习题课(四)
习题课 (四)
内容小结 、正态分布的概率密度与性质 2、标准正态分布 3、正态分布与标准正态分布的关系 4、正态分布的数字特征 5、正态分布线性函数的分布 6、二维正态分布 7、中心极限定理
1、正态分布的概率密度与性质 3、正态分布与标准正态分布的关系 2、标准正态分布 4、正态分布的数字特征 5、正态分布线性函数的分布 6、二维正态分布 7、中心极限定理 一、内容小结
习题选讲 1、设随机变量X服从正态分布N(mo2),则随 σ的增大,P{X-1<a应 A.单调增大 B单调减少 分析:C保持不变 D增减不定 Px-川4<}=P X 2(<1}=(1)-(-1)=2() 此值不随σ的变化而变化。 解选C 习题课四
习题课四 1、设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N ，则随 的增大，PX − 应______。 A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 分析： 1 (1) ( 1) 2 (1) 1 X P X P − − = = − − = − 此值不随 的变化而变化。 解 选 C 二、习题选讲
2、设X,Y独立,X~N(,4),Y~N(2,9) 求:2X-Y的分布; 解:E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=2.1-2=0 D(2X-Y)=4D(X)+D()=4×4+9=25 则:2X-Y~N(0,25) 习题课四
习题课四 2、 设 X Y X N Y N , ~ (1, 4), ~ (2,9), 独立， 求：2X −Y 的分布； 解： E X Y E X E Y ( 2 ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 0 − = − = − = D X Y D X D Y ( 2 ) 4 ( ) ( ) 4 4 9 25 − = + = + = 则：2X −Y ~ N(0,25)
3、设二维随机变量(X,Y的联合概率密度为 1「(x2(x-4y=)(y42 f(,y)= 2(1 e TO O 则covX,Y)=(G0,E(=(41) 4、对于两个随机变量,下列描述正确的是O) A、不相关一定独立 B、独立不一定不相关 独立与不相关是等价的 D、两个正态随机变量独立与不相关是等价的 习题课四
习题课四 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 ( )( ) ( ) 2(1 ) 2 1 ( , ) 2 1 x x y y x y x y x r x y y r x y f x y e r − − − − − − + − = − 则cov( , ) ( ), ( ) ( ) X Y E X = = 3、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 4、对于两个随机变量，下列描述正确的是( ) A、不相关一定独立 B、独立不一定不相关 C、独立与不相关是等价的 D、 两个正态随机变量独立与不相关是等价的 x y r x D
5、某出租车公司有500辆的士参加保险,在一年里的士出某种事 故的概率为0.006,参加保险的的士每年交800元的保险费.若出 事故,保险公司赔偿50000元,试利用中心极限定理,计算保险 公司一年赚钱不小于200000元的概率 1第i辆车出事故 解:0第辆车不出事x=12 …,500 则PX1=1=006E(X)=0.00,D(X)=006099 500 设500车中出事故数为Y则Y=∑X,有 近似地 Y~N(0.006×500,500×0.006×0.994 P{500×800-50000X≥200000y=P{0≤X≤4 4-3 0-3 Φp(0.79)-(-1.737) √2982 2982 =0.7190+0.9591-1=0.7781 习题课四
习题课四 5、 某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的士出某种事 故的概率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费．若出 事故，保险公司赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险 公司一年赚钱不小于200000元的概率． 4 3 0 3 2.982 2.982 − − − = + − = 0.7190 0.9591 1 0.7781 设500 , 辆车中出事故数为Y 1 1, 2, ,500 0 i i X i i = = 第 辆车出事故 解：记 第 辆车不出事故 = − − (0.579 1.737 ) ( ) P{500×800-50000X ≥ 200000 }=P{0≤X≤4}
6、根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100 小时的指数分布.现随机地取16只,设它们的寿命是相互 独立的.利用中心极限定理求这16只元件的寿命的总和大 于1920小时的概率 解:设第识元件的寿命为X;,i=1,2,…,16 E(X)=100,0D(X)=100016只元件的寿命的总和为Y=∑Xk 近似地 k=1 Y~N(100×160,16×10000 1920-1600 P{1920}=1-P{Y1920}≈1-c 400 1-Φ(08)=1-0.7881=0.2119 习题课四
习题课四 6、 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100 小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互 独立的. 利用中心极限定理求这16只元件的寿命的总和大 于1920小时的概率. 16只元件的寿命的总和为 = = 16 k 1 Y Xk 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi )=100, D(Xi )=10000， P{Y>1920}=1-P{Y1920} =1-(0.8) ) 400 1920 1600 ( − 1- =1-0.7881=0.2119