1.24泛函极值的必要条件 泛函 ()=F(a d .281) 设使泛函(1.231)获得极值,在如邻近取w=v+am,则应有 r)-I()≥0(≤0 即 -Ic)≥0(≤0) (1.2 因为当a=0时=物当物与η指定时,工(只是a的函数,记作(a),所以,对于I r(a)获得极值的必要条件是 d .2.84 另一方面,I在“时(即在a=0时)获得极值,这两个条件加在一起暗示了 di(o) 亦就是 dI 0 q.235) 与普通函数相类似,亦可以用泛函的二阶变分 2l da T(+a7 来判断泛函是相对极大或相对极小 1.25欧拉-拉格朗日(Euer- Lagrange)方程、自然和本质边界条件 泛函 rde 2.86) 式中 v=t〔9 .237) .238 为积分区域,r是D的边界 要使它有极值的必要条件为 d(u, o)=d,I(u, o)+o,I(u, D)=0 (1.239) 这里d和6表示对和的偏变分,于是有 dI= 8u.,+aw du F 接下来进行分部积分,以第二项为例说明计算细节 a/aR andy