368 MATLAB5手册 China-pub.coM 下载 1)对任何矩阵A和它所有的范数，有p(A)≤A。 2)如果A为Hermitian?矩阵，则p(A)=Al,。 3)如果A为酉矩阵，则lAl=1。 使用矩阵范数可以对矩阵中扰动的灵敏性进行估计和度量。 线性方程组Ax=b的条件数定义为： cond(A)=IlAll IlAIl 有如下关系： lAy≤cond(A) llxi bl 其中，△b是对右侧b的扰动，而△x是对解向量x的相应的扰动。注意到关系中既有向量 范数又有矩阵范数。对矩阵A中的扰动也有类似的关系。 B.7矩阵因式分解 1)LU因式分解或LU分解PA=LU,其中P为扰动矩阵，L为一个对角线上有元素为1的下 三角矩阵，而U为一个上三角矩阵。 2)Cholesky因式分解对称、正定矩阵A可以因式分解为A=GG',这里G为下三角阵。 3)QR因式分解A=QR,其中A是m×n矩阵，Q是一个mXm的正交矩阵，而R是mXm的 上三角矩阵。 4)假设A有n个线性无关的特征向量，则存在矩阵C,使得C-AC=D为对角阵，即A= CDC-,该条件是充分必要的。一个充分条件是所有的特征值均不同。 5)舒尔分解对每个矩阵A,存在矩阵U,使得UAU=T为上三角阵，即A=UTU“。 6)对于Hermitian:矩阵A,存在一个酉矩阵U,使得UHAU-D为对角阵，即A=UTU"。 7)Murnaghan-Winters定理对于所有的实数阵A,存在实数正交阵U,使得U'AU=B为 实数分块三角阵，这里对角线上的块为2×2阶或1×1阶。每个2阶块代表一个特征值的复数共 轭对。 8)Jordan标准形对每一个方阵A,存在一个非奇异矩阵S,使得SAS-J,其中J为块对 角阵的形式： 如果块J为一阶，则J=(?,)。与对角线上的每一个块相对应的一个特征向量也称为Jordan 框。如果Jordan框的数日为p,则矩阵A有p个线性无关的特征向量。 9)奇异值分解每个mXn矩阵A都可分解成两个酉矩阵U和V,使得U'AV=D是一个m×n 对角阵。其中，U是一个m×m矩阵，V是一个n×n矩阵，而D的对角元素为o,。这些元素有序 排列为o,≥o,≥.o≥0，其中，p≤min(m,n)。如果有其他的o,则为零。o的值称为A的奇 异值。因此A=UDV'。1) 对任何矩阵A和它所有的范数，有 (A)≤| |A| |。 2) 如果A为H e r m i t i a n矩阵，则 (A) = | |A| |2。 3) 如果A为酉矩阵，则| |A| |2 = 1。 使用矩阵范数可以对矩阵中扰动的灵敏性进行估计和度量。 线性方程组A x = b的条件数定义为： 有如下关系： 其中，△b是对右侧b的扰动，而△x是对解向量x的相应的扰动。注意到关系中既有向量 范数又有矩阵范数。对矩阵 A中的扰动也有类似的关系。 B.7 矩阵因式分解 1) L U因式分解或L U分解 PA = L U，其中P为扰动矩阵，L为一个对角线上有元素为1的下 三角矩阵，而U为一个上三角矩阵。 2) C h o l e s k y因式分解 对称、正定矩阵A可以因式分解为A = G GT，这里G为下三角阵。 3) Q R因式分解 A = Q R，其中A是m×n矩阵，Q是一个m×m的正交矩阵，而R是m×m的 上三角矩阵。 4 ) 假设A有n个线性无关的特征向量，则存在矩阵 C，使得 C－1A C = D为对角阵，即 A= C D C－1，该条件是充分必要的。一个充分条件是所有的特征值均不同。 5) 舒尔分解 对每个矩阵A，存在矩阵U，使得UHA U=T为上三角阵，即A = U T UH。 6) 对于H e r m i t i a n矩阵A，存在一个酉矩阵U，使得UHA U = D为对角阵，即A = U T UH。 7) M u r n a g h a n - Wi n t e r s定理 对于所有的实数阵A，存在实数正交阵U，使得UTA U=B为 实数分块三角阵，这里对角线上的块为 2×2阶或1×1阶。每个2阶块代表一个特征值的复数共 轭对。 8) J o r d a n标准形 对每一个方阵A，存在一个非奇异矩阵S，使得S - 1A S = J，其中J为块对 角阵的形式： 如果块J k为一阶，则Jk = (lk )。与对角线上的每一个块相对应的一个特征向量也称为 J o r d a n 框。如果J o r d a n框的数目为p，则矩阵A有p个线性无关的特征向量。 9) 奇异值分解 每个m×n矩阵A都可分解成两个酉矩阵U和V，使得UTAV = D是一个m×n 对角阵。其中， U是一个m×m矩阵, V是一个n×n矩阵，而D的对角元素为sk。这些元素有序 排列为s1≥s2≥. . .sp≥0，其中，p≤m i n (m, n)。如果有其他的 sk，则为零。sk的值称为A的奇 异值。因此A = U D VT。 3 6 8 M ATLAB 5 手册 下载