《数值逼近》第一章 Weierstrass定理与线性算子逼近

第一章 Weierstrass定理与线性算子逼近 教学目的及要求: 要求掌握基本 Weierstrass第一定理、 Weierstrass第二定理、线性正算子与 Koroy kin定理 如所知,逼近的目的,是用简单的函数来逼近复杂的函数本章讲述用多项式 序列逼近有界闭区间上连续函数的可行性 §1. Weierstrass第一定理 在实变函数的数学分析中,最重要的函数类实连续函数类Cab]与连续的周 期函数类C2x Cb是定义在某一闭区间b]上的一切连续函数所成的集合;C2x是定义 在整个实轴(-∞,∞)上的以2x为周期的连续函数全体所成的整体 定理1( Weierstrass)设f(x)∈C[ab,那么对于任意给定的E>0,都存在 这样的多项式P(x)使得 maxP(x)-f()<a a≤x≤b 关于这个著名的定理,现在已有好多个不同的证法,下面介绍 Bernstein的 构造证法 Bernstein证法:不妨假定函数的定义区间是[=0事实上通过如下的线性 代换 t=(6-akx+a 就能将ⅹ的区间0≤x≤1变换成t的区间a≤t≤b.同时,显而易见,x的多项式 将变成t的多项式,x的连续函数将变成t的连续函数因此只须就连读函数类

第一章 Weierstrass 定理与线性算子逼近 教学目的及要求： 要求掌握基本 Weierstrass 第一定理、Weierstrass 第二定理、线性正算子与 Korovkin 定理 如所知，逼近的目的，是用简单的函数来逼近复杂的函数.本章讲述用多项式 序列逼近有界闭区间上连续函数的可行性. §１．Weierstrass 第一定理 在实变函数的数学分析中，最重要的函数类实连续函数类 Ca,b 与连续的周 期函数类 C2 . Ca,b 是定义在某一闭区间 a,b 上的一切连续函数所成的集合； C2 是定义 在整个实轴 (− ,) 上的以 2 为周期的连续函数全体所成的整体. 定理 1（Weierstrass） 设 f (x) Ca,b，那么对于任意给定的   0 ，都存在 这样的多项式 P(x),使得 ( )− ( )     P x f x a x b max 关于这个著名的定理，现在已有好多个不同的证法，下面介绍 Bernstein 的 构造证法. Bernstein 证法：不妨假定函数的定义区间是 a,b  0,1.事实上,通过如下的线性 代换: t = (b − a)x + a , 就能将 x 的区间 0  x 1 变换成 t 的区间 a  t  b .同时,显而易见,x 的多项式 将变成 t 的多项式, x 的连续函数将变成 t 的连续函数. 因此只须就连读函数类

6来证明 Weiersrtass定理就行了, 对于给定的f(x)∈C]作如下的一串多项式(n=1,2,3,…) B(x) (1-x) 显然B1(x)是一个n次多项式 下面我们要证明极限关系式 imB(x)=f(x) 换句话说, Weierstrass定理中提及的P(x)只要取B(x)(其中n≥N)就可以 为了证明上述命题,需要用到一个初等恒等式 ∑x-))x(-xy-=m(-x) (1.1) 这个恒等式式容易验证的事实上,由于 (1-xr=[x+(1-x)] 可知 左满-(7x+1-(-xy Ak-1)1x(-x)y2+0+2m>们x(-xy2 k=0 n2x2+m(n-x2(n-2)y2 k2(-2/x(1-k)+(-2mxx n2x2+n(n-1)x2+(-2nxmx=右端 对于中的每一固定的x及任一固定的正整数n,令

Ca,b 来证明 Weiersrtass 定理就行了, 对于给定的 f (x) C0,1,作如下的一串多项式 (n =1, 2, 3, )： ( ) ( ) k n k n k x x k n n k B x f − = −               =  1 0 ｆ ｎ ， （1.1） 显然 B (x) ｆ ｎ 是一个 n 次多项式. 下面我们要证明极限关系式 B (x) f (x) n = → ｆ lim ｎ 换句话说, Weierstrass 定理中提及的 P(x),只要取 B (x) ｆ ｎ (其中 n  N )就可以 了. 为了证明上述命题, 需要用到一个初等恒等式: ( ) ( x) nx( x) k n nx k k n k n k x − = −         − − =  1 1 2 0 （1.1） 这个恒等式式容易验证的. 事实上, 由于 ( )  (1 ) 1 0 1  + −           − = − n n k k n k x x k n x x , 可知 左端 = (n x k ) x ( x) k n k n k k n  nkx − − =         + − 1 0 2 2 2 2 = n x 2 2 + k x ( x) x ( x) n k n k k n k k n k k n nx k k n  −  + − = − =         −         1 1 0 0 2 2 = n x 2 2 + ( ) x ( x) k n k n k k n k k − − =         − 1 0 1 + ( ) ( − ) = −         + n k k n k x x k n nx k 0 1 2 1 = n x 2 2 + ( ) ( ) ( nx)nx k n n n x x k k n k n k 1 2 2 2 1 1 2 2 2 + −         − − −  − − − = = n x 2 2 + n(n )x 2 −1 + (1− 2nx)nx =右端. 对于 0,1 中的每一固定的 x 及任一固定的正整数 n , 令

()=mx/x) 上式右端代表当k取所有合乎条件 的正整数式所得的最大差数根据(x)在[上的一致连续性,可见必存在 串En>0,使得 En(x)<gn↓0(n→∞) 记八(x)-B1(x)=∑1(x)-f42,(x)+21()-/4) an,k(x) 其中∑与∑”分别表示对满足如下条件的一切k所取的和: k-nx(<n 4,k-nx(" (1-x 令M=mx(x)则显然有 (x)-B1()<∑EnnA()+M2a(x)<En+2M∑nA(), 而且利用已经验证过的恒等式(12)可知 n32∑nA()s∑(k-nx)n()=m()s 因此, ∑Ank(s1) ()-B)<6n+2 注意上列不等式的右端与x无关,而且随着x的无限增大而趋向0这就证明 了多项式序列Bn(x)对于f(x)的一致连续性 Weierstrass的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数

( ) ( )       = − n k x f x f  n max , 上式右端代表当 k 取所有合乎条件       −  n x n k 1 1 4 的正整数式所得的最大差数. 根据 f (x) 在 0,1 上的一致连续性, 可见必存在 一串   0 n , 使得 (x)  n <  n  0 (n →) 记 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x) n k x f x f n k f x x f x f B n k n,k '' , '             + −             − =  −  ｆ ｎ , 其中  ' 与  " 分别表示对满足如下条件的一切 k 所取的和： k nx n 3 4 −  ， k nx n 3 4 −  ； 而 ( ) x ( x) k n k n k k n x − −          , = 1 ． 令 M = max f (x) ,则显然有 f (x) (x) (x) M (x) M (x) B  nn k n k  n n,k " , " , ' −   + 2   + 2  ｆ ｎ ， 而且利用已经验证过的恒等式 (1.2) 可知 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 , 0 2 , 3 2 " n x x nx x n k n k n  n k   k−nx =  =   ． 因此， ( ) 1 2 , " 1 4 1         n x n k ， f (x) B (x) ｆ − ｎ ＜  n ＋ 1 2 1 2       n M ． 注意上列不等式的右端与 x 无关, 而且随着 x 的无限增大而趋向 0.这就证明 了多项式序列 B (x) ｆ ｎ 对于 f (x) 的一致连续性. Weierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数

来表示连续函数的问题因此任意取定一个单调下降于0的数列δn,则对每个δn 都可以找到一个多项式Pn(x)使得样Pn(x)-f(x)0,都有三 角多项式7(x)存在,使得 max f(x)-T(xX <E (2.1) 丌≤x≤丌 这个定理可以从 Weierstrass第一定理,通过诱导函数来证明.此处直接才 用 Vallee-Poussin算子

来表示连续函数的问题.因此任意取定一个单调下降于0的数列  n , 则对每个  n 都可以找到一个多项式 P (x) n 使得# n ( ) ( )  n P x − f x  . 于是令 Q (x) P (x) 1 1 = ， ( ) ( ) ( ), 1 Q x P x P x n n n− = − n 1， 可知级数 (x) n Qn  =1 的前 n 项之和恰好与 P (x) n 相合, 因而该级数也就一致的 收敛于 f (x). 在 Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列 P (x) n 的存在性, 而且还 给出了构造 P (x) n 的一个具体方法. 事实上, B (x) ｆ ｎ (n =1, 2, 3, ) 便构成了 连续函数 f (x)(0  x 1) 的一个近似多项式序列.这样的证法通常称之为构造性的 证明方法, 它要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更有价值. §２．Weierstrass 第二定理 周期连续函数(不妨假定周期为#)的最简单逼近工具式如下三角多项式 ( ) ( ) = = + + n k k k T x A a k x b k x 1 cos sin ． 如果其中的系数 ak 和 bk 不全为 0,则称 T(x) 为 n 阶三角多项式. 相应 Weierstrass 第一定理, 有如下的 定理 1 (Weierstrass 第二定理) 设 f (x)C2 , 则对任意给定的   0 ,都有三 角多项式 T(x) 存在, 使得 ( ) ( )    −  −   f x T x x max （2.1） 这个定理可以从 Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接才 用 Vallee-Poussin 算子   ( ) ( ) ( ) dt t x f t n n V f x n n 2 1!! 2 2 !! 2 1 ; cos 2 − − = −   

来证明,其中(2)=(2n)2n-2)…422n-1)=(2n-1)2n-3)…31 作平移,显然有 T dt=2 co 再做变换#,可算得上述积分为 In=2(- v-) n 2)_2(2n-1) 从而 )H/x=rr(x)-/( cOS 因为f(x)∈C2x所以f(x)致连续即对任意给定的E>0,有δ>0存在使得 当|x-x1<时, (x)-f(x)<s/2 今将∫(x)-Vn[;x分成两部分 t-x cOs 2 dt -x6 C1+ (2.2) 以下估计C1和C2 nI-x (2.3) 记M=maxf(x),q=cos。<1,则

来证明, 其中 (2n)!!= (2n)(2n − 2) 4 2，(2n −1)!!= (2n −1)(2n −3)31． 作平移,显然有   − = − =    0 2 2 2 2 cos 2 cos dt t dt n t x n I n 再做变换#,可算得上述积分为 ( ) ( ) ( )   − − = − − = − 1 0 1 1 2 1 2 0 2 1 1 1 2 1 dv v v dv v v v n n I n ＝ ( 1) 2 1 2 1 2  +        +       n n ＝ ( ) (2 )!! 2 2 1 !! n  n − ． 从而 ( )    ( ) ( ) dt t x f x V f x f x f t n n n I 2 1 ; cos 2 − − = − −   因为 f (x)C2 ,所以 f (x) 一致连续.即对任意给定的   0 ,有   0 存在,使得 当 x  − x    时, f (x )− f (x )   2． 今将 f (x) V f x n − ; 分成两部分 ( )    ( ) ( ) dt t x f x V f x f x f t n n t x n I 2 1 ; cos 2 − − = −  −  +  ( ) ( ) dt t x f x f t n I n t x 2 1 cos 2 − −  −  = C1 +C2 （2.2） 以下估计 C1 和 C2 C1  ( ) ( ) 2 1 2 2 1 cos 2     = − −  −  dt t x f x f t n I n t x ． （2.3） 记 M f (x) x max −   = ， 1 2 = cos   q ，则

n 2M 2 因此存在自然数N使得当n>N时 C<62 (2.4) 综合(22),(2.3)和(2.4),即可知 Weierstrass第二定理成立 §3.线性正算子与 Korovkin定理 设叫{x)对集E中每一个x,在区间a≤【≤b并上关于t都连续,则积分 L(,x)=((x)x)=o)y(=gx) (31) 对于每一在区间叵b上连续的函数f(x)都确定了一个函数g(x)=L0f;x) 定义1设已知函数集F,如果对于集F中的每一函数∫(),均有一个函数 o(x)=H(,x)与之对应则说在函数集F上定义了算子H(,x)=H(()x) 定义2称算子H(,x)是线性的如果随着f()与g(),属于它的存在域 qf(t)+bf()(其中a与b为任意的实数地属于它的存在域且成立如下等式 例1由31)式定义的算子L(f,x)是线性的 事实上由下列等式即可以推出算子L(,x)的线性性质 L(1+:)=ox)(1()+m10) alp(,if(dt +Blo(,n2(dt

C1  ( ) ( ) dt t x f x f t n I n t x 2 1 cos 2 − −  −     2 2 1 2 cos 2    n I n M ( ) ( ) q n n n M 2 2 1 !! 2 !! 2 − =  q n M n 2  4   ． 因此存在自然数 N 使得当 n  N时 2 2 C   （2.4） 综合（2.2），（2.3）和（2.4），即可知 Weierstrass 第二定理成立． §３．线性正算子与 Korovkin 定理 设 (x,t) 对集 E 中每一个 x , 在区间 a  t  b #上关于 t 都连续, 则积分 L(f x) L(f (x) x) (x t)f (t)dt g(x) b a = = =  ; ;  , （3.1） 对于每一在区间 a,b 上连续的函数 f (x) 都确定了一个函数 g(x) = L(f ; x). 定义 1 设已知函数集 F, 如果对于集 F 中的每一函数 f (t), 均有一个函数 (x) = H(f ; x) 与之对应,则说在函数集 F 上定义了算子 H(f ; x) = H(f (t); x). 定义 2 称算子 H(f ; x) 是线性的,如果随着 f (t) .与 g(t) .属于它的存在域, af (t)+ bf (t) .(其中 a 与 b 为任意的实数)也属于它的存在域且成立如下等式: H(af +b; x) = aH(f ; x)+bH(; x). 例 1 由(3.1)式定义的算子 L(f ; x).是线性的. 事实上,由下列等式即可以推出算子 L(f ; x).的线性性质: L( f f x) (x t)( f (t) f (t))dt b a 1 2 1 2  +  ; =  ,  +   = (x t)f (t)dt (x t)f (t)dt b a b a 1 2 , ,     +  

=a(6;x)+B(;x) 例2设n(x),u2(x),…,L(x)为定义于集E上的函数令 其中∫()为在实数集,12,…,n上有定义的函数可以证明算子H(,x) 是线性的 事实上 H(af+bo:; x)=E(af(x)+bo( r )k,(x) k=1 ∑f(k(x)+b∑ok(x) aH(; x)+bH(o; x) 定义3如果对于每一个正函数∫()及x∈E,线性算子LG;x),满足条件 L(;x)≥0,则称L(;x)为集E上的线性正算子 显然对于每一固定的值x线性算子L(/;x)成为线性泛函数因此如果对于集 E中每一固定的值x线性泛函数均是正的则线性算子L(f;x)在集E上是正的 例如当uA(x)(k=12,m)在E上为函数时算子 L(,x)=∑f(kk(x) 为集E上的线性正算子又如若o(xt)对集E中每一固定的x在区间[ab上关 于t为连续的正函数则算子 LU; x)=p(x, dr(dr 在集E上是正的 还须指出的是,在线性算子L(fx)中,变元f的变元与x不同

= L(f ; x) L(f ; x)  1 +  2 . 例 2 设 u (x) 1 ，u (x) 2 ，．．．u (x) n 为定义于集 E 上的函数.令 H( f x) f (t )u (x) k n k  k = = 1 ; ， 其中 f (t).为在实数集 1 t ， 2 t ，．．．， n t 上有定义的函数.可以证明算子 H(f ; x) . 是线性的. 事实上 H(af b x) (af (t ) b (t ))u (x) k n k  k k = + = + 1 ;  . ＝a f (t )u (x) b (t )u (x) k n k k k n k  k  = = + 1 1  ＝ aH(f ; x)+ bH(; x)． 定义 3 如果对于每一个正函数 f (t).及 xE .,线性算子 L(f ; x).满足条件: L(f ; x)  0 , 则称 L(f ; x).为集 E 上的线性正算子. 显然,对于每一固定的值 x ,线性算子 L(f ; x).成为线性泛函数.因此,如果对于集 E 中每一固定的值 x ,线性泛函数均是正的,则线性算子 L(f ; x).在集 E 上是正的. 例如,当 u (x) k (k =1,2,...n).在 E 上为函数时,算子 ( )  ( ) ( ) = = n k k k L f x f t u x 1 ; 为集 E 上的线性正算子.又如,若 (x;t).对集 E 中每一固定的 x 在区间 a,b 上关 于 t 为连续的正函数,则算子 ( ) ( ) ( )  = b a L f ; x  x,t f t dt 在集 E 上是正的. 还须指出的是 , 在线性算子 L(f ; x) 中 , 变 元 f 的变元与 x 不 同

L(,x)=L(()x)在计算算子L(f;x)的值时我们将x当作常数但为集E中任意 的)因此等式 L((x)x)=f(x)(:x) 成立这是由于f(x)为常数(与t无关) 现在我们来研究线性正算子序列Ln(/;x)在区间[ab]上的一致收敛于函数 f(x)的条件这里的f(x)是[b上的连续函数并且在整个实轴上有界如在泛函 数情形一样我们将证明序列Ln(k;x)在[小]上一致收敛于f(x)=x2(k=012) 蕴含序列Ln(;x)一致收敛于f(x)(如果f(x)满足上面指出的条件) 下面将引进这一论断的一种证法它是以闭区间上的连续函数必一致连续这个 事实为基础的先证明一个引理 引理1若函数f(x)在区间{小上连续在点b为右连续在点a为左连续则对 E>0,有6>0,使得当py-x0根据函数∫(x)在区间b]上的一致连续性可以求出这样的 d>0,使得当{y-x0有62>0使得当y一对0使得当-x<6时 ()-f(b)< (34) 令取δ=mm(,2,63)并证明当py一x<6a≤x≤b时有

L(f ; x) = L(f (t); x),在计算算子 L(f ; x) 的值时,我们将 x 当作常数(但为集 E 中任意 的),因此等式 L(f (x); x) = f (x)L(1; x) 成立,这是由于 f (x) 为常数(与 t 无关). 现在我们来研究线性正算子序列 L (f x) n ; .在区间 a,b 上的一致收敛于函数 f (x).的条件.这里的 f (x) 是 a,b 上的连续函数,并且在整个实轴上有界.如在泛函 数情形一样,我们将证明,序列 L ( f x) n k ; 在 a,b.上一致收敛于 ( ) k k f x = x (k = 0,1,2) 蕴含序列 L (f x) n ; .一致收敛于 f (x) .(如果 f (x).满足上面指出的条件). 下面将引进这一论断的一种证法,它是以闭区间上的连续函数必一致连续这个 事实为基础的.先证明一个引理. 引理 1 若函数 f (x) 在区间 a,b 上连续,在点 b 为右连续,在点 a 为左连续,则对   0,有   0,使得当 y − x ,a  x  b 时,恒成立不等式 f (y)− f (x)   证明 令 0 2 ' =    .根据函数 f (x) 在区间 a,b 上的一致连续性可以求出这样的  1  0.,使得当 y − x   1 ,a  x  b 时,有不等式 f (y)− f (x)  ' （3.2） 由于函数 f (x) 在点 a 连续(左连续是假定的,而右连续则是依函数在闭区间 a,b 上的连续性得知),所以对  ' 0 有  2  0,使得当 −   2 y x 时 f (y)− f (a)  ' （3.3） 同理有  3  0 ,使得当 −   3 y x 时 f (y)− f (b)   ' （3.4） 令取 ( ) 1 2 3  = min  , , .并证明,当 y − x  ,a  x  b 时,有

(y)-f(x)b得情况可以同样证明 现在我们给出线性正算子序列的收敛性定理 定理3 koro kin)设线性正算子序列L(,x)满足条件 (1)Ln(:x)=1+an(x) (2)Ln(;x)=x+n(x) +y 其中an(x).Bn(x),yn(x)在区间[b]上一致收敛于零又设函数f()有界且在区 间[ab]上连续于点b为右连续于点a为左连续则在区间[ab上序列LG,x) 致收敛于函数f(t) 证明由于函数f()有界(-M0有E>0使得当a≤x≤b,-x<时成立不等式 <f()-f(x)<E 假定v()=(-x)(x为区间上的任意一点且一经取好就固定了由(35) (36)式不难得到

f (y)− f (x)  2' =  事实上,若 x 与 y 均属于区间 a,b,则后面的不等式由(3.2)推得.若 y  a (当然 x 必 须 属 于 区 间 a,b ), 则 y − x = y − a + x − a ., 且由于 y − x   , 所 以 y − a   , x − a   现在得到 f (y)− f (x) = f (y)− f (a)+ f (a)− f (x)  f (y)− f (a) + f (x)− f (a) . 依(3.3)式不等式右边第一项小于  ' ;而依(3.2)式第二项也小于  ' .从而 f (y)− f (x)  2' =  如此已证明当 y  a .时引理为真,对于 y  b 得情况可以同样证明. 现在我们给出线性正算子序列的收敛性定理. 定理 3(korovkin) 设线性正算子序列 L (f x) n ; 满足条件: (1) L ( x) a (x) n =1+ n 1; . (2) L (t x) x (x) n = +  n ; (3) L (t x) x (x) n n = + 2 2 ; 其中 a (x) n , (x)  n , (x) n  在区间 a,b 上一致收敛于零;又设函数 f (t) 有界且在区 间 a,b 上连续,于点 b 为右连续,于点 a 为左连续.则在区间 a,b 上序列 L (f x) n ; 一 致收敛于函数 f (t). 证明 由于函数 f (t) 有界 (− M  f (t)  M ) #.,所以对一切 x 与 t 均成立不等式 − 2M  f (t)− f (x)  2M (3.5) 其次,依引理 1,对于   0 有   0 使得,当 a  x  b, t − x   时,成立不等式 −  f (t)− f (x)   (3.6) 假定 ( ) ( ) 2  t = t − x ( x 为区间 a,b 上的任意一点,且一经取好就固定了),由(3.5)、 (3.6)式不难得到

2M ()N,a≤x≤b时成立不等式 E<L,U; x)-(x)Ln(; x)<E 最后依E的任意性序列 LU; x)-f(x)Ln (1; x) 在区间[上一致收敛于零,从而再依定理中第一各条件便可断言序列 Ln(x)在区间[ab]上一致收敛于零f(x)

( ) ( ) ( ) (t) M t f t f x M       2 2 2 2 − −  −  + . 由此再依算子 L (f x) n ; 的线性性质与单调性(其中 x 为固定的,因而 f (x) #.为常 数) ( ) L ( x) L (f x) L (f (x) x) M L x n n n n ; ; ; 2 1; 2 − −   −   . (3.7) = ( ) ( ) ( ) ( ) L ( x) M L f x f x L x L x n n n n ; 2 ; 1; 1; 2   −   + (3.8) 现在我们可以断定, L ( x) n ; 在区间 a,b 一致收敛于零.事实上,由定理的条件 与算子 L (f x) n ; 的线性性质推出 L ( x) L (t tx x x) n n ; 2 ; 2 2  = − + = L (t x) xL (t x) x L ( x) n n n ; 2 ; 1; 2 2 − + = x (x) x(x (x)) x ( a (x)) + n − 2 + n + 1+ n 2 2   = (x) x (x) x a (x) n n n 2  − 2  + = (x)  n ; 其中 (x)  n 在区间 a,b 上一致收敛于零. 考虑到这一点及定理中第一个条件,便可断言不等式(3.8)右边在区间 a,b 上一 致收敛于  ,而左边一致收敛于− 据此可以求出这样的序标 N ,使得当 n  N , a  x  b 时,成立不等式 −  L (f x)− f (x)L ( x)   n n ; 1; 最后,依  的任意性,序列 L (f x) f (x)L ( x) n n ; − 1; 在区间 a,b 上一致收敛于零,从而再依定理中第一各条件便可断言序列 L (f x) n ; 在区间 a,b 上一致收敛于零 f (x)