第六章非线性逼近方法 教学目的和要求 要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pade逼近方法、有理逼近的一些算 法 考虑函数m(1+x)的逼近问题它的 Taylor展开式为 (-1<x≤1) k 记上式右端前s项的和为T(x),显然T(x)可以作为(1+x)的一种近似由连分 式展开 的方法,h(1+x)又有如下的连分式展开式 x12x12x22x22 不难算出它的前4个渐近分式依次为 R1(x) 6x+3x2 R2(x)= 6+6x+x 60x+60x2+1 Ilx k(x)=60+90x+36x2+3x 420x+630x2+260x3+25x4 R4(x) 420+840x+540x2+120x3+6 可以具体算出,Rn(x)的展开式将含有函数m(1+x)之 Taylor展开式的前2n项 和T2n(x) 下面来比较Rn(x)与T2n(x)的逼近误差设以ER与分别记Rn(x)与T2n(x)同 h(1+x)之间的误差,并取x=1它们误差的对比,如下表 R, (D) Er T ET 0.667 0.026 0.50 0.19
第六章 非线性逼近方法 教学目的和要求： 要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pad ' e 逼近方法、有理逼近的一些算 法 . 考虑函数 ln(1+ x) 的逼近问题.它的 Taylor 展开式为 = − + = − − 1 1 ln(1 ) ( 1) ( 1 1) k k k x k x x . 记上式右端前 s 项的和为 T (x) s ，显然 T (x) s 可以作为 ln(1+ x) 的一种近似.由连分 式展开 的方法， ln(1+ x) 又有如下的连分式展开式： . 5 2 4 2 3 1 2 1 1 ln(1 ) 2 2 2 2 + = + + + + + x x x x x x 不难算出它的前 4 个渐近分式依次为 . 420 840 540 120 6 420 630 260 25 ( ) , 60 90 36 3 60 60 11 ( ) , 6 6 6 3 ( ) , 2 2 ( ) 2 3 4 2 3 4 4 2 3 2 3 3 2 2 2 1 x x x x x x x x R x x x x x x x R x x x x x R x x x R x + + + + + + + = + + + + + = + + + = + = 可以具体算出， R (x) n 的展开式将含有函数 ln(1+ x) 之 Taylor 展开式的前 2n 项 和 ( ) 2 T x n . 下面来比较 R (x) n 与 ( ) 2 T x n 的逼近误差.设以 R 与 分别记 R (x) n 与 ( ) 2 T x n 同 ln(1+ x) 之间的误差，并取 x =1.它们误差的对比，如下表： n (1) Rn R (1) T2n T 1 0.667 0.026 0.50 0.19
0.69231 0.00084 0.58 0.1l 0.693122 0.000025 0.617 0.076 4 0693146320.00000076 0.634 0.058 ((n2=0.69314718 由上表可知,R(1)的精确度竞比(①)的精确度高几乎10°倍这说明开展某些函 数的有 逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的 §1.非线性一致逼近 首先讨论如下有理分式,Rmn∈R Rmn(x) P( Q(x) 其中Pn(x)∈Pn,Q(x)∈P分别为x的m,n次多项式设Ran3(x)是既约有理分 式,即 Pn(x)与Qn(x)互质 设∫(x)是有界闭区间[a,b]上的连续函数定义偏差函数f(x)-Rn(x)的 绝对值的上确界为Rnn(x)与f(x)的最大偏差,简称为偏差 A(Rm,n)=sup/f(x)-Rn,(x) (1.2) 又定义量 Pm.n ()=inf sup f(x)R Rm,masx≤b 为形如(1.1)的有理分式类: R n def{Rn(x)对给定函数f(x)的最佳逼近 或最小
2 3 4 0.692 31 0.693 122 0.693 146 32 0.000 84 0.000 025 0.000 000 76 0.58 0.617 0.634 0.11 0.076 0.058 （ (ln 2 = 0.693147 18) 由上表可知， (1) R4 的精确度竟比 (1) T8 的精确度高几乎 5 10 倍.这说明开展某些函 数的有 逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的. §1. 非线性一致逼近 首先讨论如下有理分式， Rm,n Rm,n ： , ( ) ( ) ( ) , Q x P x R x n m m n = （1.1） 其中 m m n Pn P (x) P ,Q (x) 分别为 x 的 m, n 次多项式.设 ( ) , R x m x 是既约有理分 式，即 P (x) m 与 Q (x) n 互质. 设 f (x) 是有界闭区间 [a,b] 上的连续函数.定义偏差函数 ( ) ( ) , f x R x − m n 的 绝对值的上确界为 ( ) , R x m n 与 f (x) 的最大偏差，简称为偏差： ( ) sup ( ) ( ) , , R f x R x m n a x b m n = − . (1.2) 又定义量 ( ) inf sup ( ) ( ) , , , f f x R x m n a x b R m n m n = − （1.3） 为形如（1.1）的有理分式类： Rm,n def Rm,n (x) 对给定函数 f (x) 的最佳逼近 或最小
偏差 关于偏差的下界估计,有 定理1( Valle e-Poussin)设多项式 A(x)=a0xm“+…+am-n,B(x)=bx"+…+b 互质,其中0≤≤m0≤v≤nb≠0.且设 R(x)=A(x)/B(x) 于[a,b区间上为有穷,差函数f(x)-R(x)在[a,b中的点列 上以正负交错的符号取异于0的值 (不妨假定各个4>0)而且N=m+n-d+2d=min(,v)则对每一形如 的函数Q(x),恒有 (Q≥mn{A1,A2,x} 当R(x)=0且N=m+2(即d=n)时,此不等式仍然成立 证明采用反证法假若存在一个形如(1.1)的函数Q(x),满足 △(Q<mn{λ22…N} 考察差 7(x)=Qx)-R(x) [f(x)-R(x-[f(x)-Q(x) 显然(x1)n(x2)…,n(xN)不等于0且正负交错变号由于m(x)于[a,b]上连续
偏差. 关于偏差的下界估计，有： 定 理 1 （ Vall é e-Poussin ） 设 多 项 式 ( ) , 0 − − = + + m m A x a x a − − = + + n n B(x) b0 x b 互质，其中 0 ,0 , 0. m n b0 且设 R(x) = A(x)/ B(x) 于 [a,b] 区间上为有穷，差函数 f (x) − R(x) 在 [a,b] 中的点列 N x x x 1 2 上以正负交错的符号取异于 0 的值 N N 1 1 2 , , ,( 1) − − − （不妨假定各个 j 0 ）.而且 N = m + n − d + 2,d = min( , ), 则对每一形如 （1.1） 的函数 Q(x), 恒有 ( ) min{ , , }. Q 1 2 N （1.4） 当 R(x) 0 且 N = m+ 2 （即 d = n) 时，此不等式仍然成立. 证明 采用反证法.假若存在一个形如（1.1）的函数 Q(x), 满足 ( ) min{ , , }. Q 1 2 N 考察差 (x) = Q(x) − R(x) = [ f (x) − R(x)] −[ f (x) − Q(x)]. 显然 ( ), ( ), , ( ) 1 2 N x x x 不等于 0 且正负交错变号.由于 (x) 于 [a,b] 上连续
根据 连续函数的中值定理,n(x)与(a,b)内至少有N-1=m+n-d+1个零点然而 7(x)=Q(x)-R(x)=v(x)/a(x) 中分子v(x)的次数≤mx{m+n-,m+n-}=m+n-d.从而必有r(x)=0,亦 Q(x)=R(x)此与定理假设相矛盾,故定理得证 定理2在所有形如(l1)的有理分式中,至少存在一个有理分式Qx) 使得它与 f(x)的偏差Δ()取到极小值,即 △(Q)=mn 证明只须证明存在形如(1.1)的有理分式Q(x),使得 下面我们将具体地构造出Ω(x)来按下确界的定义,存在无穷函数序列 Q(x)},使得 lm A(O)=Pmn(), 其中 OO Imi Pox+P1x+…+Pn 将Q(x)如下标准化,使其分母的系数满足 poi t 我们来证明相应的系数qn(=01…,m)也是有界的事实上,设 △(Q)<M(=1,2,…) 又设51,点2,…,5m为(a,b)内给定的互异点,则对其中任一点5,必有
根据 连续函数的中值定理， (x) 与 (a,b) 内至少有 N −1= m+ n − d +1 个零点.然而 (x) = Q(x) − R(x) = v(x)/ u(x) 中分子 v(x) 的次数 max{m + n − ,m + n −} = m + n − d. 从而必有 (x) 0 ，亦 即 Q(x) R(x).此与定理假设相矛盾，故定理得证. 定理 2 在所有形如（1.1）的有理分式中，至少存在一个有理分式 Q(x), 使得它与 f (x) 的偏差 (Q) 取到极小值，即 (Q) = min . 证明 只须证明存在形如（1.1）的有理分式 Q(x), 使得 ( ) ( ) , Q f = m n . 下面我们将具体地构造出 Q(x) 来.按下确界的定义，存在无穷函数序列 {Q (x)} i ，使得 lim ( ) ( ) , Q f i m n i = → ， 其中 ni n i n i mi m i m i i p x p x p q x q x q Q x + + + + + + = − − 1 0 1 1 0 1 ( ) . 将 Q (x) i 如下标准化，使其分母的系数满足 1( 1,2, ). 2 2 1 2 p0i + p i ++ pni = i = 我们来证明相应的系数 q ( j 0,1, ,m) ji = 也是有界的.事实上，设 (Q ) M(i =1,2,). i 又设 1 2 1 , , , m+ 为 (a,b) 内给定的互异点，则对其中任一点 ，必有
Po5"+p15 P g”+q5"+…+q厘 32+2+…+nm-/(+/ ≤M+mxf(x) a≤xsb 从而有正常数K存在,使得 5"+q1 +qmi< k 由于多项式qoxm+q1xm+…+qm于m+1个点51,52…,5m处的值是有界 的, 比方设它们依次为K1,K2,Km1,则按线性方程组 40 qui K,G=1,2,,m+1) 可以解出q的一个表达式(=0,…,m)显然这些qn(=0,…,m)均有界 由于P1(=0,…,m)和q(=0,…,m)有界,根据 bolzano- Weierstrass定 理, 在有理分式序列{Q(x)}中,可以选出某子序列,不妨仍记为Q(x)},使得 lim pi=aj,lm qn=b, 今作(1.1)型有理分式 P(x) bx+b ax+ax+.+a 以下来证明△(P)=mxf(x)-P(x)=pn()因为P(x)只可能在有限多个点 处 变为无穷,而在[ab]区间的其它点x处,显然有 Im O(x)=P(x) (1.5)
ni n i n i mi m i m i p p p q q q + + + + + + − + 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 f f p p p q q q ni n i n i mi m i m i − + + + + + + + − + M max f (x) axb + . 从而有正常数 K 存在，使得 q q qmi K m i m i + + + 0 1 −1 . 由于多项式 mi m i m q i x + q x + + q 0 1 −1 于 m+1 个点 1 2 1 , , , m+ 处的值是有界 的， 比方设它们依次为 1 2 1 , , , K K Km+ ，则按线性方程组 ( 1,2, , 1) 1 0 + 1 + + = = + − q q qmi Kj j m m i j m i j ， 可以解出 li q 的一个表达式 (l = 0,,m).显然这些 q (l 0, ,m) li = 均有界. 由于 p ( j 0, ,n) ji = 和 q (l 0, ,m) li = 有界，根据 Bolzano-Weierstrass 定 理， 在有理分式序列 {Q (x)} i 中，可以选出某子序列，不妨仍记为 {Q (x)} i ，使得 lim ,lim . li l i ji j i p = a q = b → → 今作（1.1）型有理分式 ( ) . 1 0 1 1 0 1 n n n m m m a x a x a b x b x b P x + + + + + + = − − 以下来证明 ( ) max ( ) ( ) ( ). , P f x P x f m n a x b = − = 因为 P(x) 只可能在有限多个点 处 变为无穷，而在 [a,b] 区间的其它点 ~ x 处，显然有 lim ( ) ( ) ~ ~ Q x P x i i = → . （1.5）
所以 Pxs/(x)+/(x)-(x)+2(x)-P(x) ≤maxf(x)+△(Q)+6 即除去可能在有限个点处外,总有 P(x)<N=max f(x)+M 从而上式于区间[a,b上处处成立即P(x)在区间[a,b上处处有限,所以(1.5) 式 处处成立 由于P(x)个系数与Q(x)个相应系数之间的极限关系,不难看出极限关 系式 Q(x)=P(x)(a≤x≤b) 在[a,b]上一致成立这样一来,若于 maxIf(x a≤x≤b < f(x)-e, (x)+max P(x)-@,(x) 两边令i趋于无穷,立即得到 mx(x)-Px)≤Pn(O) 是故A(P)≤Pmn(O.又显然有 f)≤△(P) 所以最终证得 (p)=po) 存在性定理2证毕. 根据定理2,存在形如(1.1)的有理分式R(x),使得
所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ P x f x f x Q x Q x P x + − i + i − i i a x b f x + Q + max ( ) ( ) 即除去可能在有限个点处外，总有 P(x) N max f (x) M. a x b = + 从而上式于区间 [a,b] 上处处成立.即 P(x) 在区间 [a,b] 上处处有限，所以（1.5） 式 处处成立. 由于 P(x) 个系数与 Q (x) i 个相应系数之间的极限关系，不难看出极限关 系式 lim Q (x) P(x) (a x b) i i = → 在 [a,b] 上一致成立.这样一来，若于 max f (x) P(x) a x b − max f (x) Q (x) max P(x) Q (x) i a x b i a x b − + − 两边令 i 趋于无穷，立即得到 max ( ) ( ) ( ). , f x P x f m n a x b − 是故 ( ) ( ). , P f m n 又显然有 ( ) ( ) m,n f P , 所以最终证得 ( ) ( ) , P f = m n . 存在性定理 2 证毕. 根据定理 2，存在形如（1.1）的有理分式 R(x) ，使得
△(R)=Pmn(O 其中f(x)是区间[a,b]上连续函数称满足(1.6)的有理分式为f(x)于(1.1) 所示有理分式类中的最佳一致逼近有理分式下面的 Tchebyshev定理对最佳 致 逼近有理分式的特征作了确切的描述 定理3形如(1.1)的有理分式函数中在[a,b上与f(x)偏差最小的有 理 分式P(x)由下述特征所唯一确定① 若将P(x)写成 m-+b,xm--1+,,+b P(x) y B(x) dox 1x A(x) 其中A(x)B(x)互质,a0≠0.0≤4≤m0≤W≤n则在[a,b]上使f(x)-P(x) 以正负交错的符号达到△(P)的点列之点数N≥m+n-d+2,其中 若P(x)≡0,则N≥m+2 证明充分性设 N≥m+n 并于定理1中取风=△P),则知对任何形如(11)的有理分式Q(x),必 有 △(Q)≥△(P) 从而P(x)是最佳逼近有理分式 必要性采用反证法设满足要求的偏离点的个数为N≤m+n-d+1, 我们
( ) ( ) , R f = m n ， （1.6） 其中 f (x) 是区间 [a,b] 上连续函数.称满足（1.6）的有理分式为 f (x) 于（1.1） 所示有理分式类中的最佳一致逼近有理分式.下面的 Tchebyshev 定理对最佳 一致 逼近有理分式的特征作了确切的描述. 定理 3 形如（1.1）的有理分式函数中在 [a,b] 上与 f (x) 偏差最小的有 理 分式 P(x) 由下述特征所唯一确定① . 若将 P(x) 写成 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 A x B x a x a x a b x b x b P x n n n m m m = + + + + + + = − − − − − − − − ， 其中 A(x), B(x) 互质， a0 0,0 m,0 n.则在 [a,b] 上使 f (x) − P(x) 以正负交错的符号达到 (P) 的点列之点数 N m+ n − d + 2 ，其中 d = min( , ) . 若 P(x) 0 ，则 N m+ 2. 证明 充分性.设 N m+ n − d + 2. 并于定理 1 中取 (P) k = ，则知对任何形如（1.1）的有理分式 Q(x) ，必 有 (Q) (P). 从而 P(x) 是最佳逼近有理分式. 必要性.采用反证法.设满足要求的偏离点的个数为 N m+ n − d +1， 我们
来证P(x)必不是最佳逼近有理分式将[a,b分为如下的N个子区间: a,5i].[512l…,[-1,b], (1.7) 使之在上述区间上,轮流满足 △(P)≤f(x)-P(x)≤A(P)-a, ①此处所说的唯一性,乃指经约分化简后为相同的有理分式者 △(P)+a≤f(x)-P(x)≤△(P) 并且(1.7)中每个区间内只含有一个偏离点 为证P(x)不是最佳者,只须求得(1.1)形有理分式Q(x),使得 △(Q)<△(P) 成立即可 引入多项式 y(x)=(x-51)(x-52)(x-5x) 显然它在51,525N-1处依次变号 由于A(x)与B(x)互质,于是存在次数分别为m与n的多项式叭(x)与 ) 使得 A(x)o(x)+B(xo(x) 于上式两边同乘多项式Φ(x),得到 d(x)=A(x)(x)(x)+B(x)q(x)<(x) (1.9
来证 P(x) 必不是最佳逼近有理分式.将 [a,b] 分为如下的 ' N 个子区间： [ , ],[ , ], ,[ ' 1 , ] a 1 1 2 N − b ， （1.7） 使之在上述区间上，轮流满足 − (P) f (x) − P(x) (P) − ， ① 此处所说的唯一性，乃指经约分化简后为相同的有理分式者. 和 − (P) + f (x) − P(x) (P). 并且（1.7）中每个区间内只含有一个偏离点. 为证 P(x) 不是最佳者，只须求得（1.1）形有理分式 Q(x) ，使得 (Q) (P) 成立即可. 引入多项式 ( ) ( )( ) ( ' 1 ) x = x − 1 x − 2 x − N − 显然它在 1 2 1 , , , ' N − 处依次变号. 由于 A(x) 与 B(x) 互质，于是存在次数分别为 m 与 n 的多项式 (x) 与 (x) ， 使得 A(x)(x) + B(x)(x) = 1. 于上式两边同乘多项式 (x) ，得到 (x) = A(x)(x)(x) + B(x)(x)(x) . （1.9）
用B(x),A(x)分别去除(带余)p(x)(x),(x)p(x) P(x)op(x)=B(x)q, (x)+r(x) p(x)p(x)=A(x)q2(x)+r2(x) 其中(x)∈Pm=,12(x)∈P-,分别为m-,n-v次多项式 将(1.10)代入(1.9)有 d(x)=A(x)B(x)q (x)+A(x)B(x)q2(x) +A(x)1(x)+B(x)2(x) =B(x){4(x)q1(x)+q2(x)+r2(x)}+A(x)1(x) =B(x)·u(x)+A(x)·v(x), 其中u(x),v(x)为次数不高于n,m的多项式 作有理分式 B(x)2(x)-@v(x) A(x)Q2(x)+ou(x) 于是 P(x)-o(x) B(x) B(x)22(x)-ov(x) A(x) A(x)Q2(x)+ou(x) o[B(xu(x)+A(x)v(x) A(xLA(x)Q2(x)+ou(x) p(x) A(xLA(x)Q2(x)+ou(x) 因为 f(x)-Q(x)=[f(x)-P(x)]+[P(x)-Q(x If(x)-P(x)] 0D(x) (1.11 A(x)[4(x)g2(x)+Ol(x)
用 B(x)， A(x) 分别去除（带余） (x)(x),(x)(x) ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x x A x q x r x x x B x q x r x = + = + （1.10） 其中 Pm− r (x) 1 ， Pn− r (x) 2 分别为 m − ,n − 次多项式. 将（1.10）代入（1.9）有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 x = A x B x q x + A x B x q x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 + A x r x + B x r x ( ){ ( )[ ( ) ( )] ( )} ( ) ( ) 1 2 2 1 = B x A x q x + q x + r x + A x r x = B(x)u(x) + A(x) v(x)， 其中 u(x), v(x) 为次数不高于 n,m 的多项式. 作有理分式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x x u x B x x v x Q x + − = . 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x x u x B x x v x A x B x P x Q x + − − = − ( )[ ( ) ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] A x A x x u x x A x A x x u x B x u x A x v x + = + + = 因为 f (x) − Q(x) = [ f (x) − P(x)] +[P(x) − Q(x)] = [ f (x) − P(x)] + ( )[ ( ) ( ) ( )] ( ) A x A x x u x x + ， （1.11）
于是只须特别取9x)=1,并取回充分小,则在调节正、负号的前提下可以 保证 (1.1)最后一等号右端第二项恰与第一项在个偏离点上的值异号从而,只须 对充分 小的O取(1.1)形有理分式 Q(x)= A(x)+ou(x) 则可保证不等式(18)成立必要性得证 最后证明唯一性,用反证法设还有(1.1)形有理分式Q(x),使得 △(Q)=△(P)=Pn,(O) 假设与Q(x)相应的量N,,v,d与N,4,V,d意义相同由必要性,知 N≥m+n-d+2,N≥m+n-d+2 为确定起见,不妨假设N≥N 设 B1<B2 B 为相应于Q(x)的偏离点,考虑差函数 7(x)=P(x)-Q(x) [f(x)-Q(x)]-[f(x)-P(x 若β,点同样也是P(x)的同类(同正或同负)偏离点,则应有 7(B)=0 否则,7(B)≠0,但此时必然有 sign n(B,)=sign [f(B)-O(B) (1.1
于是只须特别取 (x) 1 ，并取 充分小，则在调节 正、负号的前提下可以 保证 （1.11）最后一等号右端第二项恰与第一项在个偏离点上的值异号.从而，只须 对充分 小的 取（1.1）形有理分式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x u x B x v x Q x + − = ， 则可保证不等式（1.8）成立.必要性得证. 最后证明唯一性，用反证法.设还有（1.1）形有理分式 Q(x) ，使得 ( ) ( ) ( ) , Q P f = = m n . 假设与 Q(x) 相应的量 ' ' ' ' N , , ,d 与 N,, ,d 意义相同.由必要性，知 2, 2 ' ' N m + n − d + N m + n − d + . 为确定起见，不妨假设 N N ' . 设 1 2 ' N 为相应于 Q(x) 的偏离点，考虑差函数 (x) = P(x) − Q(x) = [ f (x) − Q(x)] −[ f (x) − P(x)]. 若 j 点同样也是 P(x) 的同类（同正或同负）偏离点，则应有 ( j ) = 0 否则， ( j ) 0 ，但此时必然有 ( ) [ ( ) ( )]. j j Q j sign = sign f − （1.12）