《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 解题要领：令x=cos1,逆向应用换元积分公式即可。 例4计第-。 解圈要领：先令=m1,再令u=子-1即可。 定理9-13（定积分的分部积分法）若(x)、(x)为a,b)上的连续可微函数，则有定 积分的分部积分公式： (xr'xd=xn(ex。-广uxn达， 或 h)=x(s。-Crxd(). 证：由于[(r(=)()+r国及牛顿-菜布尼签公式，有 f)-v(- 从而，根据定积分的线性性质，有 工aye=6ero-广re6a 例5、 1=∫x21-x sn'rcos'id ( s(-04 意 从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别： 1)不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时 前者行不通而后者却可以进行： 2)不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。 例6、 1.fx)eC-a,a偶函数，则 ∫fx=fxd+x)d《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 解题要领：令 x = cost ，逆向应用换元积分公式即可。 例 4、计算 dx x x J  + + = 1 0 2 1 ln(1 ) 。 解题要领：先令 x = tan t ，再令 u = − t 4  即可。 定理 9-13 （定积分的分部积分法） 若 u(x) 、v(x) 为 [a,b] 上的连续可微函数，则有定 积分的分部积分公式：    = −  b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx ， 或   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 。 证：由于 u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = +     及牛顿-莱布尼兹公式，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b u x v x v x u x dx u x v x a     + =    从而，根据定积分的线性性质，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a b u x v x dx u x v x u x v x dx a   = −   例 5、  = − 1 0 2 2 I x 1 x dx t t dt  = 2 0 2 2 sin cos  ) 2 ( sin , 0  x = t  t  t dt  = 2 0 2 sin 2 4 1  t dt  = − 2 0 (1 cos 4 ) 8 1  16 ) 4 sin 4 ( 8 1 2 0   = − = t x 。 从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别： 1）不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时 前者行不通而后者却可以进行； 2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。 例 6、 1. f (x) C[−a,a] 偶函数，则 −  − = + 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx