∴mfp(x)=f(a)=[m(x) 意义: 1极限符号可以与函数符号互换; 2变量代换(u=(x)的理论依据 例1求ln In(1+x) 解:原式=imh(1+x)x=n[im(1+x)]=ne=l 例2求lm 解:令e2-1=y,则x=h(1+y),当x→>0时,y→0 原式=lmxy=lm y→0 +y) 同理可得mha 定理4 设函数u=q(x)在点x=x连续,且o(x0)=l,而函数y=f(u)在 点u=l0连续,则复合函数y=/o(x)在点x=x0也连续 注意定理4是定理3的特殊情况 例如,Ⅱ=在(-,0)0.+∞)内连续, y=sinu在(-∞,+∞)内连续 =sn-在(-∞,0)儿(0,+∞内连续 三、初等函数的连续性 ★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 ★指数函数y=a2(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)内单调且连续 ★对数函数y=log。x(a>0,a≠1)在(O,+∞)内单调且连续; ★y=x“=a"%x→y=a",u= log x在(0,+∞)内连续, 讨论不同值(均在其定义域内连续)3 lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x  = →  [lim ( )]. 0 x x x  → = 意义： 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u =(x))的理论依据. 例 1 . ln(1 ) lim 0 x x x + → 求 解： x x x 1 0 = lim ln(1+ ) → 原式 ln[lim (1 ) ] 1 0 x x = + x → = ln e =1 例 2 . 1 lim 0 x e x x − → 求 解： e 1 y, x 令 − = 则x = ln(1+ y),当x →0时, y →0. ln(1 ) lim 0 y y y + = → 原式 y y y 1 0 ln(1 ) 1 lim + = → =1 同理可得 ln . 1 lim 0 a x a x x = − → 定理 4 , [ ( )] . ( ) , ( ) , ( ) 0 0 0 0 0 点 连续 则复合函数 在点 也连续 设函数 在点 连续 且 而函数 在 u u y f x x x u x x x x u y f u = = = = = = =    注意 定理 4 是定理 3 的特殊情况. 例如, ( , 0) (0, ) , 1 = 在 −  +  内连续 x u y = sin u 在(−, +)内连续, ( , 0) (0, ) . 1  = sin 在 −  +  内连续 x y 三、初等函数的连续性 ★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ y = a (a  0, a  1) 指数函数 x 在(−,+)内单调且连续; ★ y = log x (a  0, a  1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续; ★  y = x x a a  log =  , u y = a u log x. =  a 在(0, +)内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 )