《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。 说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论， 并以积分的形式给出了∫(x)的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用 它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。 Abe1变换a,g,1≤1≤m,令8，-李月，p,2.m,岛=0 则B=B-B, 含aA-a国-)-8e-雪月 -=2(a,-a)B+a.B。-aB =∑(e-anB+a,B. 它实际上是分部积分公式 x)d(x)=ux)r(x)'北-∫r(x)dh(x) 给定分割△：令x)=a,B=x)-x),B=x)之后的一种离散化形式。 定理9.11（积分第二中值定理）设g)eCLa,b】. (1)f)在a,单调下降，)之0，a≤x≤b,则5∈a,使得 f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx (2)fw)在[a,单调上升，f≥0，a≤x≤b,则5∈[a],使得 f(x)g(x)dx=f(b)Jg(x)dx (3)f)在a,单调，则5e[a,b,使得 ∫广f()g()=afg(x)达+fbgx) 证：①令6-80heCa,记m=盟6u.M-警6，给 a创-个分割4a=<<元=b,记，国，盟国，f在a 单调下降，所以可积，因而 2 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。 说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论， 并以积分的形式给出了 f (x) 的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用 它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。 Abel 变换： { }  i ，{ }  i ，1 i  m ，令 = = p i Bp i 1  ， p = 1, 2,  , m， B0 = 0， 则  i = Bi − Bi−1， m m m i i i i m m m i i i i m i i i m i i i m i i i i m i i i B B B B B B B B              = − + = − + − = − = −       − = + − = + − = + = = − = 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 它实际上是分部积分公式   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 给定分割  ：令 i i u(x ) = ， ( ) ( ) i i 1 i = v x − v x  + ， ( ) i i B = v x 之后的一种离散化形式。 定理 9.11（积分第二中值定理） 设 g(x) C[a,b]。 （1） f (x) 在 [a,b] 单调下降， f (x)  0，a  x  b ，则 [ , ]  1  a b ,使得   = 1 ( ) ( ) ( ) ( )  a b a f x g x dx f a g x dx 。 （2） f (x) 在 [a,b] 单调上升， f (x)  0，a  x  b ，则 [ , ]  2  a b ，使得   = b b a f x g x dx f b g x dx 2 ( ) ( ) ( ) ( )  。 （3） f (x) 在 [a,b] 单调，则  [a,b] ，使得    = + b a b a f x g x dx f a g x dx f b g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 证：（1） 令 ( ) ( ) [ , ] 1 G x g t dt C a b x a =   ，记 m min G(x) axb = ， M max G(x) axb = ，给 [a,b] 一个分割  : a = x0  x1  xn = b ，记 inf ( ) 1 m f x k k x x x k −   = ， sup ( ) 1 M f x k k x x x k −   = ，f (x) 在 [a,b] 单调下降，所以可积，因而