《数学分析》教案 第九章定积分 海布大学数学系 么-[csm2w杰+ejmw个 -x)2+a2- 2n 2n n=[-ajsn2n++/en(n+内 =[-)12+-a-2a+5- 2n+1 2n+1 (n+1-cos(2n+()-()0. 1 二、定积分的换元积分法和分部积分法 定理9-l2（定积分的换元积分法)若函数f(x)在[a,b)上连续，x)在[a,P]上连续可微 且满足 p(a)=a,(B)=b,aso(r)sb,te[a,B], 则有定积分的换元积分公式：∫广fx)=∫广f(p)p')dt=∫fou)d0. 证：由假设f)eCa),f因必有原函数，不妨设F()局)的一个原函数，即 F(x)=∫()，x∈[a。根据牛顿一莱布尼兹公式，有 Jf(x)dx=F(b)-F(a) 另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有 {F[p(I)]=F[p(B)]-F[p(a)]=F(b)-F(a) 由以上两式知 jr(x)d-Jfo()]o()a 注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例2、计算[v1-x2。 解题要领：令x=snt或x=cos1即可。 例3、计算[2sn1cos21d。 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 [1 cos 2 ][ ( ) ( )] 0， 2 1 2 cos 2 1 ( ) 2 1 cos 2 ( ) 1 ( ) sin 2 ( ) sin 2 1 2 = − − −        − + − = −     = − + −                  n f f n n n f n n f b f nx dx f nx dx n [ 1 cos(2 1) ][ ( ) ( )] 0. (2 1) 1 2 1 cos(2 1) 1 ( ) 2 1 1 cos(2 1) ( ) 1 ( ) sin (2 1) ( ) sin (2 1) 1 2 1 − − + − −  + =       + − + − − + − − + = −     = − + + + + −                  n f f n n n f n n f b f n x dx f n x dx n 二 、 定积分的换元积分法和分部积分法 定理 9-12 （定积分的换元积分法）若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续， (x) 在 [,] 上连续可微， 且满足 () = a ，() = b，a  (t)  b ，t [,  ]， 则有定积分的换元积分公式：    =  =     f (x)dx f ((t)) (t)dt f ((t))d(t) b a 。 证：由假设 f x C a b ( )  ,  ， f x( ) 必有原函数，不妨设 F x f x ( )是 ( ) 的一个原函数，即 F x f x x a b ( ) =  ( ), ,   。根据牛顿－莱布尼兹公式，有 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有 F t F F F b F a      ( )  ( ) ( ) ( ) ( )        = − = −       由以上两式知 ( ) ( ) ( ) b a f x dx f t t dt   =         注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例 2、计算 x dx  − 1 0 2 1 。 解题要领： 令 x = sin t 或 x = cost 即可。 例 3、计算  2 0 2 sin cos  t tdt