延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第四章 正态分布 4.3 二维正态分布

第三节 二维正态分布

第三节 二维正态分布

若二维随机变量(X,Y)具有概率密度 f(,y) 1|(x-1) exp 2丌o 以(x-)y-2)(y-42) 2 2 00,2>0, r<1.则称(X,Y)服从参数为12,O1,O2,F 的二维正态分布

若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 则称（ X,Y）服从参数为 的二维正态分布. 其中 均为常数 , 且

例1试求二维正态随机变量的边缘概率密度 解f(x)=∫(x,)d p x-1)2-2(x+AN)+(-)2a 2兀0102 -p2t-p 2σ e 1 e 小y 2,,V1-r y2rxH,则有 2

例 1 试求二维正态随机变量的边缘概率密度. ( ) ( , ) X f x f x y dy + − = 解  ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 y μ x μ x μ r r σ σ σ e e dy πσ σ r   − − − − − −    −   − = −  2 1 2 2 1 1 , 1 y μ x μ t r r σ σ   − − = −   −   令 则有

(x- ∫(x) e 2 dt 2丌 201 2丌o, A1) e 2兀G1 0<X<Q 同理 f(y)= 0<<0 2兀02

( ) 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 1 1 2 x μ t σ X f x e e dt πσ − −  − − =  2 1 2 1 ( ) 2 1 1 2 2 x μ σ e π πσ − − =  2 1 2 1 ( ) 2 1 1 2 x μ σ e πσ − − = (−    x ) 同理 ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 2 y μ σ Y f y e πσ − − = (−    y )

例2 (x-p)-2r x-1)( f(,y)= 2(1 2 2nGG,√1-r2 E(XY) o0<x<,-00<y<0 1(x-4)2xXy-a2)+(y=2)2 J-∞2v2ve2(-2)L +oo +oo 102 coV(X, Y)=E(Xr-E(X).E(r=ro,02 p(r,r)=coVr,r) D(X) D(Y)

−    x , −    y , 例2         − + − − − − − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 2 1 2 1 1 ( , )            x y y r x r e r f x y cov(X,Y) E(XY)   + − + −         − + − − − − − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 1           x y a y r x r e r x y = E(XY) − E(X)E(Y) 1  2 = r (X,Y) ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y  = = r

即若(XY)~N(A1,H2,G2,2,r) AUX-N(H1, 02) Y-N(u,, 02) (X,)~NH1,2,72,02,r)中各参数的含义: 参数1,2分别表示随机变量及Y的数学期望 参数σ1,2分别表示随机变量及的标准差 参数表示随机变量X与Y的相关系数

中各参数的含义： 即若（ X,Y）～ N( ). 2 2 1 2 1 2 μ , , , , μ σ σ r 参数1 ,2 分别表示随机变量X及Y的数学期望 参数 1 , 2 分别表示随机变量X及Y的标准差 参数r表示随机变量X与Y的相关系数 则X ~ ( , ) 2 N 1  1 Y ~ ( , ) 2 N 2  2 （ X,Y）～ N( ) 2 2 1 2 1 2 μ , , , , μ σ σ r

服从二维正态分布的随机变量(X,Y,它们独立的充分必要 条件是X与的相关系数r=0 证因为独立必不相关,因此我们证当X与Y不相关即严=0时 必相互独立这时 2 X e 2丌0102 (x-1)2 (y-2)2 2 e 2兀 f(xfy(y) 对于正态分布,r=0与X,Y相互独立是等价的

服从二维正态分布的随机变量(X,Y), 它们独立的充分必要 条件是X与Y的相关系数r=0.                         − +        −  − = 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 exp 2 1 ( , )        x y f x y 证 因为独立必不相关, 因此我们证当X与Y不相关即r=0时 必相互独立. 这时 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 2 ( ) 1 2 1 2 1       − − − − =  x y e e f (x) f (y) = X Y 对于正态分布，r = 0与X，Y相互独立是等价的