《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §5微积分学基本定理定积分的计算（续） 教学目标：掌握微积分学基本定理 教学内容：变上限的定积分：变下限的定积分：微积分学基本定理：积分第二中值定理，换元 积分法；分部积分法：泰勒公式的积分型余项. ()基本要求：掌握变限的定积分的概念：掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积 分法. (2)较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项. 教学建议： (①)微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与 结论. (2)积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点.对较好学生要求他们了解这 些内容. 教学过程： 一、变限积分与原函数的存在性 设fx)在[a,b]上可积，则对x∈[a,b],f(x)在[a,x)上也可积，于是，由 x)=∫f0d,x∈a, 定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地，可定义变下限的定积分： Ψ(x)=广f)dh,x∈[a,b] (x)和Ψ(x)统称为变限积分。 说明：由于广f)d=-f)d,因此，只要讨论变上限积分即可。 定理9-9若f(x)在[a,b]上可积，则(x)=∫fu)d在[a,b]上连续。 证明：利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 定理9l0(原函数存在定理)若函数fx)在[a,b)上连续，则p(x)=广f)d在[a,b]上 处处可导，且o到=孟f0h=.xea创《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §5 微积分学基本定理 定积分的计算（续） 教学目标：掌握微积分学基本定理． 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元 积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项． (1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积 分法． (2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项． 教学建议： (1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与 结论． (2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这 些内容． 教学过程： 一、变限积分与原函数的存在性 设 f (x) 在 [a,b] 上可积，则对 x [a,b]， f (x) 在 [a, x] 上也可积，于是，由   = x a (x) f (t)dt ， x [a,b] 定义了一个以积分上限 x 为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地，可定义变下限的定积分：   = b x (x) f (t)dt ， x [a,b] (x) 和 (x) 统称为变限积分。 说明：由于   = − x b b x f (t)dt f (t)dt ，因此，只要讨论变上限积分即可。 定理 9-9 若 f (x) 在 [a,b] 上可积，则   = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上连续。 证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 定理 9-10（原函数存在定理） 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，则   = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上 处处可导，且 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a  = =  ， x [a,b]