第七章 样条逼近方法 教学目的及要求: 掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。 借助于多项式来逼近,虽然有很多优点,但由于多项式乃幂级数的特例,其在 点附近的性质足以决定它的整体性质。然而自然界较大范围内的许多现象,如物理或 生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。亦即在不同区域中,它们的 性状可以完全不相关。另一方面,从数学上讲,例如在多项式插值理论中,具有n个 插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式,它可能有n-3个拐点。这对于比较 平滑的函数来说就不是那么理想了 本章介绍的样条(函数)是一种分段多项式,各相邻段上的多项式之间又具有某 中连接性质。因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性,又在各段之间保持了 相对独立的局部性质。数十年来的理论和实践表明,样条是一类特别有效的逼近工具 §1.样条函数及其基本性质 设给定一组结点 ∞=x0<x1<…<xN<xN+!=∞ 又设分段函数S(x)满足条件 于每个区间x,x(=0…N)上,(x是一个次数不超过n的实 系数代数多项式; 2.S(x)于(-∞,∞)上具有一直到n-1阶的连续导数。 则称y=S(x)为n次样条函数。常把以(1.1)为结点的n次样条函数的总体记为 Sn(x1,x2…xN).x1,…,x称为样条结点
第七章 样条逼近方法 教学目的及要求： 掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。 借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一 点附近的性质足以决定它的整体性质。然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或 生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。亦即在不同区域中，它们的 性状可以完全不相关。另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有 n 个 插值点的一元插值多项式是一个 n-1 次的多项式，它可能有 n-3 个拐点。这对于比较 平滑的函数来说就不是那么理想了。 本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某 中连接性质。因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了 相对独立的局部性质。数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。 § 1. 样条函数及其基本性质 设给定一组结点 − = x0 x1 xN xN+1 = （1.1） 又设分段函数 S(x)满足条件： 1． 于每个区间 , ( 0 , , ) x j x j+1 j = N 上，S(x)是一个次数不超过 n 的实 系数代数多项式； 2． S(x)于 (− ,) 上具有一直到 n-1 阶的连续导数。 则称 y = S(x) 为 n 次样条函数。常把以（1.1）为结点的 n 次样条函数的总体记为 n N N S (x , x , x ) . x , , x 1 2 1 称为样条结点
个(奇次)2n-1次样条函数y=S(x),如果起在区间(-∞,x1]与[xx,∞)上的表 达式都是n-次多项式(并不要求该两个n-1次多项式相同),则特别称之为2n-1次 的自然样条函数。以(1.1)为结点的2n-l次自然样条函数的总体记为 N2n1(x1,x2…,xx)显然 N2n1(x1,x2…xN)cS2-1(x1,x2…x).(1 下面来给出样条函数类S2n1(x1,x2…,x)中任一样条函数的一般表达式。 对于任意给定的以(1.1)为结点的n次样条函数S(x)∈S2n-(x1,x2…xN),根据 定义,其在每个子区间x,x小=0,…N)上均为一n次多项式。特别地,于子区间 (-∞,x]内是一n次多项式。不妨设该多项式为pn(x)∈P 今考虑S(x于[x1,x2]上的表达式。由定义,S(x)于[x,x]上的表达式仍为一个n 次多项式。若设该n次多项式为qn(x),并考虑下述n次多项式的性质: n(x=q,(x)-p,(x) 按n次样条函数的定义,Pn(x)与qn(x)于点x=x处的值以及1阶、2阶、一直到n1 阶导数值皆相等: P"(x)=(x)(i=0,…,n-1), 亦即 (x1)=0(i=0,…,n-1) 是故x=x是m(x)含(x-x1)”这个因子。由于m(x)是一n次多项式,所以存在某常数c1 使得 7(x)=c1(x-x1) (1.3) 亦即 q, (x)=P,(x)+C(x-x,)
一个（奇次）2n-1 次样条函数 y = S(x) ，如果起在区间 ( , ] [ , ) − x1 与 xN 上的表 达式都是 n-1 次多项式（并不要求该两个 n-1 次多项式相同），则特别称之为 2n-1 次 的 自 然 样 条 函 数 。 以 （ 1.1 ） 为 结 点 的 2n-1 次 自 然 样 条 函 数 的 总 体 记 为 ( , , ) . 2n 1 1 2 N N x x x − 显然 ( , , ) ( , , ) . 2n 1 1 2 N 2n 1 1 2 N N x x x S x x x − − （1.2） 下面来给出样条函数类 ( , , ) 2n 1 1 2 N S x x x − 中任一样条函数的一般表达式。 对于任意给定的以（1.1）为结点的 n 次样条函数 ( ) ( , , ) , 2n 1 1 2 N S x S x x x − 根据 定义，其在每个子区间 , ( 0, , ) x j x j+1 j = N 上均为一 n 次多项式。特别地，于子区间 ( , ] 1 − x 内是一 n 次多项式。不妨设该多项式为 n Pn p (x) 。 今考虑 S(x)于 1 2 x , x 上的表达式。由定义，S(x)于 1 2 x , x 上的表达式仍为一个 n 次多项式。若设该 n 次多项式为 q (x) n ，并考虑下述 n 次多项式的性质： (x) q (x) p (x) . = n − n 按 n 次样条函数的定义， p (x) n 与 q (x) n 于点 1 x = x 处的值以及 1 阶、2 阶、一直到 n-1 阶导数值皆相等： ( ) ( ) ( 0, , 1) , 1 ( ) 1 ( ) p x =q x i = n − i n i n 亦即 ( ) 0 ( 0, , 1) . 1 ( ) x = i = n − i 是故 1 x = x 是 (x) 含 n (x x ) − 1 这个因子。由于 (x) 是一 n 次多项式，所以存在某常数 1 c 使得 ( ) ( ) , 1 1 n x = c x − x （1.3） 亦即 ( ) ( ) ( ) . 1 1 n n n q x = p x + c x − x （1.4）
它说明Sx厅于区间区x,x]上的表达式恰为其前一区间上的表达式加上(x-x1)的某 常数倍。这样一来,S(x)于(-∞,x2]上的统一表达式应为 S(x) P 0 (0,x) 0.x≤0 (1.6) x=(x ) 则(1.5)所示的S(x)又可紧凑地表示为 S(x)=Pn(x)+c1(x-x1)"(-∞<x≤x2) 继续采用这种分析方法,可得S(x)于整个实轴上的表达式为 S(x)=P,(x)+C(x-x)( ≤x2).(1.7) 此即为下述定理所叙述的事实 定理1任一S(x)∈Sn(x1,x2,…,xN)均可唯一地表现为 S(x)=Pn(x)+2c(x-x)(00<xs (18) 其中Pn(x)∈P,c/(=1,…N)为实数 显然,由(1.8)式所给出的任一函数S(x)必然满足n次样条函数的定义,亦即 S(x)∈Sn(x1,x2,…,x)因而定理1可进一步写成 定理2为使S(x)∈Sn(x1,x2,…,xx),必须且只须存在pn(x)∈P和N个实数 C1, C2 使得(1.8)成立 S(x)=P2(x)+∑c(x-x)1(-0<x≤∞) 定理1和定理2说明函数系
它说明 S(x)于区间 1 2 x , x 上的表达式恰为其前一区间上的表达式加上 n (x x ) − 1 的某一 常数倍。这样一来，S(x)于 ( , ] 2 − x 上的统一表达式应为 + − − = ( ) ( ) , . ( ) , , ( ) 1 1 1 2 1 p x c x x x x x p x x x S x n n n （1.5） 为把（1.5）写成一个统一的表达式，引入记号 ( ) , 0 , 0. , 0 , max( 0, ) m m x x x x x x x + + + = = = （1.6） 则（1.5）所示的 S(x)又可紧凑地表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 S x p x c x x x x n = n + − + − 继续采用这种分析方法，可得 S(x)于整个实轴上的表达式为 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 S x p x c x x x x n = n + − + − （1.7） 此即为下述定理所叙述的事实。 定理 1 任一 ( ) ( , , , ) n 1 2 N S x S x x x 均可唯一地表现为 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 = = + − + − N j n n j j S x p x c x x x （1.8） 其中 p (x) P ,c ( j 1, , N) n n j = 为实数。 显然，由（1.8）式所给出的任一函数 S(x)必然满足 n 次样条函数的定义，亦即 ( ) ( , , , ) . n 1 2 N S x S x x x 因而定理 1 可进一步写成 定理 2 为使 ( ) ( , , , ) n 1 2 N S x S x x x ，必须且只须存在 n Pn p (x) 和 N 个实数 N c ,c , ,c 1 2 ，使得（1.8）成立： = = + − + − N j n n j j S x p x c x x x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 定理 1 和定理 2 说明函数系
1.x,x x.x-x (19) 构成n次样条函数类Sn(x1,x2,…,x)的一组基底 由(12)和定理2可知,任一S(x)∈N2n(x1,x2,…,xN)均可表示为 S(x)=Pn1(x)+∑c(x-x)2(-m<x≤∞) (1.10) 其中pn-1(x)∈P=1 当然,一函数S(x)只是满足(1.10)还不足以保证它一定是一个自然样条函数。 因为它在[xx,∞)上是否为一个n1次的多项式尚不能保证,为保证这点,便须要求 S(x)于[xx,∞)中的表达式 Pn(x)+∑c1(x-x)m 亦为一n-1次多项式。即要求上述求和号这一项中n次以上的各方幂项之系数为0。 但 2(F2(m 2n-1 ∑(-) 2n-1-i 要求上式中x",…,x2m的系数为0,即得 ∑cx=0(k=01 定理3为使S(x)∈N2n1(x1,x2…x),必须且只须存在pn1(x)∈P-1和满足 线性约束(1.11)的实数c1,c2…,cN,使得
n N n n x x x x x x x − + − + 1, , , , ,( ) , ,( ) 1 2 （1.9） 构成 n 次样条函数类 ( , , , ) n 1 2 N S x x x 的一组基底。 由（1.2）和定理 2 可知，任一 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x x − 均可表示为 = − = − + − + − N j n n j j S x p x c x x x 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) （1.10） 其中 ( ) . n−1 Pn−1 p x 当然，一函数 S(x)只是满足（1.10）还不足以保证它一定是一个自然样条函数。 因为它在 [ ,) N x 上是否为一个 n-1 次的多项式尚不能保证，为保证这点，便须要求 S(x)于 [ ,) N x 中的表达式 = − − + − + N j n n j j p x c x x 1 2 1 1 ( ) ( ) 亦为一 n-1 次多项式。即要求上述求和号这一项中 n 次以上的各方幂项之系数为 0。 但 . 2 1 ( 1) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 2 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0 2 1 1 = − − − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − = − N j n i j j i n i i N j n i j j i n i n i j i N j n i j n N j j j x c x i n x c x i n x x i n c c x x 要求上式中 2 1 , , n n− x x 的系数为 0，即得 0 ( 0,1, , 1) . 1 = = = − N j k c j x j k n （1.11） 定理 3 为使 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x x − ，必须且只须存在 1 1 ( ) n− Pn− p x 和满足 线性约束（1.11）的实数 N c ,c , ,c 1 2 ，使得
S(x)=P1(x)+∑c(x-x)(-0<x≤o) (1.12) 下面讨论样条函数的积分关系式。先给出 定理4设S(x)由(1.8)所给出,其中n=2k-1,且 a<x1<x,<…<xN<b 又设f(x)满足下述三性质 1.f(x)∈Ck[ab]且f(x)于每个开区间(x,xn)(=0,…N)(x=axN=b) 内连续; f-(x)S()(x)=0(r=01,…,k-2 b): 3.f(a)S2k-)(a+0)=f(b)S2k(b-0),则 x) 1)(2k-1)∑cf(x) (1.14) 证明逐次采用分部积分法,有 f(x)s(x)dx ∑(-)r-"(bs(b)-y-"(a)s"(a (1.15) +(-1)f(x)S2=)(x 按条件2,上式右端的求和项等于0。因为S2k-(x)是一个阶梯函数,所以(1.15) 右端积分可表为下面积分的和: n,I f'(x)dx=n, f(x)-f(x)] 其中n是S2(x)于(x,x1)中的值(为常数)。将(116)右端部分对I求和并重新 整理项,给出 ∑f(x) (x+0小+f(b)s2-(b-0)-f(a)S
= − = − + − + − N j n n j j S x p x c x x x 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) （1.12） 下面讨论样条函数的积分关系式。先给出 定理 4 设 S(x)由（1.8）所给出，其中 n=2k-1,且 . a x1 x2 xN b （1.13） 又设 f(x)满足下述三性质： 1． f x C a b k ( ) , −1 且 ( ) ( ) f x k 于每个开区间 ( , ) ( 0, , ) ( , ) xi xi+1 i = N x0 = a xN+1 = b 内连续； 2. ( ) ( ) 0 ( 0,1, , 2; , ) ( 1) ( ) f x S x r k x a b k r k r = = − = − − + ; 3. ( ) ( 0) ( ) ( 0) (2 1) (2 1) + = − − − f a S a f b S b k k ,则 ( ) ( ) ( 1) (2 1)! ( ) . 1 ( ) ( ) = = − − N i i i b a k k k f x S x dx k c f x （1.14） 证明 逐次采用分部积分法，有 ( 1) ( ) ( ) . ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ' (2 1) 2 0 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) − − − = − − + − − + + − = − − b a k k k r r k r k r k r k r b a k k f x S x dx f b S b f a S a f x S x dx （1.15） 按条件 2，上式右端的求和项等于 0。因为 ( ) (2 1) S x k− 是一个阶梯函数，所以（1.15） 右端积分可表为下面积分的和： ( ) ( ) ( ) , 1 1 ' + = + − i i x x i i i i f x dx f x f x （1.16） 其中 i 是 ( ) (2 1) S x k− 于 ( , ) i i+1 x x 中的值（为常数）。将（1.16）右端部分对 I 求和并重新 整理项，给出 ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( 0) . (2 1) (2 1) 1 (2 1) (2 1) − − + + − − + − − = − − f x S x S x f b S b f a S a k k N i i k i k i （1.17）
按条件3,上式后两项为0。又由(18)逐项微分可知 S2k-(x+0)-S(-)(x2-0)=(2k-1c (i=1, 综合(1.15)--(1.18),即得 (-)f(x)s)(x) ∑(x|sa(x-0 S(2k-)(x,+ =(-1)(2k-1)∑c1f(x,) 定理证毕。 推论1若在定理4的条件外,再设f(x)于x1,…,x处皆为0,则 推论2设样条结点由(1.13)给出,S(x)为由(1.10)给出的自然样条函数(n>1) 且设f(x)∈C"{ab(x)于每个区间(x,x)内连续 (=0,…N)(x0=a,xN+1=b),则 f(x)S(x)dr=(-1)"(2n-1)∑cf(x) 若还有f(x1)=0(i=0,…,N),则 fm(x)S(n(x)dx=0 证明因为S(x)∈N2n1(x1,x2…x),从而S(x)∈on1(x1,x2…,x)且 S("(x)=0,x≤x1和x≥x 对于自然样条函数插值的存在、唯一·性,有下面的定理: 定理5设1≤n≤N,则对任意给定的y1,y2…,yN,存在唯一的自然样条函数 S(x)∈N2n1(x1,x2,…,xN),使得
按条件 3，上式后两项为 0。又由（1.8）逐项微分可知 ( 1,2, , ) . ( 0) ( 0) (2 1)! (2 1) (2 1) i N S x S x k c i i k i k = + − − = − − − （1.18） 综合（1.15）---（1.18），即得 ( 1) (2 1)! ( ) . ( ) ( 0) ( 0) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 (2 1) (2 1) 1 ' (2 1) ( ) ( ) = = − − − − = − − = − − + = − N i i i k N i i k i k i b a k k b a k k k c f x f x S x S x f x S x dx f x S x dx 定理证毕。 推论 1 若在定理 4 的条件外，再设 N f (x) x , , x 于 1 处皆为 0，则 = b a k k f (x)S (x)dx 0 . ( ) ( ) 推论 2 设样条结点由（1.13）给出，S(x)为由（1.10）给出的自然样条函数（n>1）, 且 设 ( ) , , ( ) 1 ( ) f x C a b f x n− n 于每个区间 ( , ) i i+1 x x 内连续 ( 0, , ) ( , ) i = N x0 = a xN+1 = b ，则 ( ) ( ) ( 1) (2 1)! ( ) . 1 ( ) ( ) = = − − b a N i i i n n n f x S x dx n c f x 若还有 f (x ) 0 (i 0, ,N) i = = ，则 ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) = b a n n f x S x dx 证明 因为 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x x − ，从而 ( ) ( , , , ) 1 1 2 ( ) n N n S x x x x − 且 N n S x = x x 和x x 1 ( ) ( ) 0 , 对于自然样条函数插值的存在、唯一性，有下面的定理： 定理 5 设 1 n N ，则对任意给定的 N y , y , , y 1 2 ，存在唯一的自然样条函数 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x x − ，使得
证明由定理3,为证本定理,只须证明线性方程组 (x)+∑c(x1-x1)2=y,(=1…N), (k=0,…,N) 对任意给定的y,y2,…y皆有唯一解。由线性代数理论,只须证明与(1.20)相应 的齐次线性方程只有零解即可。设 S0(x)∈N2n-1( 且满足 即设S(x)相应表达式(见(112))系数满足与(1.20)相对应的齐次方程。考虑 (So)=CISs(fDr 其中[a满足(13)式。于推论2中,取f(x)=S(x)=S(x),并利用(1.21)可知 (S)=C[(对)=0 于是 0(x)≡0(a≤x≤b) 由此可知S(x)是一个次数不超过n-1的多项式。 又由(1.21),S0(x)竟然于N(≥m)个互异点处为0,是故 S0(x)=0 定理证毕。 定理5从理论上指明了自然样条函数插值的存在唯一性。这不仅有重大的理论意 义,而且在实际计算中有一定的知道意义。 下面介绍自然样条函数插值的所谓最光滑性质,它是首先由J。C。 Holladay于
S(x) y ( j 1,2, ,N) . = j = （1.19） 证明 由定理 3，为证本定理，只须证明线性方程组 0 ( 0, , ) ( ) ( ) ( 1, , ) , 1 1 2 1 1 c x k N p x c x x y j N N i k i i j N i n n j i j i = = + − = = = = − − （1.20） 对任意给定的 N y , y , , y 1 2 皆有唯一解。由线性代数理论，只须证明与（1.20）相应 的齐次线性方程只有零解即可。设 ( ) ( , , , ) 0 2n 1 1 2 N S x N x x x − 且满足 ( ) 0 ( 1, , ) , S0 x j = j = N （1.21） 即设 ( ) 0 S x 相应表达式（见（1.12））系数满足与（1.20）相对应的齐次方程。考虑 ( ) ( ) , 2 ( ) 0 = 0 b a n S S x dx 其中 a,b 满足（1.13）式。于推论 2 中，取 ( ) ( ) ( ) 0 f x = S x = S x ，并利用（1.21）可知 ( ) ( ) 0 , 2 ( ) 0 = 0 = b a n S S x dx 于是 ( ) 0 ( ) . ( ) S0 x a x b n 由此可知 ( ) 0 S x 是一个次数不超过 n-1 的多项式。 又由（1.21）， ( ) 0 S x 竟然于 N( n) 个互异点处为 0，是故 ( ) 0 . S 0 x 定理证毕。 定理 5 从理论上指明了自然样条函数插值的存在唯一性。这不仅有重大的理论意 义，而且在实际计算中有一定的知道意义。 下面介绍自然样条函数插值的所谓最光滑性质，它是首先由 J。C。Holladay 于
957年给出的 定理 设1≤n≤N,且a≤x1≤x2 ≤b.又设 S0(x)∈N2n-1(x1 x)是满足插值条件 (1.22) 的自然样条函数,则对任何满足(122)的函数f(x)∈Cb] f(,) 必有 rs(x)∫[(对 (1.23) 且等号仅当f(x)=S(x)时才成立。 证明根据自然样条函数的定义, (x)=0,x≤x1或x≥x 为证(1.23),只须证明 ∫s(x)ds(对)t 显然 rm(idr ∫s"(x)+ er s(n( om (x)-stn(x)fd 对上述右端第三个积分作分部积分,得 2(--∑∫s"m(x/(x)-s(x 按自然样条函数的定义,S(mn(x)于每个区间(x,xm)内为常数,而按插值条件, ∫(x)-S(x)又在该区间的两端x与x+处为0。所以上述积分为0,即
1957 年给出的。 定 理 6 设 1 n N ， 且 . a x1 x2 xN b 又 设 ( ) ( , , , ) 0 2n 1 1 2 N S x N x x x − 是满足插值条件 S(x ) y ( j 1, , N) j = j = （1.22） 的自然样条函数，则对任何满足（1.22）的函数 f x C a b n ( ) , ： f (x ) y ( j 1, , N) j = j = 必有 ( ) ( ) . 2 ( ) 2 ( ) b a n b a n S x f x dx （1.23） 且等号仅当 f (x) S(x) 时才成立。 证明 根据自然样条函数的定义， N n S x = x x 或x x 1 ( ) ( ) 0 , 为证（1.23），只须证明 N N x x n x x n S x dx f x dx 1 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 显然 2 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) − = + − + N N N N x x n n n x x n n x x n x x n S x f x S x dx S x dx f x S x dx f x dx 对上述右端第三个积分作分部积分，得 − = − + − − − 1 1 1 (2 1) ' ' 1 2( 1) ( ) ( ) ( ) N j x x n n S x f x S x dx j j 按自然样条函数的定义， ( ) (2 1) S x n− 于每个区间 ( , ) j j+1 x x 内为常数，而按插值条件， f (x) − S(x) 又在该区间的两端 j j+1 x 与x 处为 0。所以上述积分为 0，即
∫[o()d=∫"ps"(对)+[/(x)-S"(x (124) 从而不等式(1.23)成立。 最后,若设(1.23)中的等号成立,则(1.24)可知 从而∫(x)-S(x)∈Pn-1为一n-1次多项式。又由f(x)及S(x)所满足的插值条件,这个 n-1次多项式于N(n)个互异点处为0,于是其必恒为0,即f(x)=S(x)定理6证毕。 若于定理6中取n=2,则(1.23)成为 rs(对)∫(对 (1.25) 我们知道,一个函数当其一阶导数较小时,其二阶导数与其曲率值是很接近的 y≈=y/(1+y 而曲率小,在几何上理解为“平滑”当然是很自然的,因此常称自然样条函插值是最 光滑曲线插值。 下面给出在理论和应用中都十分有用的 Peano定理 设L表示对任意f(x)∈C[b]定义的线性算子 L()=∑rf(x)dx), (126) 其中H(x)是有界变差函数 定理7( Peano)设对一切n次多项式p(x)∈P,均有L(p)=0,则对所有 f(x)∈C[a,b],L()恒可表现为 L()=∑o)k(oMt (1.27)
( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) = + − N N N x x n n x x n x x n f x dx S x dx f x S x dx （1.24） 从而不等式（1.23）成立。 最后，若设（1.23）中的等号成立，则（1.24）可知 ( ) ( ) 0 ( ). 1 ( ) ( ) N n n f x − S x x x x 从而 1 ( ) ( ) − Pn− f x S x 为一 n-1 次多项式。又由 f (x)及S(x) 所满足的插值条件，这个 n-1 次多项式于 N( n) 个互异点处为 0，于是其必恒为 0，即 f (x) S(x) . 定理 6 证毕。 若于定理 6 中取 n=2，则（1.23）成为 ( ) ( ) . 2 2 b a b a S x f x dx ‘’ ‘’ （1.25） 我们知道，一个函数当其一阶导数较小时，其二阶导数与其曲率值是很接近的 (1 ) . 3 2 2 '' '' ' y = y + y 而曲率小，在几何上理解为“平滑”当然是很自然的，因此常称自然样条函插值是最 光滑曲线插值。 下面给出在理论和应用中都十分有用的 Peano 定理。 设 L 表示对任意 f x C a b n ( ) , 定义的线性算子 ( ) ( ) ( ) , ( ) = = n r o b a r r L f f x d x （1.26） 其中 (x) r 是有界变差函数。 定理 7（Peano） 设对一切 n 次多项式 Pn p(x) ，均有 L( p) = 0 ，则对所有 f x C a b n ( ) , +1 ， L( f ) 恒可表现为 ( ) ( ) ( ) , ( 1) = + = n r o b a n L f f t K t dt （1.27）
其中, K(1)=L(x-) Lx-)1]表示视其中(x-D为x的函数而被L作用后得到的结果 证明按带余项的 Taylor公式 f(x) fo(a(x-a)' ∫rmox-°bt,(1 因为 几Cr=0x=d=广r-0x=0 又根据L(p)=0,P(x)∈Pn,若以L作用于(1.28)等式两边,可得到 分4f()x-Dd LO=- 按定理假设条件,上述积分可以换序而成为 L()=(o0.(x-m 定理证毕。 函数K()=n4(x-0]称为泛函L的Pem0核。 推论3除定理7的假设外,若核K()于{a,b不变号,则对一切f(x)∈C"{b 均有 (n+1) L(O)= (x)(a≤5≤b) (1.29) 事实上,对(1.27)右端应用第一积分中值定理,则有 L()=f(),k(t (1.30) 特别地,若对于上式中取∫(x)=x,可知 L(x”)=(n+1)K() 将之代入(1.30)即得(1.29)
其中， ( ) , ! 1 ( ) n x L x t n K t = − + n x L x t − + ( ) 表示视其中 n x t − + ( ) 为 x 的函数而被 L 作用后得到的结果。 证明 按带余项的 Taylor 公式 ( )( ) , ! 1 ! ( )( ) ( ) ( 1) 0 ( ) + − − = + = x a n n n r r r f t x t dt r n f a x a f x （1.28） 因为 ( )( ) . ! 1 ( )( ) ! 1 ( 1) ( 1) + + + − = − b a n n x a n n f t x t dt n f t x t dt n 又根据 L( p) = 0 ， Pn p(x) ，若以 L 作用于（1.28）等式两边，可得到 ( )( ) . ! 1 ( ) ( 1) + + = − b a n n L f t x t dt n L f 按定理假设条件，上述积分可以换序而成为 ( ) ( ) . ! 1 ( ) ( 1) + + = − b a n x n f t L x t dt n L f 定理证毕。 函数 n x L x t n K t = − + ( ) ! 1 ( ) 称为泛函 L 的 Peano 核。 推论 3 除定理 7 的假设外，若核 K(t)于a ,b 不变号，则对一切 f x C a b n ( ) , +1 ， 均有 ( ) ( ) . ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) L x a b n f L f n n + = + + （1.29） 事实上，对（1.27）右端应用第一积分中值定理，则有 ( ) ( ) ( ) . ( 1) + = b a n L f f K t dt （1.30） 特别地，若对于上式中取 1 ( ) + = n f x x ，可知 = + + b a n L(x ) (n 1)! K(t)dt 1 将之代入（1.30）即得（1.29）