第一章数学基础知识 1.1函数的极值 1.1.1无约束情况下的函数极值 y=f(m)在m=c处有极值时(<<b的必要条件 1.1.1 极大值时应满足 d2 0 (1.1 极小值时应满足 d2f 1.工.3) 对于两个独立变量的函数 z=∫(x,9在点(co,g)有极值的必要条件 af d af 因为da,dg为线性独立,则有 (L.1.b 11.2有约束情况下函数的极值 求=f(,9在约束条件 G(,)=0 1.16 下的极值计算 1.直接法 设隐函数G(x,3=0可以写成显函数形式 y=g(a) (1.1.7 则有 (1.18) 1.1.9 2= af af dg d ag dac (1.1.10) 这里只有物为独立变量,条件df=0即为 1.1.11)
2.拉格朗日(吗gang乘子法 G(, =0 1.12) 将其全微分有 d taG (1.113) 函数 .1.14 有极值的必要条件 1.1.15 设λ为 Lagrange乘子,通过如下的运算 λ×式(1.118)+式(.116)得 0f..G f,3 0 (1.1.16) 若把d看成独立变量,则有 (.1.17) dg是因变量,为了满足方程(1116)式,可以通过选择λ值使得dy的系数为零即 0f,8G ay .118) 由方程(1.1,12式,(11.17)式和(1.118)式可以求出叫织λ。 上述问题亦可以化成无约束间题,其方法是构造一个无约束新函数 FL, y, A)=f(, y)+G(a, y) (1.1,19) 独立变量为λ,极值条件 dp aF (1.1.20 F (1.1.21) 8.惩罚法( Penalty Mothod) 设E为恋罚参数,为预先指定值,现构造一个新的函数,其形式为 F(a,y)=f(a,y)+2a(,y) (1.1.22) dfp= ay (1.1.23) aF 1.1.24) 将(1.1.22)式代入(1.124式得 af 0 aG +E 0 当e→∞时为精确解 1.1.3有约束情况下函数极值算例 求函数
彻+y十L 126) 约束条件 .1.z7) 的驻值点 1.直接法 由(1.1.27式解得y=2m并代入(1.王.26)式 f()=6c2-6x+ df 12-6=0 1工.29) 解得 0.B .1.30) 2. Lagrange乘子法 (x,邹,2)=2x2+y2-8m+y+1+λ(2x-9) (.1.31) 4-8+2=0 (1.132) 1-λ=0 1王.33) x (1 解得 c=0.5 1礼=3 1.1.35) 3.惩罚法 y↓1 =4-8+2e(2x-9 OF 2y+1 0=0 (1,138) 解得 当--c c=0.5 (1.1.40) E=50 0.5197y。=0.9803 (.L.41) =100 c=0.6099y=0.9901 (.1.42) 0.999 惩罚法的优点是不增加未知变量。 12泛函的极值和欧拉(Euer)方程 2.1泛函的概念 定义积分表达式
r()=1F (1.21 e为自变量,F为已知函数=(),满足 (1.22 23) 给定(a)对应就给出实数I(u),这个积分表达式称为泛函,简单地说,泛函是函数的函 1.2.2泛函的微分 泛函 ∫p(,呦,c)a (1.2.4 tt .2 设函数证=()+a()是v(c)邻近的函数(图1.1),n(a)是已知的,且满足们(a)=T(b)=0 t(a)使得(12.4)式获得极值,a是一个小的正实数,当a=0时,私与“(a完全一致,因此泛 函是a的连续函数,记为I(a),泛函的微分就转变成普通函数的微分 I(1)=I(u+m)=Ia+( ) (1.26 若只取一阶微量,有 G).≈(u+am)-Im.=r dr (1.27 dI dI=I(u+an-Iaa0= d (128) dr称为工对“的一阶变分,亦称为泛函r对的微分,在話中的增量称为的变分 (x)+an(x) 打(x 1.1 例1.2.1 d 2u +fu de 1.2.g °,ct,cz和∫为常数 I(a+ an) (u+an)2+ d fa7
d2u d2 of(u)=a t l[t《c+n)+(m+a) d 21E 于 :n()出++/nk (1.2.10) 123变分符号和全微分比拟 函数是u(a)和“(∞)的函数,为自变量,设 u=u(+an) =7(a) 则函数=F(ax,)的一阶变分可按(128)式写出 d F(a,u+ +a?) d [a,v(a),w(a)] air a OF aF (1.2.11) 令=an为的变分,即在固定a情况下t的增量,当w变到+cw时,F的增量 △F=B(x,“+an,"+an)-F(x,,w) (1.2.12) 如果把+a,“+a看成独立变量,则上式可用戴劳级数( Taylor series)展开 AF=F(c, u, u) F aF, (an)aF (a7)(a 8rF+(am)282B-+…-F(x乱," aF a7-aei +an aw.+cRi(a) .2.13) aR1(a)是余项,1imB1(a)=0,F的一阶变分 F 符号d称为变分算子,作为特殊情况,当F=t时她=叫当F=时=a因此有 oF aF (1.2.15 另外,珂(吗v“的全微分 aF dwr (1.2.I6) 因为4变化到+她时,是固定值,因此da=0这样,(1215)式与(12.16式形式上非
常类似即变分算子d起着对从属变量的微分算子作用,其对应关系为dr-dz,dw如h, da→0u。若把函数F(x,v)中的以w看成是独立变量,那么它的全微分就是F的一阶 变分,这种比拟使变分计算变得容易,其运算规则如下 1)变分算子d可以像微分算子那样进行运算 d(n1F2)=F10F2+F20F 1.2.17 a(2)=0n .2.18) (2)变分算子与微积分算子能相互交换 d an=t =an=duso( da Fda=oFdc .2.I9) 上述法则可以推广到大于一维的各种情况,现以两维为例加以说明 F=F(m,孰,四v叨如 .220) 式中 四=(c,到 ar 2.22 F的一阶变分 OF aF 2.24) 例1.2.2 与例12.相同 F 2(絀)+2(:) (.2.25 求泛函 r()= 在端点固定情况下的一阶变分 ∫:(ac+o+aoor)k (.227) 由Q.225式得 2 F .228) a4 d 将上述结果代入(1.227)式 dI=Ccot+ f)ou+cn(da )ou+c. dzu dul lds (1.2.30) da2 如果用如=m代入,则与(210)式绩果相同
1.24泛函极值的必要条件 泛函 ()=F(a d .281) 设使泛函(1.231)获得极值,在如邻近取w=v+am,则应有 r)-I()≥0(≤0 即 -Ic)≥0(≤0) (1.2 因为当a=0时=物当物与η指定时,工(只是a的函数,记作(a),所以,对于I r(a)获得极值的必要条件是 d .2.84 另一方面,I在“时(即在a=0时)获得极值,这两个条件加在一起暗示了 di(o) 亦就是 dI 0 q.235) 与普通函数相类似,亦可以用泛函的二阶变分 2l da T(+a7 来判断泛函是相对极大或相对极小 1.25欧拉-拉格朗日(Euer- Lagrange)方程、自然和本质边界条件 泛函 rde 2.86) 式中 v=t〔9 .237) .238 为积分区域,r是D的边界 要使它有极值的必要条件为 d(u, o)=d,I(u, o)+o,I(u, D)=0 (1.239) 这里d和6表示对和的偏变分,于是有 dI= 8u.,+aw du F 接下来进行分部积分,以第二项为例说明计算细节 a/aR andy
a/aF (I2.41 对于其他项可用类似方法进行得 jE d[ au-2(8b ) ( u)Jo aF a(aF) a/aF ) do dad o g n灬n为边界外法线与轴的方向余弦。 要使(.2.42)式成立,则有 a/ aF a/ aF ag a0 0 )0 在Ω区域 2.43) 因为在Q区域0如是任意的,因此必须使它们的系数等于零。对于边界r上的积分,可 将r分成两部分r1、T2,C=F1+r2,边界r1上从属变量v"是指定的,因此0==0 即总是满足下面条件 d as na t ay d8=0 (1.2.44 = 在r1上 (1.2.465) 因为在n边界上,如d是任意的,必须使它们的系数等于零,即 F v=0 aF p 0在r2上 在边界r1上的边界条件(L.2.4)式称为本质边界条件 在边界r2上的边界条件(2.46)式称为自然边界条件 在Q区域的方程(1.2.43)式称为欧拉方程。 例123拉弯悬臂梁(图12),截面面积为A,抗弯惯矩I弹性模量为E,悬臂端 作用轴力P、弯矩M0梁上作用分布荷载q(a)。 图12弯拉伸臂梁 设u(),w(∞)为:方向和g方向的位移,本质边界条件 u(0)=w(0)=(dw 泛函即总势能 m({2「+2(出 e/dad
+gu da-Pu(l)-4. _dw (1.2 变分的量为队切。 ao-fx4c+2(如)~+如絀) +ei der dazz gdo jadx-Pou l -Mo dm 12.48) 进行分部积分后有 aym)-{-a[n(出+2()}u-a ea dw du 1/ dw d d w+ gou da +[nAa+2()m,+[nA(如+2(如)m +(nc:-d(n))-2-P(-M絀 (.2.49) 将上式积分号内的d和00前的系数分别集合起来,就能获得欧拉方程 a{4出+2(:)]} =00<c<L a(x出)a{a[出+数:)}+q=0 0<c<L 12.50b) donn 同样在如=L处将如如和d前的系数分别集合起来就得到自然边界条件 P=0 = 2.6a a el di )-{B細[a+2()]=0 c=D(.2.61b) (細) EI d2, dr2 -Mo=o ==l .2b1c 在=0处的边界条件为本质边界条件即 u)=(=a(O)=0 12.62 例1.2.4用变分理论分析弹性薄板(图13)。 (1)位移与应变的关系 在板的中面设置直角坐标系0y2,与坐标轴方向相应的位移为(,y、υ(9和 a(x,9)。根据中面法线在变形后仍垂直于中面的假定有 , (a,9)= (1.2.63) 由此可得到应变 ax2
(x刀 图13平板的弯曲 02 ay .2.54b) 2.B4c 2)应力与应变关系,内力与位移关系 应力正方向如图14,根据虎克定律有 1-y(e=s+ veys) (1.2.55a) 2(ev+ vega) Try=Grey Q1.2.660) 图1.4应力正方向