第二节多项式的非线性回归分析 多项式回归分析的原理、优点和p次项的确定 1、多项式回归分析的原理 设有一组观察值(x,y)t=1,2,…,n,存在非线性关系,则多项式回归方程为: y=b+b1x+b2x2+…+bnx° (4-1) 若令x1=X,x2=x2,…xp=x,则(4-1)可改写成 y=do+dx,+d2x2 d 这样就把x看成是新的变量,(4-3)式便是一个p元的线性回归方程,各偏回归系数d仍可按下列 正规方程组求得。 lu +d,71 TIp =lly dpl2p=123 do=y-d x,-d2x2 其中1=2(xn-xxn-)=Ex1xn-2xExn/m(i,j=1,2,…,p) ln=2(x-x)(y2-y)=∑ ∑y 其偏回归系数的计算,回归方程的显著性检验,各偏回归平方和的计算及显著性检验,都与多元线性 回归分析相似 2、多项式回归分析的优点:可以对任何双变量资料进行回归逼近。 3、多项式回归分析p次项的确定:有n对观察值最多只能配到p=n1次多项式。P越大,包含的统计 数越多,计算越复杂。一个多项式回归方程应取多少项(次)为宜,应根据资料的散点图确定,散点图所 表现的曲线趋势的峰+谷+1,即为多项式回归方程的次数。如果散点图波动大或峰谷两侧不对称,可以再 高一次或两次。多项式回归方程通常用于描述试验取值范围内的变化关系,外推一般不可靠 在教学中以下可以省去 为使离回归平方和SSo=∑(y-j)2最小,即根据最小二乘法原理可得出下列正规方程组: bn+b∑x+b2∑x2+…+bn∑x"=∑y b∑x+b∑x2+b2∑x2+…+b∑x=∑xy b∑x2+b∑x3+b2∑x2+…+b∑x"2=∑x2y 4-2) b∑xP+b1∑xP+b2∑ 解上述方程组可得:bo,b,b2…bp 若令x1=X,x2=x2,…x=xP,或φ1(x)=x,中x)=x2,…中p(x)=xP,则(4-1)可改写成 y=do+dx,+d,x2+.+d, (4-3) 或y=d+d1(x)+d22(x)+…+d2(x) (4-4) 这样就把x或Φ(x)看成是新的变量,(4-3)或(4-4)式便是一个p元的线性回归方程,各偏回归30 第二节 多项式的非线性回归分析 一、多项式回归分析的原理、优点和 p 次项的确定 1、多项式回归分析的原理 设有一组观察值（xt，yt） t=1，2，…，n，存在非线性关系，则多项式回归方程为： p p y = b + b x + b x ++ b x 2 0 1 2 ˆ （4—1） 若令 x1=x，x2=x2，…xp=xp，则（4—1）可改写成 p p y = d + d x + d x ++ d x 0 1 1 2 2 ˆ （4—3） 这样就把 xi 看成是新的变量，（4—3）式便是一个 p 元的线性回归方程，各偏回归系数 di 仍可按下列 正规方程组求得。        + + + = + + + = + + + = p p p pp py p p y p p y d l d l d l l d l d l d l l d l d l d l l     1 1 2 2 1 21 2 22 2 2 1 11 2 12 1 1 （4—5） p p d = y − d x − d x −− d x 0 1 1 2 2 其中 l xit xi x jt x j xit x jt xit x jt n n t ij =  − − =  −   = ( )( ) 1 （i，j=1，2，…，p） l xt xi yt y xt y xt yt n n t iy =  − − =  −   = ( )( ) 1 其偏回归系数的计算，回归方程的显著性检验，各偏回归平方和的计算及显著性检验，都与多元线性 回归分析相似。 2、多项式回归分析的优点：可以对任何双变量资料进行回归逼近。 3、多项式回归分析 p 次项的确定：有 n 对观察值最多只能配到 p=n-1 次多项式。P 越大，包含的统计 数越多，计算越复杂。一个多项式回归方程应取多少项（次）为宜，应根据资料的散点图确定，散点图所 表现的曲线趋势的峰+谷+1，即为多项式回归方程的次数。如果散点图波动大或峰谷两侧不对称，可以再 高一次或两次。多项式回归方程通常用于描述试验取值范围内的变化关系，外推一般不可靠。 在教学中以下可以省去 为使离回归平方和 SSQ=∑(y－ y ˆ ) 2 最小，即根据最小二乘法原理可得出下列正规方程组：           +  +  + +  =   +  +  + +  =   +  +  + +  =  +  +  + +  =  + + + + b x b x b x b x x y b x b x b x b x x y b x b x b x b x x y b n b x b x b x y p k p p p p p p p p p p 2 2 2 1 0 1 4 2 2 2 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 2 0 1 2      （4—2） 解上述方程组可得：b0，b1，b2… bp 。 若令 x1=x，x2=x2，…xp=xp，或φ1(x)=x，φ2(x)=x2，…φp(x)=xp，则（4—1）可改写成 p p y = d + d x + d x ++ d x 0 1 1 2 2 ˆ （4—3） 或 ˆ ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 y d d x d x d x = +  +  ++ p p （4—4） 这样就把 xi 或Φi(x)看成是新的变量，（4—3）或（4—4）式便是一个 p 元的线性回归方程，各偏回归