第七章 样条逼近方法 教学目的及要求: 掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。 借助于多项式来逼近,虽然有很多优点,但由于多项式乃幂级数的特例,其在 点附近的性质足以决定它的整体性质。然而自然界较大范围内的许多现象,如物理或 生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。亦即在不同区域中,它们的 性状可以完全不相关。另一方面,从数学上讲,例如在多项式插值理论中,具有n个 插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式,它可能有n-3个拐点。这对于比较 平滑的函数来说就不是那么理想了 本章介绍的样条(函数)是一种分段多项式,各相邻段上的多项式之间又具有某 中连接性质。因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性,又在各段之间保持了 相对独立的局部性质。数十年来的理论和实践表明,样条是一类特别有效的逼近工具 §1.样条函数及其基本性质 设给定一组结点 ∞=x0<x1<…<xN<xN+!=∞ 又设分段函数S(x)满足条件 于每个区间x,x(=0…N)上,(x是一个次数不超过n的实 系数代数多项式; 2.S(x)于(-∞,∞)上具有一直到n-1阶的连续导数。 则称y=S(x)为n次样条函数。常把以(1.1)为结点的n次样条函数的总体记为 Sn(x1,x2…xN).x1,…,x称为样条结点。第七章 样条逼近方法 教学目的及要求： 掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。 借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一 点附近的性质足以决定它的整体性质。然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或 生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。亦即在不同区域中，它们的 性状可以完全不相关。另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有 n 个 插值点的一元插值多项式是一个 n-1 次的多项式，它可能有 n-3 个拐点。这对于比较 平滑的函数来说就不是那么理想了。 本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某 中连接性质。因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了 相对独立的局部性质。数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。 § 1. 样条函数及其基本性质 设给定一组结点 −  = x0  x1  xN  xN+1 =  （1.1） 又设分段函数 S(x)满足条件： 1． 于每个区间  , ( 0 , , ) x j x j+1 j =  N 上，S(x)是一个次数不超过 n 的实 系数代数多项式； 2． S(x)于 (− ,) 上具有一直到 n-1 阶的连续导数。 则称 y = S(x) 为 n 次样条函数。常把以（1.1）为结点的 n 次样条函数的总体记为 n N N S (x , x , x ) . x , , x 1 2  1  称为样条结点