的范数(norm)定义为 1 1 2 2 2 [ , ] ( ) ( ) ( )[ ( )] max ( ) ( ) b a b a x a b f x f x dx f x f x dx f f x Chebyschev r r ¥ Î = é ù = ê ú ë û = ò ò 范数 定义7.4 若(f,g)=0, 则称f(x),g(x)在[a,b]上带权r(x)正 交, 记为f^g. 定义7.5 若函数系{j0 (x), j1 (x), …, jm(x), … }满足 2 2 0, ( , ) ( ) ( ) ( ) 0, b i j i j a i i j x x x dx i j j j r j j j ì ¹ ï = = í ï > = î ò 则称j0 (x), j1 (x), …, jm(x), …是区间[a,b]上带权r(x)的 正交函数系. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 定义7.6设X是线性赋范空间,Φ是X的一个子集,若对 X中给定的函数/在①中存在一函数y,使 min ∈d 则称y是Φ中对f的最佳逼近函数 若-y=min-y,则称y是中中对/的最佳一致 逼近函数 若/y1=m-y2,则称y是中中对/的最佳平方 逼近函数 §2最佳平方逼近 、函数的最佳平方逼近 为计算方便,将定义76中的最佳平方逼近改为 设八(x)∈Ca,b,若存在y∈Φ=span{pQ1…,qm}使 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 44 定义7.6 设X是线性赋范空间, F是X的一个子集, 若对 X中给定的函数f, 在F中存在一函数y * , 使 min y f y f y * ÎF - = - 则称y *是F中对f 的最佳逼近函数。 若 , 则称y *是F中对f 的最佳一致 逼近函数. min y f y f y * ¥ ÎF ¥ - = - 若 , 则称y *是F中对f 的最佳平方 逼近函数. 2 m 2 in y f y f y * ÎF - = - §2 最佳平方逼近 一、函数的最佳平方逼近 为计算方便, 将定义7.6中的最佳平方逼近改为: 设f(x)ÎC[a, b], 若存在y * ÎF=span{j0 , j1 , …, jm}使 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 If-y=min lf -y2=min p(x)((x-y(x),dx 则称y是(x)在Φ中的最佳平方逼近函数 定理7,2f(x)在Φ中的最佳平方逼近存在且唯 090)(q02Q1) o,, (f,q0 (q10)(q1Q1) (f,q1) (73) (m20)(qn21)…(n2q ( (p 方程组(7,3存在唯一的一组解:a0,a1, 有 (x)=∑q(x) 余项 E(x)2=/2-∑(9C PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 55 2 2 2 2 2 min min ( )( ( ) ( )) b y y a f y f y r x f x y x dx * ÎF ÎF - = - = - ò 则称y *是f(x)在F中的最佳平方逼近函数。 定理7.2 f(x)在F中的最佳平方逼近存在且唯一. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (7.3) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) m m m m m m m m a f a f a f j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j é ùé ù é ù ê úê ú ê ú ê úê ú = ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú êë úûêë úû ê ú ë û L L M M O M M M L 方程组(7.3)存在唯一的一组解: a0 * , a1 * , …, am * . 有: 0 ( ) ( ) m j j j y x a x j * * = = å 余项 2 2 2 2 0 ( ) ( , ) m j j j E x f f a j * = = -å PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 二、最佳平方逼近多项式 取p(x)=1,fx)∈CI0,1Φ=span{1,x,x2,…,xm}则逼 近函数为多项式为 y(x)=ao+ax+a,x+.+amx 其中,)=x (, p: )=.f(x)x'dx 0 i+j+1 法方程的系数矩阵为 Hilbert矩阵 G (7.4) m+1 2m+1 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 66 二、最佳平方逼近多项式 取r(x)º1, f(x)ÎC[0, 1], F=span{1, x, x 2 , …, x m}.则逼 近函数为多项式为 2 0 1 2 ( ) m m y x = a + a x + a x + + L a x 其中 1 1 0 0 1 ( , ) , ( , ) ( ) 1 i j i i j i i x dx f f x x dx d i j j j j + = = = = + + ò ò 法方程的系数矩阵为Hilbert矩阵 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 4 2 1 1 1 1 3 4 5 3 1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 (7.4) m m m m m m m G + + + + + + + é ù ê ú = ë û L L L M M M L M L PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 以正交函数系作最佳平方逼近 当{p0(x,q1(x),…,n(x),…,}是[a,上的正交函数系 时,由于(p9)=0,b;故法方程(3)的系数矩阵是对角 型矩阵: (qpp)a=(,q),i=0,1,2,…,m(7.6) 方程组的解为 (f,) (Q,1) 最佳平方逼近函数为:y(x)=∑(x) §3正交多项式及性质 正交多项式 定义77若多项式序列g0(x),g1(x),…,gn(x),…满足 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 77 三、以正交函数系作最佳平方逼近 方程组的解为 ( , ) , 0,1, 2, , . ( , ) i i i i f a i m j j j * = = L 当{j0 (x), j1 (x), …, jm(x), … }是[a,b]上的正交函数系 时, 由于(ji , jj )=0, i¹j; 故法方程(7.3)的系数矩阵是对角 型矩阵: (ji , ji )ai=(f, ji ), i=0, 1, 2, …, m. (7.6) 最佳平方逼近函数为: 0 ( ) ( ) m i i i y x a x j * * = = å §3 正交多项式及性质 一、正交多项式 定义7.7 若多项式序列g0 (x), g1 (x), …, gn (x), …满足 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 b (g,g1)=p(x)1:(x)g(x)k= i≠J 其中gn(x)是首项系数不为0的n次多项式 则称{n(x)}是区间,b上带权函数p(x)的正交多项 式序列.并称gn(x)是[a,b上带权p(x)的n次正交多项式 定理73(Gram- Schmidt正交化方法) 对给定的区间(a,b)及权函数p(x),总存在一个多项式 序列{gn(x)},其中gn(x)是n次多项式,且 gp8)=0,i 而且还可使多项式序列满足 1)(gpg)=1,V;(2)g(x)的首项系数为正 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 88 2 2 0, ( , ) ( ) ( ) ( ) 0, b i j i j a i i j g g x g x g x dx g i j r ì ¹ ï = = í ï > = î ò 其中gn (x)是首项系数不为0的n次多项式. 则称{gn (x)}是区间[a,b]上带权函数r(x)的正交多项 式序列. 并称gn (x)是[a,b]上带权r(x)的n次正交多项式 定理7.3 (Gram-Schmidt正交化方法) 对给定的区间(a,b)及权函数r(x), 总存在一个多项式 序列{gn (x)} ,其中gn (x)是n次多项式, 且 (gi , gj )=0, i¹j 而且还可使多项式序列满足 (1) (gi , gi )=1, "i; (2) gi (x)的首项系数为正. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 具有以上性质的多项式序列唯 二、正交多项式的性质 1.线性无关性:正交多项式序列{gn(x)}的任意k个 不同多项式是线性无关的 2.零点性质:gn(x)在(a,b)内有n个互异的零点 3.三项递推关系:设gn(x)的首项系数为An,次项系数 为Bn且记rn=|gnl2,则正交多项式序列{gn(x)中次数 相邻的三个多项式gn1(x),gn(x),gn(x)具有递推关系 n+1 (x)=(anx+bn)g(x)-c n6n-1 其中an2bn,cn是与x无关的常数,且 n+1 B ) nm Am,jam-r PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 99 具有以上性质的多项式序列唯一. 二、正交多项式的性质 1. 线性无关性: 正交多项式序列{gn (x)}的任意k个 不同多项式是线性无关的. 2. 零点性质: gn (x)在(a,b)内有n个互异的零点. 3．三项递推关系: 设gn (x)的首项系数为An , 次项系数 为Bn且记rn =||gn ||2 2 , 则正交多项式序列{gn (x)}中次数 相邻的三个多项式gn-1(x), gn (x), gn+1(x)具有递推关系 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n g x a x b g x c g x + = + - - 其中an , bn , cn是与x无关的常数, 且 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 , ( ), n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A A B B a r A A r a b c A A A A a r A r + + + + - + - - - = = - = = PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 常见的正交多项式 1. Chebyschev多项式 T,(x=cos(n arccos x) {Tx)}在-1,1上关于权函数p(x) 正交 2. Legendre多项式 P(x)= 2 nl dx" {Px)在-1,1上关于权函数p(x)=1正交 3. Lagurre多项式 e (x"e) dx {L(x)}在0,+∞)上关于权函数p(x)=ex正交 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
函数逼近与曲线拟合 1010 三、常见的正交多项式 1．Chebyschev多项式 T (x) cos(narccos x) n = 2 1 ( ) 1 x x r = - {Tn (x)}在[-1,1]上关于权函数 正交. 2．Legendre多项式 n n n n n x dx d n P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 = - {Pn (x)}在[-1,1]上关于权函数r(x)º1正交. 3．Lagurre多项式 ( ) ( ) n x n n x n x e dx d L x e - = {Ln (x)}在[0, +¥)上关于权函数r (x)=e -x正交. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com