教学内容 四则运算的连续性 定理1 若函数∫(x),g(x)在点x处连续,则f(x)±g(x),f(x)g(x) f(x) s(x)(8(x)≠0)在点x处也连续 例如,snx,cosx在(-∞,+∞内连续, 故tnx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 二、反函数与复合函数的连续性 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 例如,y=sinx在-女,上单调增加且连续, 故y= arcsin x在-1上也是单调增加且连续 同理y= arccos x在-1上单调减少且连续, y= arctan x,y= arc cot x在-∞+]上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续 定理3 若lno(x)=a,函数f()在点a连续 则有lm/o(x)]=f(a)=/lmo(x) 证:∵f()在点u=a连续, VE>0,37>0,使当-4<时恒有f(u)-f(a)<成立 又∵lm(x)=a 对于m>0.3δ>0,使当0<x-x<时, 恒有(x)-d=-d<n成立 将上两步合起来VE>0,彐>0,使当0<x-x<o6时, f()-f(a)=/p(x)-f(a)<E成立2 教 学 内 容 一、四则运算的连续性 定理 1 ( ( ) 0) . ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ), 0 0 0 在点 处也连续 若函数 在点 处连续 则 g x x g x f x f x g x x f x g x f x g x    例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续. 二、反函数与复合函数的连续性 定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续   y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[−,+]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理 3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x    → → → = = = 则有 若 函数 在点 连续 证： f (u)在点u = a连续,   0,   0, 使当 u − a 时, 恒有 f (u) − f (a)  成立. lim ( ) , 0 x a x x = → 又  0, 0, 0 , 对于    使当  x − x0  时 恒有(x) −a = u −a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 ,     使当  x − x0  时 f (u) − f (a) = f[(x)] − f (a)   成立