第五章数值积分 教学目的及要求 掌握 Newton- Cotes公式、 Romberg方法、 Euler- Maclaurin公式、 Gauss 型求积公式等数值积分公式及方法。 §1.数值积分的一般概念 本章讨论定积分的近似计算问题。从微积分学中我们知道能够利用 Newton-Leibni 公式 /(k=( 去计算的定积分是很少的。事实上,在实际问题中,我们常常无法利用初等函数 去表出原函数∫f(x例如,对于概率积分与椭圆积分 (0≤t<∞) 和 E()=1+ 0≤t≤2x) 来说,我们便遇到了上述的困难。因此不能不考虑定积分的近似计算问题。 以下,我们所讨论的求积公式绝大多数具有如下形式: px)(xx≈∑A/(xk)(1.1) k=1 其中x为求积公式的结点,A为求积系数。通常,称右端的和为求积和; 又称 E/]=px)(xk-∑4(x) 为求积误差。有时,也将求积公式写成 p(x)/(xtx=∑4(x)+E[/门
第五章 数值积分 教学目的及要求： 掌握 Newton-Cotes 公式、Romberg 方法、Euler-Maclaurin 公式、Gauss 型求积公式等数值积分公式及方法。 §1．数值积分的一般概念 本章讨论定积分的近似计算问题。从微积分学中我们知道能够利用 Newton-Leibni 公式 ( ) ( ) x b x a b a f x dx f x dx = = = 去计算的定积分是很少的。事实上，在实际问题中，我们常常无法利用初等函数 去表出原函数 ( ) f x dx.例如，对于概率积分与椭圆积分 和 ( ) ( ) = + t E t k xdx t 0 2 2 1 sin 0 2 来说，我们便遇到了上述的困难。因此不能不考虑定积分的近似计算问题。 以下，我们所讨论的求积公式绝大多数具有如下形式： （1.1） 其中 k x 为求积公式的结点， Ak 为求积系数。通常，称右端的和为求积和； 又称 为求积误差。有时，也将求积公式写成 ( ) (0 ), 2 0 2 = − P t e dx t t x ( ) ( ) ( ) = b a n k k k x f x dx A f x 1 , ( ) ( ) ( ) = = − b a n k k k E f x f x dx A f x 1 ( ) ( ) ( ) = = + b a n k k k x f x dx A f x E f 1
在(1.1)式中,ab是实直线上的有限或无限的空间;函数p(x)是已知的 固定的函数且常常是p(x)=1,以后我们将称它为权函数。此外,我们还假定积 分 ∫,p)/(广p(rt(m=012) 总是存在的,并且函数(x)在点x12…x处是有定义的。 一般说来,求积公式(1.1)中的结点x和系数A可以按所希望的方式随意 选取(除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的,那时只好限制从离散点集中 去选取x了)。自然,我们总是希望通过x和A的选取使得在某种意义下求积 误差尽可能地小 概括来说,数值积分问题可分解为下述的三个主要问题 (1)求积公式的具体构造问题; (2)精确性程度的衡量标准问题; (3)余项估计问题(亦即,误差估计问题) 为了解决第一个问题,我们必须考虑结点x1,x2…xn和求积系数A,A2…,An的 决定(或选择)问题。为了合理的解决第二个问题,我们将引进代数精度的概念 至于第三个问题,则主要是借助于内插多项式的余项估计公式来解决。 由第一章的 Weierstrass多项式逼近定理可知,对于闭区间上的连续函数,都 可以用多项式去一致地逼近它。换句话说,任一连续函数都可以用多项式作为它 的最简单的近似函数,一般说来,多项式的次数取得越高,用它们来近似连续函 数的程度也就越高。这自然使我们想到利用多项式的次数去规定求积公式的精确 性程度(所谓代数精度)。 代数精度的概念是这样:就形如(1.1)式的求积公式来说,假如对 f(x)=1x,x2…,x"(或次数≤m的多项式),公式衡精确地成立(亦即E小]=0), 而当f(x)=xm时公式不精确成立,则称公式(11)的代数精度为m。容易看 出,m越大,则就一般的连续函数∫(x)而言,公式(11)的右端数值与左端积 分值的接近程度也就越高。事实上,当m越大时,用次数不高于m的多项式(例 如p(x)去近似x亦就越好,即maxf(x)-p(x)=S叫|便越小,因而公式(1)
在（1.1）式中，[a,b]是实直线上的有限或无限的空间；函数 (x) 是已知的 固定的函数且常常是 (x) 1 ，以后我们将称它为权函数。此外，我们还假定积 分 ( ) ( ) , ( ) ( = 0,1,2,) x f x dx x x dx m b a b a m 总是存在的，并且函数 f (x) 在点 n x , , x 1 处是有定义的。 一般说来，求积公式（1.1）中的结点 k x 和系数 Ak 可以按所希望的方式随意 选取（除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的，那时只好限制从离散点集中 去选取 k x 了）。自然，我们总是希望通过 k x 和 Ak 的选取使得在某种意义下求积 误差尽可能地小。 概括来说，数值积分问题可分解为下述的三个主要问题： （1） 求积公式的具体构造问题； （2） 精确性程度的衡量标准问题； （3） 余项估计问题（亦即，误差估计问题）。 为了解决第一个问题，我们必须考虑结点 n x , x , x 1 2 和求积系数 A A An , , , 1 2 的 决定（或选择）问题。为了合理的解决第二个问题，我们将引进代数精度的概念。 至于第三个问题，则主要是借助于内插多项式的余项估计公式来解决。 由第一章的 Weierstrass 多项式逼近定理可知，对于闭区间上的连续函数，都 可以用多项式去一致地逼近它。换句话说，任一连续函数都可以用多项式作为它 的最简单的近似函数，一般说来，多项式的次数取得越高，用它们来近似连续函 数的程度也就越高。这自然使我们想到利用多项式的次数去规定求积公式的精确 性程度（所谓代数精度）。 代数精度的概念是这样：就形如（1.1）式的求积公式来说，假如对 f (x) x x x (或次数 m的多项式) m =1, , , , 2 ，公式衡精确地成立（亦即 Ef = 0 ）， 而当 ( ) +1 = m f x x 时公式不精确成立，则称公式（1.1）的代数精度为 m。容易看 出，m 越大，则就一般的连续函数 f (x) 而言，公式（1.1）的右端数值与左端积 分值的接近程度也就越高。事实上，当 m 越大时，用次数不高于 m 的多项式（例 如 p(x)）去近似 f(x)亦就越好，即 ( ) ( ) m a x b f x − p x = max 便越小，因而公式（1.1）
的误差亦就越小。理由是, p(x)(xx-∑4f( ≤Jp(x)6n+∑A415n 由此可见,引进代数精度的概念作为衡量求积公式的精确性是十分自然的 下面的定理说明了具有代数精度的求积公式的存在性。 定理1对于任意给定的n个不同的结点x1…,xn,有常数A1,…An使 得当/(x)是次数≤n-1的多项式时求积公式(1.)精确成立,亦即 ∫p()/(xk=∑4,/(x) 证明设已给定点x1…,xn,并且pn(x)是函数f(x)在这些点上的 Lagrange 差值多项式,亦即 r(x)=pn(x)+EL; xI 此处 Pn(x)=∑(x)(x l(x)=o(x)(r-xx o'(x ),(x)=(x-x).(x-x, 于是 广)(k=(n(+C( (1.2) 定义 Ak=∫(xkk=1…,n 则(1.2)式变为 ∫p)/(k=∑4()+[(x)L 但是,若/(x)=qn(x)是次数≤n-1的多项式,则∫(x)=pn(x)。这意味着 E/x]=0故 ∫p(x[;x女=0 证毕 注意,上述定理并没有要求x一定要属于区间ab另外,定理只是断言了
的误差亦就越小。理由是， ( ) ( ) ( ) = = − b a n k m k k x f x dx A f x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = − − − b a n k k k k x f x p x dx A f x p x 1 ( ) = + b a n k m dx Ak m x 1 . 由此可见，引进代数精度的概念作为衡量求积公式的精确性是十分自然的。 下面的定理说明了具有代数精度的求积公式的存在性。 定理 1 对于任意给定的 n 个不同的结点 n x , , x 1 ，有常数 A An , , 1 使 得当 f (x) 是次数 n −1 的多项式时求积公式（1.1）精确成立，亦即 ( ) ( ) ( ). 1 = = n k k k b a x f x dx A f x 证明 设已给定点 n x , , x 1 ，并且 p (x) n−1 是函数 f(x)在这些点上的 Lagrange 差值多项式，亦即 ( ) ( ) ; , 1 f x p x E f x = n− + 此处 ( ) ( ) ( ) = − = n k n k k p x l x f x 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). k k k 1 n l x = x x − x x x = x − x x − x 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + b a b a n b a x f x dx x p x dx x E f ; x dx. 1 （1.2） 定义 ( ) ( ) = = b a AK x l k x dx(k 1,,n), 则（1.2）式变为 ( ) ( ) ( ) ( ) = = + n k b a k k b a x f x dx A f x x E f x dx 1 ; . 但是，若 f (x) q (x) = n−1 是次数 n −1 的多项式，则 f (x) p (x) n−1 。这意味着 Ef ; x 0, 故 ( ) = b a x E f ; x dx 0. 证毕。 注意，上述定理并没有要求 k x 一定要属于区间[a,b].另外，定理只是断言了
当A4由(1.3)式决定时,公式(1.1)对于一切次数≤n-1的多项式是精确的。 换言之,定理1说明了公式(1.1)的代数精度d≥n-1 以后,我们称求积系数由(1.3)式决定的求积公式为插值型求积公式。由 于对次数不超过n次的任意多项式f(x)说来,E;=0所以n个结点的插值 型求积公式的代数精度d≥n-1.反之,容易证明,代数精度d≥n-1的n个结点 的求积公式一定是插值型求积公式。事实上,因 Lagrange插值基本多项式 l(x)∈P1,而因求积公式的代数精度d≥n-1,因此该求积公式对l4(x) 必精确成立,即((x)=∑41()=41,k=1…n特别,当x(k=1…,m 属于[ab]时,我们称公式 )/(x)x≈∑Af(x) (1.5) 为内插型求积公式,其中求积系数由下式确定 olx (x-xx o'(x dx(k=1,…,n) (16) §2. Newton- Cotes公式 设[ab]是 有限区间 p(x)=1令 h=(b-a)/n,x0=ax1=a+h…xn=a+m=b依定理1,有常数A使得求积公 式 f/(a=∑4/(x) 对于一切次数≤n的多项式是精确的。事实上,当A由(16)式决定时(注意, 此时 o(x)=(x-x0x-x1)(x-xn)k=0.1…n)上述求积公式的代数精度d≥n,以 后,我们称N个结点的内插型求积公式为N点的 Newton- Cotes公式。通常,称 一个结点的 Newton- Cotes公式 f(xk=(b-a)/(a)+E小
当 Ak 由（1.3）式决定时，公式（1.1）对于一切次数 n −1 的多项式是精确的。 换言之，定理 1 说明了公式（1.1）的代数精度 d n −1. 以后，我们称求积系数由（1.3）式决定的求积公式为插值型求积公式。由 于对次数不超过 n-1 次的任意多项式 f (x) 说来， Ef ; x 0, 所以 n 个结点的插值 型求积公式的代数精度 d n −1. 反之，容易证明，代数精度 d n −1 的 n 个结点 的求积公式一定是插值型求积公式。事实上，因 Lagrange 插值基本多项式 ( ) k Pn−1 l x ，而因求积公式的代数精度 d n −1, 因此该求积公式对 l (x) k 必精确成立，即 ( ) ( ) ( ) = = = = b a n j x l k x dx Aj l k x j Ak k n 1 , 1,, .特别，当 x (k n) k =1, , 属于[a,b]时，我们称公式 ( ) ( ) ( ) = b a n k k k x f x dx A f x 1 （1.5） 为内插型求积公式，其中求积系数由下式确定： ( ) ( ) ( ) ( ) = − = b a k k k dx k n x x x x x A ( 1,, ). （1.6） §2．Newton-Cotes 公式 设 [a,b] 是 一 有 限 区 间 ， (x) 1 令 ( ) , , , , . h = b − a n x0 = a x1 = a + h xn = a + nh = b 依定理 1，有常数 AK 使得求积公 式 ( ) ( ) = b a n k k k f x dx A f x 0 （2.1） 对于一切次数 n 的多项式是精确的。事实上，当 Ak 由（1.6）式决定时（注意， 此时 ( ) ( )( ) ( ); 0,1, , ), x = x − x0 x − x1 x − xn k = n 上述求积公式的代数精度 d n, 以 后，我们称 N 个结点的内插型求积公式为 N 点的 Newton-Cotes 公式。通常，称 一个结点的 Newton-Cotes 公式 ( ) ( ) ( ) = − + b a f x dx b a f a E f （2.2）
为矩形公式;称2个结点的 Newton- Cotes公式 ∫(k=2(b-a()+()+ED (23) 为梯形公式;称3个结点的 Newton-Cotes公式 f(]x="fl.4h a+b,h 2 +3(b)+E刀门(24) 为 Simpson公式。此处h=(b-a) 由多项式插值余项公式可知,梯形公式的求积误差为 EU)=f(a,b,xXx-aXx-bkdtx (2.5) 设f(x)有连续的二阶导数,由于当a≤x≤b时, (x-ax-b)≤0 所以对(25)式应用积分中值定理可知必有[ab]中的点和E2使得 ]=f(a, b,6d)r(x-aXx-bkdr (b-a) 12/Ve2) (26) 同理, Simpson公式(24)的求积误差为 EL]=f(a,b,c xXx-aXx-bX (27) 其中=2(a+b) 设(x)有四阶连续的导数,由于 (x-ckdr=I x-aNx一 b 故由分部积分公式和积分中值定理可得 E()=f(a, b,c, xA[(r-a)x-bPp rra,b,c, x, xex-a))]dx 1/(b(-a0(-)a foe(a<e<b) 2880 (28)
为矩形公式；称 2 个结点的 Newton-Cotes 公式 ( ) ( )( ( ) ( )) = − + + b a f x dx b a f a f b E f 2 1 （2.3） 为梯形公式；称 3 个结点的 Newton-Cotes 公式 ( ) ( ) ( ) + + + = + b a f b E f a b h f h f a h f x dx 3 2 3 4 3 （2.4） 为 Simpson 公式。此处 ( ). 2 1 h = b − a 由多项式插值余项公式可知，梯形公式的求积误差为 ( ) ( )( )( ) = − − b a E f f a,b, x x a x b dx. （2.5） 设 f (x) 有连续的二阶导数，由于当 a x b 时， (x − a)(x −b) 0, 所以对（2.5）式应用积分中值定理可知必有 a,b 中的点 1 和 2 使得 ( ) ( )( ) = − − b a E f f a b x a x b dx 1 , , ( ) ( ). 12 2 3 f b a − = − （2.6） 同理，Simpson 公式（2.4）的求积误差为 ( )( )( )( ) = − − − b a E f f a,b,c, x x a x b x c dx, （2.7） 其中 ( ). 2 1 c = a + b 设 f (x) 有四阶连续的导数，由于 ( ) ( )( ), 2 1 x − c dx = d x − a x − b 故由分部积分公式和积分中值定理可得 ( ) ( ) ( )( ) = − − b a E f f a b c x d x a x b 2 , , , 4 1 ( )( )( ) = − − b a f a b c x x x a x b dx 2 , , , , 4 1 ( ) ( ) ( ) = − − b a f a b c x a x b dx 2 2 1 1 , , , , 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ). 2880 4 5 f a b b a − = − （2.8）
从 Simpson公式的求积误差公式(28)可以看出, Simpson公式的代数精度是3 从公式(26)和(28)看出,对给定的被积函数f(x)而言,当积分区间缩 短时,求积误差以更快的速度减小。因此,在实际计算中为了保证计算的精度, 往往首先用分点。 x;=a+i(b-a)/n (=0,1…,n) 将区间[ab]分成n个相等的子区间 xo,x,lx,, x 2 而后对每个子区间再应用梯形公式(23)或 Simpson公式(24)。例如,对每个 子区间应用梯形公式(23),得到 "/(k=2()+(n)1(2)r) 于上式中舍掉余项并对i从0到n-1求和,可得一个新的求积公式 b f(a)+f(6)+2∑fa+ ef s 上述求积公式的误差是 E (2.10) 12 若∫(x)连续,由于6均为[a]的内点,所以由中值定理有 ()=∑∫(e)(a<E<b) 将其代入(2.10)式,得到 E 公式(29)称为复化梯形公式,求积误差由(2.11)式确定 同样,我们可以建立复化 Simpson公式。用分点 a+j (b-a)/2n =0,1,…,2n 将叵b分为2n等分。然后,在每个子区间 [x0,x2][x2,x:}…[ n-23 上应用 Simpson公式并求和,得到
( ) ( ) ( ) 2 . (2.9) 2 2 1 1 n b a n i def S n b a f a f b f a i n b a f x dx − + + + − − = ( ) − = − = − 1 0 3 . (2.10) 12 1 n i n i f n b a E f 从 Simpson 公式的求积误差公式（2.8）可以看出，Simpson 公式的代数精度是 3。 从公式（2.6）和（2.8）看出，对给定的被积函数 f (x) 而言，当积分区间缩 短时，求积误差以更快的速度减小。因此，在实际计算中为了保证计算的精度， 往往首先用分点。 x a i(b a) n (i n) i = + − = 0,1, , 将区间 a,b 分成 n 个相等的子区间： , , , , , , , 0 1 1 2 n 1 n x x x x x x − 而后对每个子区间再应用梯形公式（2.3）或 Simpson 公式（2.4）。例如，对每个 子区间应用梯形公式（2.3），得到 ( ) ( ( ) ( )) ( ). 12 1 2 1 3 1 i x x i i i i f n b a f x f x n b a f x dx + − + − − = + 于上式中舍掉余项并对 i 从 0 到 n-1 求和，可得一个新的求积公式 上述求积公式的误差是 若 f (x) 连续，由于 i 均为 a,b 的内点，所以由中值定理有 将其代入（2.10）式，得到 （2.11） 公式（2.9）称为复化梯形公式，求积误差由（2.11）式确定。 同样，我们可以建立复化 Simpson 公式。用分点 x a j(b a) n ( j n) j = + − 2 = 0,1, ,2 将 a,b 分为 2n 等分。然后，在每个子区间 n n x x x x x x 0 2 2 4 2 2 2 , , , , , , − 上应用 Simpson 公式并求和，得到 ( ) ( ). 12 2 3 f n b a E f n − = − ( ) ( ) ( ) − = = 1 0 . 1 n i f i a b n f
6/(a)+/()+4 a+(2i+) 2 (2.12) a+I b-a]+ Earl 其中 E ∑f(,) 2880 f((a<5<b 13 关于 Simpson型求积,还有一类4点 Simpson38求积公式: a+2b)3 它也具有3次代数精度。 如下的Bode求积公式具有5次代数精度,它有5个求积结点: f()dx b-a14 643a+b).242a+2b 445 fla) 4 4 64(a+3b)14 f(b 4 递推关系是数值方法的重要技巧,它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特 点。下面,仅以梯形公式为例介绍一下所谓的逐次分半算法。 首先在整个区间[b上应用梯形公式算出积分近似值T;然后将[二等 分,对n 应用复化梯形公式算出T;再将每个小区间二等分(即将[ab四等分),对n=4
（2.12） 其中 关于 Simpson 型求积，还有一类 4 点 Simpson 3 8 求积公式： （2.14） 它也具有 3 次代数精度。 如下的 Bode 求积公式具有 5 次代数精度，它有 5 个求积结点： （2.15） 递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特 点。下面，仅以梯形公式为例介绍一下所谓的逐次分半算法。 首先在整个区间 a,b 上应用梯形公式算出积分近似值 T1 ；然后将 a,b 二等 分，对 n=2 应用复化梯形公式算出 T2 ；再将每个小区间二等分（即将 a,b 四等分），对 n=4 ( ) ( ) ( ) ( ) − + + + + + + − = b a f b a f b O a b f a b f a f b a f x dx , 8 3 3 3 2 8 9 3 2 8 9 8 3 3 4 5 ( ) ( ) + + + + − = b a a b f a b f a f b a f x dx 4 2 2 45 24 4 3 45 64 45 14 4 ( ) ( ) . 45 4 14 4 3 45 64 6 7 − + + + + f b a f b O a b f ( ) ( ) ( ) − + + + + − = − = 1 1 2 4 2 1 6 n i n b a f a f b f a i n b a ( ) ( ) − = + = b a n i x x i i f x dx f x dx 1 0 2 2 2 2 , 2 1 1 E f n b a f a i n n i + − + + − = ( ) ( ) − = − = − 1 0 4 5 2 2880 1 n i n i f n b a E f ( ) ( ) ( ), . (2.13) 2880 1 4 4 5 f a b n b a − = −
应用复化梯形公式算出7;如此下去,直至相邻两个值之差小于允许误差为止。 应注意,在计算后面的Tn时可以利用前面算出的T的值: 2,2,2)2 2∑a+(2-) 1(+2aa+(-02a 2(n+H2)(216) 其中 ∑1a+(21-1)b-a)(217) 为复化中矩阵公式。应用公式(2.16)和(217)计算Tn时只要计算被积函数f(x) 在n个点处的值就可以了,可见递推算法减少了计算量。 现在,我们来看一·看为什么可以通过相邻两个近似积分值之差来控制计算过 程,令 =[/(x 则依(2.11)式可知 Ev]=I-T ∑∫Ve;) E-1=1(2)rv) 将两式相除并注意当n充分大时, b-aEr(e, =r(d Er(,)*5r"(kx 则得到 I-T ≈T2n+(T2n-Tn) (2.18) 上式说明,若两个相邻的积分近似值Tn与T2n之差为允许误差,则T2n与积分
应用复化梯形公式算出 T4 ；如此下去，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。 应注意，在计算后面的 T2n 时可以利用前面算出的 Tn 的值： （2.16） 其中 （2.17） 为复化中矩阵公式。应用公式（2.16）和（2.17）计算 T2n 时只要计算被积函数 f (x) 在 n 个点处的值就可以了，可见递推算法减少了计算量。 现在，我们来看一看为什么可以通过相邻两个近似积分值之差来控制计算过 程，令 ( ) = b a I f x dx, 则依（2.11）式可知 将两式相除并注意当 n 充分大时， 则得到 4, 2 − − n n I T I T ( ). 3 1 T2n T2n Tn I + − （2.18） 上式说明，若两个相邻的积分近似值 Tn 与 T2n 之差为允许误差，则 T2n 与积分 ( ) ( ) ( ) ( ) − + + − − + + + − = − = = 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 n i n i n n b a f a i n b a f a f b f a i n b a T ( ) − + − − = + = n i n n b a f a i n b a T 1 2 2 1 2 1 ( ), 2 1 = Tn + H2n ( ) = − + − − = n i n n b a f a i n b a H 1 2 2 2 1 ( ) − = − = − = − 1 0 3 , 12 1 n i n n i f n b a E f I T ( ) − = − = − = − 2 1 0 3 2 2 . 12 2 1 n i n n i f n b a E f I T ( ) ( ) − = − 1 0 , n i b a f i f x dx n b a ( ) ( ) − = − 2 1 0 , 2 n i b a f i f x dx n b a
精确值之差大约是允许误差的三分之一,因此计算可以至此为止。误差之此种估 计法称为后天估计(事后估计)。 对 Simpson公式也有类似的算法,于此不细说了。比较公式(2.9),(2.12) 和(216),可以得到复化 Simpson公式与梯形公式的如下关系 g方法 现在让我们比较一下复化梯形公式与复化 Simpson公式。复化梯形公式仅 对一次多项式精确成立,收敛速度是 而复化 Simpson公式对所有次数不 超过3的多项式精确成立,收敛速度是-。所以一般来说 Simpson公式要比 梯形公式好。然而如果我们用逐次分半算法计算了TT2,T4…则依(2.19)式顺 便就可以算出复化 Simpson公式的值S2,S4,…同样,用S2n和S作适当的线性 组合又可以得到更好的求积公式。这种用两个相邻的近似公式(其中一个公式是 由另一个公式的分半得到的)的线性组合而得到更好的近似公式的方法,就是近 代电子计算机上常用的 Romberg求积公式,也叫逐次分半加速法。形如(2.19) 的公式也叫逐次分半加速公式 公式(2.19)是有比较求积公式的系数得到的。下面想从另一个角度,即从近似 求积余项的分析来引出这种加速公式的一般形式。 令 1=f(kr 由复化梯形公式的余项 EUD]=1-7=(b 12n2/(e) E 12n)/Vm) 可以看出,4En[]-E[/]≈0对所有次数不超过2的多项式精确成立。因此 4(-72)-(-Tn)≈0 亦即 T=Tn-T 4-1 4-1 对所有次数不超过2的多项式精确成立。事实上,它就是 Simpson求积公式,它
精确值之差大约是允许误差的三分之一，因此计算可以至此为止。误差之此种估 计法称为后天估计（事后估计）。 对 Simpson 公式也有类似的算法，于此不细说了。比较公式（2.9），（2.12） 和（2.16），可以得到复化 Simpson 公式与梯形公式的如下关系： . 3 1 3 4 S2n = T2n − Tn （2.19） §3. Romberg 方法 现在让我们比较一下复化梯形公式与复化 Simpson 公式。复化梯形公式仅 对一次多项式精确成立，收敛速度是 2 1 n ；而复化 Simpson 公式对所有次数不 超过 3 的多项式精确成立，收敛速度是 4 1 n 。所以一般来说 Simpson 公式要比 梯形公式好。然而如果我们用逐次分半算法计算了 , , , T1 T2 T4, 则依（2.19）式顺 便就可以算出复化 Simpson 公式的值 , , . S2 S4 同样，用 S2n 和 S4n 作适当的线性 组合又可以得到更好的求积公式。这种用两个相邻的近似公式（其中一个公式是 由另一个公式的分半得到的）的线性组合而得到更好的近似公式的方法，就是近 代电子计算机上常用的 Romberg 求积公式，也叫逐次分半加速法。形如（2.19） 的公式也叫逐次分半加速公式。 公式（2.19）是有比较求积公式的系数得到的。下面想从另一个角度，即从近似 求积余项的分析来引出这种加速公式的一般形式。 令 ( ) = b a I f x dx. 由复化梯形公式的余项 可以看出， 4E2 f − E f 0 T n T n 对所有次数不超过 2 的多项式精确成立。因此 4( ) ( ) 0, I −T2n − I −Tn 亦即 对所有次数不超过 2 的多项式精确成立。事实上，它就是 Simpson 求积公式，它 ( ) ( ) f () n b a E f I T n T n − = − = − 2 3 2 2 12 2 ( ) ( ), 12 2 3 f n b a E f I Tn T n − = − = − T n Tn T n Tn I 3 1 3 4 4 1 1 4 1 4 2 = 2 − − − −
对所有的3次多项式也是精确成立的 同样由复化 Simpson公式的求积误差表达式 E。[]=-S2n= f(4)(a 2880n E=1-S,=(b=)2r“() 可以看出,42E[小-ED小]≈0对所有次数不超过4的多项是精确成立。因此 42(-Sn)-(-S2)≈0 亦即 S S2n记为C 对所有次数不超过4的多项是精确成立。这就是复化 Cotes公式。复化 Cotes公 式的余项为 (x)dx-C4n=945(4n)° 因此,实际上复化 Cotes公式(3.l)对5次多项式也是精确成立的 当n=1时,记y=几a+4则有 上式既是n=4时的 Newton- Cotes公式,也称为 Cotes公式 类似地,我们可以将复化 Cotes公式加速,从而得到更好的求积公式 依此类推,可以得到一系列逐次分半加速公式。它可表列如下 区间等分数逐次分半加速公式 代数精度 梯形公式(T公式) Simpson公式(S公式)
对所有的 3 次多项式也是精确成立的。 同样由复化 Simpson 公式的求积误差表达式 可以看出， 4 4 2 0 2 E f − E f S n S n 对所有次数不超过 4 的多项是精确成立。因此 4 ( ) ( ) 0, 4 2 2 I − S n − I − S n 亦即 对所有次数不超过 4 的多项是精确成立。这就是复化 Cotes 公式。复化 Cotes 公 式的余项为 因此，实际上复化 Cotes 公式（3.1）对 5 次多项式也是精确成立的。 当 n=1 时，记 , 4 − = + b a y f a i i 则有 上式既是 n=4 时的 Newton-Cotes 公式，也称为 Cotes 公式。 类似地，我们可以将复化 Cotes 公式加速，从而得到更好的求积公式。 依此类推，可以得到一系列逐次分半加速公式。它可表列如下： 区间等分数 逐次分半加速公式 代数精度 n 梯形公式（T 公式）： Tn 1 2n Simpson 公式（S 公式）： S n T n Tn 4 1 1 4 1 4 2 2 − − − = 3 ( ) ( ) ( ), 2880 4 4 5 2 2 f n b a E f I S n S n − = − = − ( ) ( ) ( ) () 4 4 5 4 4 2880 2 f n b a E f I S n S n − = − = − (3.1) 4 1 1 4 1 4 2 4 2 2 4 2 S n S n C n I 记为 − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 945 4 2 6 6 7 4 f n b a f x dx C n b a − − = − 2 4 2 2 2 4 4 1 1 4 1 4 C S S − − − = ( ) . 90 7 90 32 15 2 90 32 90 7 0 1 2 3 4 = b − a y + y + y + y + y