《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 2-fWes≤glet空M-mA→0 当元→0时。 1=广gds=-2fgrd =e2.IG,)-61 =2/-f.G)+f6Gb mfa)≤I=[fxg(x)dk≤Mf(a) 若f(a)=0,则f()三0,5可取任意值。 1 若o>0,m7a/ga达5M,Geqa1,5ea,使得 oG)=n.即gtw=foge恤 (2)类似可证。 (3)不妨设f)单调上升，令F()=f)-f(),单调上升，Fw)≥0，由(2)5∈[a, 使得 Fxgx达=F(b(ds=[/b)-fagx达 f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx+f(b).g(x)dx-f(a).g(x)dx =f(a)[g(x)dx+f(b)[g(x)dx 例1、f()在-π，单调下降，求证 b()sin( 3《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 ( ) ( ) ( ) sup ( ) ( ) 0 1 1 1 1  −   −  → =   = − − n k k k k a x b n k x x k f x f x g x dx g x M m x k k 当  →0 时。   = − → − = = n k x x k b a k k I f x g x dx f x g x dx 1 1 0 1 ( ) ( ) lim ( ) ( )  = − − → = − n k k k k f x G x G x 1 1 1 0 lim ( )[ ( ) ( )]  lim [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 0 f x f x G x f b G b n k =  k − k k + = − → mf (a) I f (x)g(x)dx Mf (a) b a  =   。 若 f (a) = 0 ，则 f (x)  0， 可取任意值。 若 f (a)  0 ， f x g x dx M f a m b a    ( ) ( ) ( ) 1 ，G(x) C[a,b]， [ , ]  1  a b ，使得  = b a f x g x dx f a G ( ) ( ) ( ) 1 ( )  1 ，即   = 1 ( ) ( ) ( ) ( )  a b a f x g x dx f a g x dx 。 （2） 类似可证。 （3） 不妨设 f (x) 单调上升，令 F(x) = f (x) − f (a) ，单调上升， F(x)  0 ，由（2）  [a,b]， 使得    = = − b b b a F x g x dx F b g x dx f b f a g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) 。     = + − b b b a b a f x g x dx f a g x dx f b g x dx f a g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   = + b a f a g x dx f b g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) 。 例 1、 f (x) 在 [−, ] 单调下降，求证 ( )sin 2 0 1 2 =  −    b f x nx dx n ， ( )sin (2 1) 0 1 2 1 = +  − +    b f x n x dx n 。 证：